1、 - 1 - 20202020 年高三质量调查试卷年高三质量调查试卷 数学试卷数学试卷 本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟. 参考公式: 如果事件BA,互斥,那么)()()(BPAPBAP. 如果事件BA,相互独立,那么)()()(BPAPABP. 柱体的体积公式VSh,其中S表示柱体的底面面积,h表示柱体的高. 锥体的体积公式 1 3 VSh,其中S表示锥体的底面面积,h表示锥体的高. 第 I 卷 注意事项: 1每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号. 2本卷共 9 个小题
2、,每小题 5 分,共 45 分. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1已知, a bR,若 i 2i i b a (i是虚数单位) ,则复数iab是 A.12i B12i C2i D2i 2设R,则“ 22 ”是“sin0”的 A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 3已知函数 2 lnf xxxax.若曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线 y 2x平行,则实数a A 7 2 B2 C 3 2 D1 4在ABC中,90B,3AB,4BC,以边BC所在的直线为轴,将ABC旋转 - 2 - 一周,所成的曲面围成的几何体的体积为
3、A36 B12 C36 D12 5为普及环保知识,增强环保意识,某中学随机抽取 部分学生参加环保知识测试,这些学生的成绩(分) 的频率分布直方图如图所示,数据(分数)的分组 依次为20,40,40,60,60,80,80,100. 若分数在区间20,40的频数为5,则大于等于60分的人数为 A15 B20 C35 D45 6已知函数 25 x f xx.若 1 3 1 log 2 af , 3 log5bf, 0.2 6cf,则a,b, c的大小关系为 Aabc Bacb Ccab Dcba 7 已知函数 sinf xx(0, 2 ) 的最小正周期为, 其图象关于直线 6 x 对称.给出下面四
4、个结论: 将 f x的图象向右平移 6 个单位长度后得到的函数图象关于 原点对称;点 5 0 12 , 为 f x图象的一个对称中心; 1 42 f ; f x在区间 0 6 , 上单调递增.其中正确的结论为 A B C D 8 设双曲线 22 22 1 xy ab 0ab的两条渐近线与圆 22 10xy相交于A,B,C,D四 点,若四边形ABCD的面积为12,则双曲线的离心率是 A. 10 3 B.10 C.10或 10 3 D2 10 9在等腰梯形ABCD中,AB/CD,60BAD,8AB,4CD.若M为线段BC o 40 60 80 20 0.02 100 0.015 0.01 a 分分
5、 成绩成绩 / 频率频率 组距组距 - 3 - 的中点,E为线段CD上一点,且27AM AE,则DM DE A.15 B10 C 20 3 D5 第卷 注意事项: 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定位置上. 2本卷共 11 个小题,共 105 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分, 共 30 分;答题直接填写结果,不必写计算或推证 过程. 10已知集合 2,2 m A,,Bm n(,m nR) ,且 1 4 AB,则AB . 11在 5 2 1 2 x x 的展开式中, 5 x项的系数为 (用数字作答). 12设0,0ab,若a与 2 b的等差中项是2,则 22 l
6、og2logab的最大值是 . 13已知圆:C 22 1116xy,过点2,3P 的直线 L 与C相交于A,B两点,且 2 11AB ,则 L 的方程为 . 14天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛,规则为:每位参赛教师都要回答3个问 题,且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响,若每答对1个问题,得1分;答 错,得0分,最后按照得分多少排出名次,并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知对给 出的3个问题,教师甲答对的概率分别为 3 1 , 4 2 p.若教师甲恰好答对3个问题的概率是 1 4 ,则p ;在前述条件下,设随机变量X表示教师甲答对题目的个数,则X的 数学期望为 . 15已知
7、函数 2 0, 20. xxx f x xx , , 若存在xR使得关于x的不等式 1f xax成立, 则实数a的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 75 分;解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤. 16.(本小题满分 14 分) 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sinsin 2 AB acA, - 4 - 7c,23ab. (1)求角C的大小; (2)求sinCB的值. 17 (本小题满分 15 分) 如图, 在三棱柱 111 ABCABC中, 四边形 11 ABB A, 11 BBC C均为正方形, 且 1111 ABBC, M为 1 CC
8、的中点, N为 1 AB的中点. (1)求证:MN/平面ABC; (2)求二面角 1 BMNB的正弦值; (3)设P是棱 11 BC上一点,若直线PM与平面 1 MNB所成角的正弦值为 2 15 ,求 1 11 B P BC 的值. 18 (本小题满分 15 分) 已知抛物线:C 2 4 2yx的焦点为椭圆:E 22 22 1 xy ab (0ab)的右焦点,C的准 线与E交于P,Q两点,且2PQ. (1)求E的方程; (2)过E的左顶点A作直线 L 交E于另一点B,且BO(O为坐标原点)的延长线交E于 点M,若直线AM的斜率为1,求L的方程. 19.(本小题满分 15 分) 设 n a是等比
9、数列, n b是等差数列.已知 4 8a , 32 2aa, 12 ba, 265 bba. (1)求 n a和 n b的通项公式; (2)设 21 21 2 21, +12 , mm n m abnm c bnm , , 其中mN,求数列 n c的前2n项和. 20.(本小题满分 16 分) A1 A B C M C1 B1 N P - 5 - 已 知 函 数 ln1()f xxmxmR在1x 处 取 得 极 值A, 函 数 g xf x 1x ex ,其中2.71828e 是自然对数的底数. (1)求m的值,并判断A是 f x的最大值还是最小值; (2)求 g x的单调区间; (3)证明:
10、对于任意正整数n,不等式 2 111 111 222n e 成立. - 6 - 数学试卷参考答案 一、选择题:(本大题共 9 个小题,每小题 5 分,共 45 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A D B C D C A D 二、填空题:(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 10 1 2, 2, 4 1180 122 13280xy 14 2 3 ; 23 12 15, 30, 三、解答题: (本大题共 5 个小题,共 75 分) 16解: (1)由题设及正弦定理,得sinsinsinsin 2 AB ACA 1 分 在ABC中,因为sin0A ,所以
11、sinsin 2 AB C 2 分 由于+ =A BC,从而sincos 22 ABC , 所以cos2sincos 222 = CCC 4 分 在ABC中,因为0 22 C ,所以cos0 2 C ,所以 1 sin 22 C , 所以 26 = C ,即 3 C 6 分 (2)在ABC中,由于7, 3 cC , 则由余弦定理,得 22 72cos 3 abab ,即 22 7abab 8 分 因为23ab,所以 2 22 33 7 22 b bb , 解得2b ,从而3a 10 分 - 7 - 在ABC中,由正弦定理,得 2 sin sin321 3 sin 777 bC B c 因为AB
12、C中,27bc,且 3 C ,所以0 3 B , 所以 2 2 212 7 cos1 sin1 77 BB 12 分 所以sinsincoscossinCBCBCB 32 712121 272714 14 分 17解:因为四边形 11 ABB A, 11 BBC C均为正方形,所以 111111 ,ABBB BBBC 又 1111 ABBC, 从而以点 1 B为坐标原点,分别以向量 111 ,B B BC 11 B A的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立 如图所示的空间直角坐标系 1 Bxyz 1 分 不妨设 1 2BB,则有 1 0,0,0 ,2,0,0 ,BB 1 0,0,2 ,1,2,
13、0 ,1,0,1AMN, 所以0, 2,1MN 2 分 (1)证明: 【方法一】易知,平面ABC的法向量为 1 2,0,0B B 由于 1 0B B MN,所以 1 B BMN,即 1 BBMN 4 分 又因为MN平面ABC,所以MN/平面ABC5 分 【说明】本小题的其它解法如下(这里过程略述) ,若步骤完整、过程严谨,请参照赋分 标准,酌情赋分: 【方法二】取 1 B B的中点Q,连接MQ证明平面MNQ/平面ABC,进而证得 MN/平面ABC 【方法三】取AB的中点R,连接,CR NR先证明MN/CR,进而证得MN/平 A1 A B C M C1 B1 N P x y z - 8 - 面A
14、BC (2)由题意,知0, 2,1MN,1,2,0 BM, 1 1,2,0B M 设平面MNB的法向量为, ,mx y z, 则有 0, 0, m MN m BM 即 20, 20. yz xy 令1y,得2,1,2m 7 分 设平面 1 MNB的法向量为 111 ,nx y z, 则有 1 0, 0, n MN n B M 即 11 11 20, 20. yz xy 令 1 1y,得2,1,2 n8 分 所以1,3,3m nmn,所以 1 cos, 9 m n m n m n , 10 分 设二面角 1 BMNB的大小为, 所以 2 4 5 sin1 cos, 9 m n 故所求二面角 1
15、BMNB的正弦值为 4 5 9 11 分 (3)设点0, ,0Pt(02t ) ,则1,2,0PMt, 且有 2 ,12,3PM nt PMtn 设直线PM与平面 1 MNB所成角为, 则有 2 sincos, 15 PM n,即 2 2 15 3 12 t t , 12 分 整理,得 2 2116200tt,解得 2 3 t 或 10 7 t (舍去) 14 分 所以 1 11 1 23 B Pt BC 15 分 - 9 - 18解: (1)易得,抛物线C的焦点F的坐标为 2,0,准线方程2x , 所以椭圆E的右焦点 2,0F,左焦点为 2,0 F 2 分 设椭圆E的半焦距为c,依题意得 2
16、 222 2, 2 2, , c b PQ a abc 解得2,2ab 5 分 故所求椭圆的方程为 22 1 42 xy 6 分 (2) 【方法一】由题意,得E的左顶点2,0A 又知直线L的斜率存在,不妨设为k(0k ) ,点, BB B xy, 则直线AB方程为2yk x7 分 联立方程组 22 2 , 1. 42 yk x xy + 消去y并整理,得 2222 218840kxk xk, ()9 分 易得 2 222 84 21 84160kkk , 所以点2, B x为方程()的实数根, 从而 2 2 84 2= 21 B k x k ,所以 2 2 24 21 B k x k 所以 2
17、 22 244 22 2121 BB kk yk xk kk 11 分 由题意,点,B M均在E上,且,B M关于原点O对称, 所以点, BB Mxy,即 2 22 244 , 2121 kk M kk 12 分 - 10 - 因为1 AM k,所以 2 2 2 4 21 1 24 2+ 21 k k k k ,解得 1 2 k 14 分 故所求直线L的方程为 1 2 2 yx ,即220xy 15 分 【方法二】由题意,得E的左顶点2,0A ,直线AM的斜率为1, 所以直线AM的方程为2yx 7 分 联立方程组 22 2, 1. 42 yx xy 消去y并整理,得 2 3840xx 解得2x
18、 ,或 2 3 x 10 分 所以点M的横坐标 2 3 M x (因为2为点A的横坐标) , 所以点M的纵坐标 4 3 M y,从而点 2 4 , 3 3 M 12 分 由题意,点,B M均在E上,且,B M关于原点O对称, 所以点B的坐标为 24 , 33 ,所以 1 2 AB k 14 分 所以直线AB的方程为 1 2 2 yx , 即所求直线L的方程为220xy15 分 19解: (1)设等比数列 n a公比为q,由 432 8,2aaa, 得 3 1 2 11 8, 2 a q a qa q , 消去 1 a并整理,得 2 440qq,2 分 解得2q ,从而 1 1a 所以 1 2n
19、 n a ; 3 分 - 11 - 设等差数列 n b的公差为d,由 12 ba, 265 bba, 得 1 2, 4616 b d , 5 分 解得 1 2,2bd 所以2122 n bnn 6 分 (2)由(1)及题意,得 221, 212 , n n nnm c nnm , , 其中mN 8 分 当n为奇数时,不妨设数列 2nn的前n项和为S奇, 所以 13521n Scccc 奇 , 即 3521 1 23 25 2212 n Sn 奇 , 9 分 所以 3572121 41 23 25 2232212 nn Snn 奇 上述两式相减,得 352121 322 22 22 2212 n
20、n Sn 奇 41 2121 21 4 5610 22122 1 433 n nn n n , 11 分 所以S 奇 21 6510 2 99 n n 12 分 当n为偶数时,易得,数列2 +1n前n项和为 2 541 =59 134123 2 nn Snnn 偶 14 分 设Cn的前 2n 项和为 T2n 则 2n TSS 奇偶 212 6510 223 99 n n nn 15 分 20解: (1)因为 ln1f xxmx(0,x) , - 12 - 所以 1 m fx x ( 0,x) 1 分 因为1x 是 f x的极值点,所以 10 f , 即10 1 m ,所以1m 2 分 此时 l
21、n1f xxx, 11 1 x fx xx , ( 0,x) 易得,当01x时, 0fx;当1x 时, 0fx, 所以函数 f x在区间0,1上单调递减;在区间1,上单调递增,4 分 所以函数 f x在1x 处的极值A是最小值5 分 (2)由(1)知,1m ,所以 1 ln1 x g xex ,且0,x 所以 1 1 x gxe x 6 分 设 1 1 x h xe x (0,x) ,则 1 2 1 x h xe x 7 分 显然,当0x 时, 0h x恒成立, 所以函数 h x在0,x上单调递增,且 10h9 分 所以,当01x时, 0h x ,即 0gx; 当1x 时, 0h x ,即 0gx 所以,函数 g x的单调递减区间为0,1;单调递增区间为1, 11 分 (3)证明:由(1)可知, 当1x 时, 10f xf,即1lnxx 12 分 不妨令 1 1 2n x (nN) , 则有 11 ln 1 22 nn (nN) 13 分 - 13 - 所以 1212 1111111 ln 1ln 1ln 111 2222222 nnn , 即 2 111 ln1111ln 222 n e15 分 因为函数lnyx在区间1,上单调递增, 所以 2 111 111 222 n e(得证) 16 分