1、 高三年级质量调研考试数学试卷 第 1 页共 15 页 闵行区 2019 学年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷 （满分 150 分，时间 120 分钟） 考生注意： 1答卷前，考生务必先将自己的姓名、学校、考生号填写清楚，粘贴考生本人条形码 2请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效 3本试卷共有 21 道试题 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每个空格填对得 4 分，第 712 题 每个空格填对得 5 分） ，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果. 1设集合1,3,5,7A， 47 ,Bxx
2、则AB 2已知复数1(Imzi zi iz 满足为虚数单位），则 3若直线101,1axby 的方向向量为，则此直线的倾斜角为 4记 n S为等差数列 n a的前n项和，若 3121 2,2,SSS a则 5 a 5已知圆锥的母线长为10，母线不轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为 高三年级质量调研考试数学试卷 第 2 页共 15 页 6在 8 3 1 x x 的二项展开式中，常数项的值为 7若, x y满足1,xy且1,y 则3xy的最大值为 8从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个丌同的数，幵从小到大排成一个数列，此数列为等比数 列的概率为 9. 已知直线 1: lyx，斜率为(01
3、)qq的直线 2 l不x相交于点A，不y轴相交于 0(0, ) Ba，过 0 B作x轴的平行线，交 1 l于点 1 A .过 1 A作y轴的平行线，交 2 l于点 1 B 再过 1 B 作x轴的平行线，交 1 l于点 2 A,这样依次得到线段 0111 B AA B， 12221 , nnnn B AA BBAA B ，. ，记 n x为 n B横坐标，则limn n x _ 10. 已 知 (2)f x 是 定 义 在R上 的 偶 函 数 ， 当 12 ,2,x x 且 12 xx时 ， 总 有 12 12 0 ()() xx f xf x ，则丌等式 1 ( 31)(12) x ff 的解
4、集为_ 11.已知 , ,A B C是边长为 1 的正方形边上任意三点，则AB AC的取值范围_ 12.已知函数( ) sincos4sin cosf xxxxxk，若函数( )f x在区间0,内恰好有 奇数个零点，则实数k的所有取值之和为_ 高三年级质量调研考试数学试卷 第 3 页共 15 页 高三年级质量调研考试数学试卷 第 4 页共 15 页 二 选择题 13. 在空间中，“两条直线丌平行”是“这两条直线异面”的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 14. 某县共有 300 个村，现采取系统抽样方法，抽取 15 个村作为样本，调查农民的生
5、活和 生产状况，将 300 个村编上 1 到 300 的号码，求得间隔数 300 20 15 k ，即每 20 个村抽 取一个村， 在 1 到 20 中随机抽取一个数字 7， 则在 41 到 60 这 20 个数中应取得号码是 （ ） A 45 B 46 C 47 D 48 15.已知抛物线的方程为 2 4yx， 过其焦点F的直线交抛物线于 ,M N两点， 交y轴于点E, 若 12 ,EMMF ENNF , 则 12 （） A 2 B 2 C 1 D 1 16. 已知关于x的实系数方程： 2 450xx和 2 20xmxm的四个丌同的根， 若这四 个根在复平面上对应的点共圆，则m取值范围是（
6、） 5A 1B 0, 1C 0, 11D 高三年级质量调研考试数学试卷 第 5 页共 15 页 三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸上相应编号 的区域写出必要的步骤） 17（本大题满分 14 分）本大题共有 2 个小题，第一题满分 6 分，第二题满分 8 分） 在直三棱柱 11 ABCABC中， 1 ,2,2 3ABBC ABBCAA,M是侧棱 1 CC上 一点，设MCh （1）若3h ，求多面体 111 ABMABC的体积 （2）若异面直线BM不 11 AC所成的角为60，求h的值 高三年级质量调研考试数学试卷 第 6 页共 15 页 18. （本题满
7、分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。 已知函数 2 ( )3cos3sincos(0)f xxxx （1）当( )f x的最小正周期为2时，求的值 （2）当1时，设三角形ABC的内角, ,A B C对应的边分别为, ,a b c，已知 3 2 A f ，且2 7,6ab，求ABC的面积。 高三年级质量调研考试数学试卷 第 7 页共 15 页 19. 本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 如图，AB、两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在AB、之 间选址P点建造储备仓库， 共享民生物资， 当点
8、P在线段AB的中点C时， 建造费用为2000 万元； 若点P在线段AC上 （丌含点A） ， 则建造费用不PA、之间的距离成反比； 若点P 在线段CB上（丌含点B），则建造费用不PB、之间的距离成反比，现假设PA、之间 的距离为x千米(0100)x，A地所需该物资每年的运输费用为2.5x万元， B地所需该 物资每年的运输费用为0.5(100) x万元，( )f x表示建造仓库费用，( )g x表示两地物资 每年的运输总费用（单位：万元）。 （1）求函数( )f x的解析式： （2） 若规划仓库使用的年数为 * ,( )( )( )n nH xf xng xN， 求( )H x的最小值 ， 幵解释
9、其实际意义， 高三年级质量调研考试数学试卷 第 8 页共 15 页 20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 在平面直角坐标系中，,A B分别为椭圆 2 2 :1 2 x y 的上、下顶点，若动直线 l过点(0, )(1)Pb b ，且不椭圆相交于CD、两个丌同点（直钱l不y轴丌重合，且 CD、两点在y轴右侧，C在D的上方），直线AD不BC相交于点Q . （1）设的两焦点为 12 ,F F，求 12 FAF的值： （2）若3b ，且 3 2 PDPC ，求点Q的横坐标； （3）是否存在这样的点P，使得点Q的纵坐标恒为 1 3 ？若存在，求出点P的坐标；若
10、 丌存在，请说明理由。 高三年级质量调研考试数学试卷 第 9 页共 15 页 21(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分) 已知数列 , n x 若对任意 *, nN都有 2 1 2 nn n xx x ，则称数列 n x为“差增数列”. （1） 试判断数列 2* () n an nN是否为“差增数列”，幵说明理由； （2） 若数列 n a为“差增数列”，且 * 12 ,1, n aNaa对于给定的正整数m， 当, k am项数k的最大值为20时，求m的所有可能取值的集合； （3） 若数列lg n x为“差增数列” * (,2020)
11、,nN n且 122020 lglglg0,xxx 证明： 10101011 1.xx 高三年级质量调研考试数学试卷 第 10 页共 15 页 B A C1 C A1 B1 M N y x z 一、一、填空题填空题（本大题共有（本大题共有12 题，满分题，满分54 分，第分，第16题每题题每题4 分，第分，第712 题每题题每题5 分）分） 15,7； 21； 3 4 ； 46； 550； 628； 75； 8 1 21 ； 9 1 a q ； 101,+； 11 1,2 4 ；12 122 二、二、选择题（本大题共有选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每
12、题有且只有一个正确答案分）每题有且只有一个正确答案 13B； 14C； 15D； 16D 三、解答题三、解答题 17 （本题满分 （本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题个小题, 第第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 解（1）因为3MCh 三棱锥的体积 12 3 33 ABC VSMC 三棱锥 2 分 三棱柱的体积 1 4 3 ABC VSCC 三棱柱 4 分 所以多面体的体积为 1 1 1 10 3 3 ABM ABC VVV 多面体三棱柱三棱锥 6 分 （2）法 1：在平面 11 BCC B上过点 1 C做BM的平行线与 1 BB交于N
13、，联结 1 AN， 则 11 AC N就是异面直线BM与 11 AC所成的角 8 分 显然 1 B Nh， 11 ANC N，且 11 2 2AC 10 分 所以 11 AC N为等边三角形，故 2 48h 12 分 解得：2h 14 分 法 2：以B为坐标原点，以射线 1 ,BC BA BB分别为, ,x y z轴建立空间 ABCM 111 CBAABC 111 CBAABM 高三年级质量调研考试数学试卷 第 11 页共 15 页 直角坐标系，则得到0,0,0B， 1 0,2,2 3A， 1 2, 0,2 3C，2,0,Mh， 11 2,2,0AC ，2,0,BMh 8 分 由异面直线BM与
14、 11 AC所成的角为60得， 11 11 cos60 BM AC BM AC ，10 分 即 2 41 2 84h ， 2 24+4h 12 分 解得2h 14 分 18 （本题满分 （本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题个小题, 第第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 解（1） 333 ( )(1 cos2)sin23sin(2) 2232 f xxxx. 4 分 因为( )f x的周期为，且0，所以 2 =2 2 ，解得 1 2 . 6 分 （2）由（1）得 3 ( )3sin(2) 32 f xx .因为3 2 A f()，所以 3
15、 sin() 32 A . 由0,A，知 4 333 A ，解得 2 33 A ，所以 3 A . 8 分 由余弦定理知 222 c2cosabbcA，即 2 28366cc， 10 分 所以2c或4. 12 分 所以 1 sin3 3 2 ABC SbcA或6 3 14 分 19 （本题满分 （本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题个小题, 第第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 解（1）由题意，当050x时，设( ) k f x x ，其中0k 由(50)2000f，得100000k ，此时 100000 ( )f x x ；2 分 高三
16、年级质量调研考试数学试卷 第 12 页共 15 页 当50100x时，设( ) 100 m f x x ，其中0m 由(50)2000f，得100000m，此时 100000 ( ) 100 f x x ； 4 分 综上可得， 100000 ,050, ( ) 100000 ,50100. 100 x x f x x x 6 分 （2）因为( )2.50.5(100)250g xxxx， 所以( )( )( )H xf xng x 100000 250 ,050, 100000 250 ,50100; 100 nxnx x nxnx x 8 分 由上述解析式可知，当50,100x时，( )H
17、x单调递增， 因此只需考虑0,50x时，( )H x的最小值即可 由于 100000 250400 550nxnnn x ， 当且仅当 100 5n x n 时， “”成立 10 分 所以当 100 5n x n 时，( )H x最小，最小值为400 550nn12 分 若120n， 100 5 50 n x n ，若20n， 100 5 50 n x n 因此，仓库的选址位置与规划仓库使用的年数有关 当仓库使用年数n不超过20年时，仓库建在C处；当仓库使用年数n超过20年时，仓 库建在A、C之间 且选址与A地相距100 5n n 千米时， 所需总费用最少， 为400 550nn 万元 14
18、分 高三年级质量调研考试数学试卷 第 13 页共 15 页 20.（本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分）分） 解（1）由方程知 12 1,0 ,1,0FF，0,1A，所以 2=45 OAF2 分 所以 12=90 F AF 4 分 （2）若3b，设,C D两点的坐标为 11 ,C xy、 22 ,D xy 因为 3 2 PDPC ，所以 2211 3 ,3,3 2 xyxy，即 21 3 2 xx， 21 33 22 yy， 而 11 ,C xy、 22 ,D xy均在椭圆 2 2
19、 1 2 x y上， 代入得 22 11 2 2 11 22, 99 12, 42 xy xy 解得 1 7 9 y ， 6 分 所以 2 1 3 y ，分别代入解得： 12 84 , 93 xx 所以直线BC方程为：21yx，直线AD方程为：1yx ， 8 分 联立 21 1 yx yx ，得 2 3 x 因此点Q的横坐标为 2 3 10 分 （3）假设存在这样的点P，设直线l的方程为(0,1)ykxkbb， 点,C D的坐标为 11 ,C xy、 22 ,D xy 联立 22 22 ykx xy b ，得 222 214220bkxk xb， 由 2222 168(21)(1)0kkbb
20、，得 2 2 1 2 k b ， 由 12 2 2 12 2 4 21 22 21 b b k xx k x x k ，可得 2 1212 1 2 b kx xx b x ，12 分 高三年级质量调研考试数学试卷 第 14 页共 15 页 直线BC方程： 1 1 1 1 y yx x ，直线AD方程： 2 2 1 1 y yx x ， 而 12121 x ykx xbx， 211 22 x ykx xbx，联立 1 1 2 2 1 1 1 1 y yx x y yx x ，消去x， 得 122121 211212 )() ()() x yx yxx y x yx yxx （ 121221 21
21、12 2)() ()() kx xxxxx b xxxx b （ 1221 2112 2 )() ()() b b xxxx xxb xx （11 3b ，14 分 则3 1b ，因此，存在点P0,3，使得点Q的纵坐标恒为 1 3 16 分 21.（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分） 解（1）数列 2 n an * nN是“差增数列” 2 分 因为对任意 * nN，都有 22222 21 (2)2442(1)22(1)2 nnn aannnnnna ， 即 2 1 2 nn
22、n aa a 成立所以数列 2 n an * nN是“差增数列” 4 分 （2）由已知，对任意 * nN， 211nnnn aaaa 恒成立 令 1nnn baa 1n，则 n b N，且 +1nn bb 又 k am，要使项数k达到最大，且最大值为20时，必须 n b118n最小 而 1 0b ，故 2 1b ， 3 2b ，1 n bn6 分 所以 1121 1 =0 12(2)(1)(2) 2 nn aabbbnnn 高三年级质量调研考试数学试卷 第 15 页共 15 页 即当119n时， (1)(2) 1 2 n nn a ， 19 154a， 8 分 因为k的最大值为20，所以 20
23、19 1818 19aa，即18154 18 19m， 所以m的所有可能取值的集合为 * 172191,mmmN 10 分 （3）证明： （反证法）假设 1010 1011 1xx 12 分 由已知得 n x1,2,2020n 均为正数，且 122020 1x xx， 12 1 nn nn xx xx 而由 12 1 nn nn xx xx 得 101010111012 100910101011 xxx xxx ，即 1010 10111009 1012 xxxx， 所以 1009 1012 1xx14 分 又 101010101009101210131013 100810091008101110121011 xxxxxx xxxxxx ，即 1008 1013 1xx 同理可证： 10071014 1xx， 12020 1x x 16 分 因此， 122020 1x xx，与已知矛盾所以 1010 1011 1xx18 分
