1、高三数学 第 1 页 共 14 页 连云港市四星高中连云港市四星高中2020届高三下学期联合模拟考试届高三下学期联合模拟考试 高三数学模拟试题高三数学模拟试题 命题单位:命题单位: 江苏省连云港市老六所四星高中 江苏省海州高中 江苏省赣榆高中 江苏省海头中学 江苏省东海高中 江苏省新海高中 江苏省灌云高中 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上) 1. 已知集合3 , 2 , 1A,4 , 3 , 2B,则集合BA中元素的个数为 2. 复数 i i z 1 1 ,则z 3. 已知一组数据 4,6,5,8,6,7,那么该组
2、数据的方差为 4. 根据如图所示的伪代码,最后输出的 i 的值为 5. xylg1的定义域为 6从长度分别为1 2 3 4、 、 、的四条线段中,任取三条的不同取法 共有 n 种,在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成 的三角形的个数为 m,则 m n 等于 7若双曲线 2 2 2 10 x ym m 的一条渐近线方程为30xy,则m 8已知 n S是等差数列 n a的前n项和,若 123 4aaa, 6 10S ,则 3 a 9. 若关于x的不等式 2 10mxmx 的解集不是空集,则m的取值范围是 10. 已知等边三角形 ABC 的边长为8,D 为 BC 边的中点,沿 AD 将ABC 折
3、成直二面角 BADC,则三棱锥 ADCB 的外接球的表面积为 11. 若tan,tan是方程 2 670xx的两个根,则 12. 设ba,为正实数,则 ba b ba a 2 的最小值为 13. 已知点A,B,C均位于同一单位圆O上,且 2 BA BCAB,若 3PB PC ,则 PAPBPC的取值范围为 14. 已知函数 ln ,1 1,1 2 x x f x x x ,若 1F xff xm有两个零点 12 ,x x,则 12 x x的 取值范围 (第 4 题图) T 1 i 1 While T10 TTi ii2 End While Print i 高三数学 第 2 页 共 14 页 二
4、、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 ) 15.(本题满分 14 分) 设函数 2 2coscos 2 3 f xxx (1)当0, 2 x 时,求 f x的值域; (2)已知ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 3 2 f BC, 2a,求ABC 面积的最大值. 16. (本题满分 14 分) 如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD BC,G 为 PA 上一点 (1)求证:平面 PCD平面 ABCD; (2)若 PC平面 BDG,求证:G 为 PA 的中点 ( 第 16 题 )
5、 C B P G D A 高三数学 第 3 页 共 14 页 17. (本题满分 14分) 如图,在宽为 14m 的路边安装路灯,灯柱 OA 高为 8m,灯杆 PA 是半径为 r m 的圆C的一 段劣弧路灯采用锥形灯罩,灯罩顶 P 到路面的距离为 10m,到灯柱所在直线的距离为 2m设 Q 为灯罩轴线与路面的交点,圆心 C 在线段 PQ 上 (1)当 r 为何值时,点 Q 恰好在路面中线上? (2)记圆心 C 在路面上的射影为 H,且 H 在线段 OQ 上,求 HQ 的最大值 18. (本题满分 16 分) 如图,椭圆 C1: 22 22 1 xy ab (0ab)和圆 C2: 222 xyb
6、,已知圆 C2将椭圆 C1的 长轴三等分,椭圆 C1右焦点到右准线的距离为 2 4 ,椭圆 C1的下顶点为 E,过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2相交于点 A、B (1)求椭圆 C1的方程; (2)若直线 EA、EB 分别与椭圆 C1相交于另一个交点为点 P、M. 求证:直线 MP 经过一定点; 试问:是否存在以(m,0)为圆心, 3 2 5 为半径的圆 G,使得直线 PM 和直线 AB 都与 圆 G 相交?若存在,请求出实数 m 的范围;若不存在,请说明理由 (第 18 题图) x y O A B E M P 高三数学 第 4 页 共 14 页 19. (本题满分 1
7、6 分) 已知函数 32 1 1 3 f xxaxbx(a,bR). (1)若0b,且 f x在0,内有且只有一个零点,求 a 的值; (2) 若 2 0ab , 且 f x有三个不同零点, 问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列? 若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由; (3)若1a ,0b ,试讨论是否存在 0 11 0,1 22 x ,使得 0 1 2 f xf . 20. (本题满分 16 分) 设数列 n a(任意项都不为零) 的前n项和为 n S, 首项为1, 对于任意n N, 满足 1 2 nn n aa S . (1)数列 n a的通项公式; (2)是否存在, ,
8、k m nNkmn 使得, kmn a aa成等比数列,且 42 16, kmn a aa成等差数列?若 存在,试求kmn的值;若不存在,请说明理由; (3)设数列 b, 1 ,21, ,2 ,0 n n n a nkkN b qnk kNq ,若由 n b的前r项依次构成的数列是单 调递增数列,求正整数r的最大值. 来源:163文库 高三数学 第 5 页 共 14 页 连云港市四星高中连云港市四星高中2020届高三下学期联合模拟考试届高三下学期联合模拟考试 高三数学模拟试题高三数学模拟试题(附加题)(附加题) 21A. 已知矩阵 43 21 M ,向量 7 5 . (1)求矩阵 M 的特征值
9、及属于每个特征值的一个特征向量; (2)求 3 M. 21B已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的 正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是: 2 2 2 2 xmt yt (t是参数). (1)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且14AB ,试求实数m值. (2)设,M x y为曲线C上任意一点,求x y 的取值范围. 21C已知 a2,xR.求证:|x1a|xa|3. 2 2 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,PG平面ABCD,垂足为 G,G在AD上,且 1 4,2 3 PGAGGD BGGC GBGC,E是BC的中点
10、(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值; (2)若F点是棱PC上一点,且DFGC,求 PF FC 的值 2 3棋盘上标有第 0、1、2、100 站,棋子开始位于第 0 站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游 戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到调到第 99 站 或第 100 站时,游戏结束.设棋子位于第 n 站的概率为 Pn. (1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋手所走步数之和 X 的分布列与数学期望; (2)证明: 11 1 198 2 nnnn PPPPn ; (3)求 99 P、 100 P的值. 高三数学 第 6 页 共 14 页 连云港市四星高中连云
11、港市四星高中2020届高三下学期联合模拟考试届高三下学期联合模拟考试 高三数学模拟试题参考答案 1.4; 2.1; 3.略 4.7; 5.10, 0; 6. 4 1 ;7. 3;8. 9 14 ; 9. 0m 或 4m ; 10.80;11. 4 k;12.222;13.7 , 5;14),(e. 15. 解: (1)因为 2 2coscos 2 3 f xxx 所以 ( )cos2cos 21 3 f xxx cos2cos2 cossin2 sin1 33 xxx 13 cos2sin21cos 21 223 xxx 即 cos 21 3 f xx , 0, 2 x , 4 2, 333
12、x , 1 cos 21, 32 x 所以 ( )f x的值域为 3 0, 2 ; (2)由 3 ()cos 2()1 32 f BCBC ,得 1 cos 2 32 A ,又(0, )A, 3 A , 在ABC中,由余弦定理,得 222 2cos 3 abcbc , 把2a,代入得: 22 42bcbcbcbcbc,当且仅当bc时取等号, ABC的面积 133 sin43 2344 Sbcbc , 则ABC面积的最大值为3 16. (1)底面ABCD为矩形,BCCD ,又PDBC,,CD PDPCD平面, PDCDD,BC平面PCD,又BCABCD 平面,平面ABCD平面PCD; (2)连接
13、AC,交BD于O,连接GO, /PC平面BDG,平面PCA平面BDGGO,/PCGO, PGCO GAOA , 底面ABCD为矩形,O是AC的中点,即COOA,PGGA,G为PA的中点. 17. (1)以 O 为原点,以 OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系, 则 A(0,8) ,P(2,10) ,Q(7,0) , 直线 PQ 的方程为 2x+y140设 C(a,b) ,则 222 222 (2)(10) (8) abr abr , 高三数学 第 7 页 共 14 页 两式相减得:a+b100,又 2a+b140,解得 a4,b6, 22 4(68)2 5r 当2 5r 时,点 Q 恰好
14、在路面中线上 (2)由(1)知 a+b100, 来源:Z_xx_k.Com 当 a2 时,灯罩轴线所在直线方程为 x2,此时 HQ0 当 a2 时,灯罩轴线所在方程为:y10 2 a a (x2) , 令 y0 可得 x12 20 a ,即 Q(12 20 a ,0) , H 在线段 OQ 上,12 20 a a,解得 2a10 |HQ|12 20 a a12( 20 a +a)122 20124 5, 当且仅当 20 a a 即 a2 5时取等号|HQ|的最大值为(124 5)m 【点睛】本题考查了直线方程,直线与圆的位置关系,考查基本不等式与函数最值的计算,属于 中档题 18. )依题意,
15、 1 22 3 ba,则3ab, 22 2 2cabb ,又 22 2 4 ab c cc ,1b,则3a , 椭圆方程为 2 2 1 9 x y (2) 由题意知直线,PE ME的斜率存在且不为 0, 设直线PE的斜率为k, 则PE:1ykx, 由 2 2 1, 1, 9 ykx x y 得 2 2 2 18 , 91 91, 91 k x k k y k 或 0, 1, x y 2 22 1891 (,) 91 91 kk P kk ,用 1 k 去代k,得 2 22 189 (,) 99 kk M kk , 高三数学 第 8 页 共 14 页 方法 1: 22 2 22 22 919 1
16、 919 1818 10 919 PM kk k kk k kk k kk , PM: 22 22 9118 () 9109 kkk yx kkk ,即 2 14 105 k yx k ,直线PM经过定点 4 (0,) 5 T 方法 2: 作直线l关于y轴的对称直线 l, 此时得到的点P、M关于y轴对称, 则PM与P M 相交于y轴,可知定点在y轴上, 当1k 时, 9 4 ( ,) 5 5 P, 9 4 (,) 5 5 M ,此时直线PM经过y轴上的点 4 (0,) 5 T, 2 2 2 2 914 1 915 , 18 10 91 PT k k k k k k k 2 2 2 2 94 1
17、 95 , 18 10 9 MT k k k k k k k PTMT kk,P、M、T三点共线,即直线PM经过点T, 综上所述,直线PM经过定点 4 (0,) 5 T 由 22 1, 1, ykx xy 得 2 2 2 2 , 1 1, 1 k x k k y k 或 0, 1, x y 2 22 21 (,) 11 kk A kk ,则直线AB: 2 1 2 k yx k , 设 2 1 10 k t k ,则tR,直线PM: 4 5 ytx,直线AB:5ytx, 假设存在圆心为( ,0)m,半径为 3 2 5 的圆G,使得直线PM和直线AB都与圆G相交, 则 2 2 53 2,( ) 5
18、 125 4 35 2,( ) 5 1 tm i t mt ii t 由(i)得 22 1818 25 () 2525 tm 对tR恒成立,则 2 18 25 m , 由(ii)得, 22 1882 ()0 25525 mtmt对tR恒成立, 当 2 18 25 m 时,不合题意; 当 2 18 25 m 时, 22 8182 ()4()()0 52525 mm ,得 2 2 25 m ,即 22 55 m, 高三数学 第 9 页 共 14 页 存在圆心为( ,0)m, 半径为 3 2 5 的圆G, 使得直线PM和直线AB都与圆G相交, 所有m的 取值集合为 22 (,) 55 解法二: 圆
19、22 18 :() 25 Gxmy,由上知PM过定点 4 (0,) 5 ,故 22 418 ( ) 525 m ;又直线AB 过原点,故 22 18 :0 25 G m ,从而得 22 (,) 55 m 考点:1.直线与圆锥曲线的关系;2.椭圆的标准方程 19. (1)若0b,则 32 1 1 3 f xxax, 2 2fxxax, 若0a,则在0,,则 0fx ,则 f x在0,上单调递增, 又 010f ,故 f x在0,上无零点,舍; 若0a ,令 2 20fxxax,得 0fx, 1 0x , 2 2xa , 在0, 2a上, 0fx , f x在上单调递减, 在0, 2a上, 0fx
20、 , f x在上单调递增, 故 333 84 2411 33 fxfaaaa 极小值 , 若 3 4 10 3 a ,则20fa, f x在0,上无零点,舍; 若 3 4 10 3 a ,则20fa, f x在0,上恰有一零点,此时 1 3 3 4 a ; 若 3 4 10 3 a ,则20fa, 010f , 2 3310faaaa , 则 f x在0, 2a和2 , 3aa上有各有一个零点,舍;故 a 的值为 1 3 3 4 . (2)因为 2 0ab ,则 322 1 1 3 f xxaxa x,若 f x有三个不同零点,且成等差数 高三数学 第 10 页 共 14 页 列, 可设 32
21、2232 11 33 33 f xxmdxmxmdxmxmdxmmd, 故ma,则0fa,故 333 1 10 3 aaa , 3 5 1 3 a , 3 3 5 a . 此时, 3 3 5 m , 2 6da ,故存在三个不同的零点. 故符合题意的 a 的值为 1 3 3 5 . (3)若1a ,0b , 32 1 1 3 f xxxbx, 32 32 0000 111 111 11 233 222 f xfxxbxb 32 322 000000 111111 4147 12 3222122 xxb xxxxb 若存在 0 11 0,1 22 x ,使得 0 1 2 f xf , 必须 2
22、00 4147 120xxb在 11 0,1 22 上有解. 0b , 2 1416 7 124 21 480bb 方程的两根为: 142 21 48721 48 84 bb , 0 0x Q, 0 x 只能是 721 48 4 b , 依题意 721 48 01 4 b ,即721 4811b,4921 48121b 即 257 1212 b , 又由 721 481 42 b ,得 5 4 b ,故欲使满足题意的 0 x存在,则 5 4 b , 当 25557 , 124412 b 时,存在唯一的 0 11 0,1 22 x 满足 0 1 2 f xf , 高三数学 第 11 页 共 14
23、 页 当 2575 ,0 12124 b 时,不存在 0 11 0,1 22 x 使 0 1 2 f xf . 【点睛】本题考查了函数的零点问题,解方程,意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20.(1)数列 n a 是非零数列, 0 n a . 当1n 时, 12 11 2 a a aS, 2 2a; 当2n且n N时, 11 1 22 nnnn nnn a aaa aSS , 11 2 nn aa , 21n a 是首项为1,公差为2的等差数列, 2n a是首项为2,公差为2的等差数列, 211 2121 n aann , 22 212 n aann, n an nN . (2)设存在,
24、 ,k m nNkmn ,满足题意, 来源:Z*xx*k.Com , kmn a aa成等比数列, 2 mkn; 42 16, kmn a aa成等差数列, 42 216mkn, 消去m可得: 222 216k nkn, 2 2 16 21 k n k , kmn,3n , 2 16 8 21 k k ,解得: 13 0 2 k , kN Q,1k ,4n ,2m,7kmn . (3)若 n b是单调递增数列,则n为偶数时, 1 11 n nqn 恒成立, 两边取自然对数化简可得: ln1ln1 ln 11 nn q nn ,显然1q , 设 ln x fx x ,则 2 1 ln x fx
25、x , 当0,xe 时, 0fx ;当,xe时, 0fx , f x在0,e上单调递增,在, e 上单调递减, f x在x e 处取得极大值, 当 4n 时, ln1 1 n n 是递减数列, 又 ln1ln3 13 , ln3 3 是 ln1 1 n n 的最大值, ln3 ln 3 q; 设 ln2 1 x g xx x ,则 22 2 ln21ln2 22 0 x xx xx gx xx , 高三数学 第 12 页 共 14 页 ln1 1 n n 是递减数列,当6n时, ln7ln3 53 ,当8n 时, ln9ln3 73 , 当2 6n时,存在 1 3 3q ,使得 1 11 n
26、nqn 恒成立; 当8n 时, 1 1 n qn 不成立, 至多前8项是递增数列,即正整数r的最大值是8. 【点睛】 本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题, 涉及到数列通项公式的求解、 根据等差数列和等 比数列定义求解参数值、 根据数列单调性求解参数值等问题; 由数列单调性确定参数值的关键是 能够将问题转化为恒成立问题,通过构造函数的方式来确定上下限,进而通过讨论得到结果,属 于难题. 21A.(1)矩阵M的特征多项式为 ( )(1)(2)f , 令( )0f,可求得特征值为 1 1, 2 2,设 1 1对应的一个特征向量为 x y , 则由 1 M ,得 330xy ,可令1x ,则1y
27、 , 所以矩阵M的一个特征值 1 1对应的一个特征向量为 1 1 , 同理可得矩阵M的一个特征值 2 2对应的一个特征向量为 3 2 (2) 713 2 512 来源:163文库, 所以 33 1349 22 1233 M 【点睛】 本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识, 意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平 21B 解: 1曲线C的极坐标方程是 4cos 化为直角坐标方程为: 22 40xyx,直 线l的直角坐标方程为:y xm . 圆心到直线l的距离(弦心距) 2 2 142 2 22 d , 圆心2,0到直线y xm 的距离为 : 202 22 m , 21m 1m或3m
28、. 高三数学 第 13 页 共 14 页 2曲线C的方程可化为 2 2 24xy,其参数方程为: 22cos 2sin x y (为参数) ,M x y为曲线C上任意一点, 22sin2 4 xy xy 的取值范围是22 2,22 2 . 【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用,属于中档题. 22试题解析: (1)以G点为原点,、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系,则(2,0,0)B,(0,2,0), (0,0,4)CP,故 1,1,0 ,1,1,0 ,(0,2, 4),EGEPC ,GE与PC所成角的余弦值为 10 10 (2)解:设(0, , )Fy z,则, ,即 33 ( ,
29、) (0,2,0)230 22 yzy, 3 2 y , 又,即 3 (0,4)(0,2, 4) 2 z, 1z ,故 3 (0,1) 2 F, 3 5 2 3 5 2 PF FC 考点:空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用. 23.(1)由题意可知,随机变量X的可能取值有3、4、5、6. 3 11 3 28 P X , 3 1 3 13 4 28 P XC , 3 2 3 13 5 28 P XC , 3 11 6 28 P X . 高三数学 第 14 页 共 14 页 所以,随机变量X的分布列如下表所示: X 3 4 5 6 P 1 8 3 8 3 8 1 8 所以,随机变量X的数学
30、期望为 13319 3456 88882 EX ; 来源:163文库 ZXXK (2)根据题意,棋子要到第1n站,由两种情况,由第n站跳1站得到,其概率为 1 2 n P ,也 可以由第1n站跳2站得到,其概率为 1 1 2 n P ,所以, 11 11 22 nnn PPP . 等式两边同时减去 n P得 111 111 198 222 nnnnnn PPPPPPn ; (3)由(2)可得 0 1P , 1 1 2 P , 210 113 224 PPP. 由(2)可知,数列 1nn PP 是首项为 21 1 4 PP,公比为 1 2 的等比数列, 11 1 111 422 nn nn PP , 2399 99121329998 1111 2222 PPPPPPPP LL 98 100 11 1 42 121 1 1232 1 2 , 又 99 9998 99 11 = 22 PP ,则 98 99 21 1 32 P , 由于若跳到第99站时,自动停止游戏,故有 10098 99 111 1 232 PP . 【点睛】 本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用, 同时也考查了累加法求数列 通项,综合性较强,属于难题.