1、第 1页（共 21页） 2020 年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（文科）年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（文科） 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 （5 分）若集合 | 24Axx ， 2 |9 0Bx x ，则集合(AB ) A( 2，3B(3，4C 3，2)D 3，4) 2 （5 分）已知复数z满足(1)(2)(zii i是虚数单位） ，则z的共轭复数(z ) A13iB33iC13iD33i 3 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0
2、) xy ab ab 的两条渐近线互相垂直，焦距为6 2，则该双 曲线的实轴长为() A3B6C9D12 4 （5 分）已知m，n为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题正确 的是() A若/ /m，/ /n，则/ /mnB 若，且m ， 则m C若m，n，/ /m，/ /n，则/ /D若m，/ /n，则 mn 5 （5 分）数列 n a是公差为 2 的等差数列， n S为其前n项和，且 1 a， 4 a， 13 a成等比数列， 则 4 (S ) A8B12C16D24 6 （5 分）若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为rnbmodm，例如2125bmod， 如图程序框图的算法源于我
3、国古代著名的中国剩余定理，执行该程序框图，则输出的i等于 () 第 2页（共 21页） A2B4C8D16 7 （5 分）为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月均用水量（单 位：吨） ，将该数据按照0，0.5)，0.5，1)，4.4.5分成 9 组，绘制了如图所示的频率 分布直方图，政府要试行居民用水定额管理，制定了一个用水量标准a，使85%的居民用 水量不超过a，按平价收水费，超出a的部分按议价收费，则以下比较适合作为标准a的是 () A2.5 吨B3 吨C3.5 吨D4 吨 第 3页（共 21页） 8 （5 分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰
4、斯(Hipparchus，又 名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮；星等 的数值越大它的光就越暗到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文 学家普森(MR)Pogson又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可 以用星等或亮度来描述 两颗星的星等与亮度满足 1221 2.5()mmlgElgE， 其中星等为 k m 的星的亮度为(1,2) k Ek 已知“心宿二”的星等是 1.00， “天津四”的星等是 1.25， “心宿二” 的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x较小时， 2 1012.32.7)( x xx )
5、 A1.24B1.25C1.26D1.27 9（5 分） 已知函数( )3sin()(0) 6 f xx 在(0,) 12 上单调递增， 则的最大值是() A1B2C4D6 10 （5 分）已知(0,) 4 ， sin (sin)a ， cos (sin )b ， sin (cos )c ，则a，b，c的 大小关系() AbacBbcaCabcDcba 11 （5 分）已知抛物线 2 4yx的焦点F，准线为l，过点F且斜率为3的直线交抛物线 于点(M M在第一象限） ，MNl于点N，直线NF交y轴于点D，则| (MD ) A4B2 3C2D3 12 （5 分）已知函数 1 ,1 2 ( ) 1
6、1 (),1 32 lnxx f x xx ，若 12 ()()1f xf x，则 12 xx的取值范围是( ) A43 3ln，)B53 3ln，)C2，5 3lnD2，62ln 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知单位向量, a b 满足(2 )2a ab ，则向量, a b 夹角的大小为 14 （5 分）已知点C是圆 22 4470xyxy圆心，点M在直线3460xy上，则 |MC的最小值为 15 （5 分）造纸术是我国古代四大发明之一纸张的规格是纸张制成之后，经过修整切边， 裁成一定的尺寸现在我国采用国际标准，规定以0A
7、，1A，10A；0B，1B，10B 第 4页（共 21页） 等标记来表示纸张的幅面规格复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅 面规格为： 0A规格的纸张幅宽 （以x表示） 和长度 （以y表示） 的比例关系为:1:2x y ， 将0A纸张沿长度方向对开成两等份，便成为1A规格，1A纸张沿长度方向对开成两等份， 便成为2A规格，如此对开至8A规格，现有0A，1A，2A，3A，8A纸各一张， 若4A纸的面积为 2 624cm，这九张纸的面积之和等于 2 ()cm 16 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，有下列四个命题： 11 AB与平面 11 BCD A所
8、成的角为45； 三棱锥 1 AA BD与三棱锥 11 CA BD的体积比为1:2； 存在唯一平面，使得平面/ /平面 1 ABD且截此正方体所得截面为正六边形； 过点A作平面，使得棱AB，AD， 1 AA在平面上的正投影的长度相等，则这样的平 面有且只有一个； 上述四个命题中，正确命题的序号为 三、解答题：第三、解答题：第 1721 题每题题每题 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABCD是正方形，E是CD 的中点，点F在BC上，且3BFFC （）证明：EF 平面PAE；
9、 （）若4PAAB，求点C到平面PEF所成的距离 第 5页（共 21页） 18 （12 分）已知ABC的面积为 3，BC边上的高是 2，tan3A （）求ABC外接圆的半径； （）求AB和AC的长 19 （12 分）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题例 如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查 者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况， 为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出 300 名学生，调查中使用了两个问题你的学籍 号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号） ；你是否有早恋现象，让
10、被调查者从装 有 4 个红球，6 个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到两球同色的学 生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个 盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了 78 个小石子 （）试计算掷两枚骰子点数之和为偶数的概率； （）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？ 20 （12 分）已知函数 2 ( )()f xaxxlnxx aR （）当 1 a e 时，求曲线( )yf x在点(e，f（e）)处的切线方程； （）若( )f x在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 22 22
11、 :1(0) xy Eab ab 的左焦点为( 1,0)F ，其四个顶点围成的四边 形面积为2 6 （）求曲线E的方程； （）过点F的直线l与曲线E交于A，B两点，设AB的中点为M，C、D两点为曲线E 上关于原点O对称的两点，且(0)COOM ，求四边形ACBD面积的取值范围 第 6页（共 21页） 选考题：共选考题：共 10 分，请考生在分，请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计 分作答时用分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，
12、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线E的极坐标方程为2，四边形ABCD的四个顶点都在曲线E上 （）求曲线E的直角坐标方程； （）若AC，BD相交于点(1,1)P求| | | |PAPBPCPD的值 23已知函数( ) |1|2|f xxx （）求不等式( ) 5f x 的解集； （）若不等式 2 ( )1f xxax 的解集包含 1，1，求实数a的取值范围 第 7页（共 21页） 2020 年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（文科）年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（文科） 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中只有
13、一项是符合在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 （5 分）若集合 | 24Axx ， 2 |9 0Bx x ，则集合(AB ) A( 2，3B(3，4C 3，2)D 3，4) 【解答】解：集合 | 24Axx ， 2 |9 0 | 33Bx xxx ， 集合 | 34 3ABxx ，4) 故选：D 2 （5 分）已知复数z满足(1)(2)(zii i是虚数单位） ，则z的共轭复数(z ) A13iB33iC13iD33i 【解答】解：(1)(2)22113ziiiii ， 13zi 故选：C 3 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两
14、条渐近线互相垂直，焦距为6 2，则该双 曲线的实轴长为() A3B6C9D12 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 则双曲线的渐近线方程为 b yx a 两条渐近线互相垂直， ()1 bb aa ， 22 ab， 焦距为6 2，26 2c，3 2c ， 22 18aa， 2 9a，3a， 双曲线的实轴长为：6 故选：B 4 （5 分）已知m，n为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题正确 的是() 第 8页（共 21页） A若/ /m，/ /n，则/ /mnB 若，且m ， 则m C若m，n，/ /m，/ /n，则/ /D若m，/ /n，则 mn 【解答】解：
15、A若/ /m，/ /n，则/ /mn，相交，或为异面直线，因此不正确； B若，且m ，则m，因此正确； C若m，n，/ /m，/ /n，则与不一定平行，因此不正确； D若m，/ /n，则m与n不一定垂直，因此不正确 故选：B 5 （5 分）数列 n a是公差为 2 的等差数列， n S为其前n项和，且 1 a， 4 a， 13 a成等比数列， 则 4 (S ) A8B12C16D24 【解答】解：数列 n a是公差d为 2 的等差数列， n S为其前n项和，且 1 a， 4 a， 13 a成等比 数列， 可得 2 41 13 aa a，即 2 111 (6)(24)aa a， 解得 1 3a
16、， 则 41 46436224Sad 故选：D 6 （5 分）若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为rnbmodm，例如2125bmod， 如图程序框图的算法源于我国古代著名的中国剩余定理，执行该程序框图，则输出的i等于 () 第 9页（共 21页） A2B4C8D16 【解答】解：模拟程序的运行，可得 1i ，7n ， 第一次执行循环体，得2i ，9n ，此时930mod，不满足第一条件； 第二次执行循环体，得4i ，13n ，此时1331mod ，但1353mod，不满足第二条件； 第三次执行循环体，得8i ，21n ，此时2130mod，不满足第一条件； 第四次执行循环体，得16i ，
17、37n ，此时3731mod，且3752mod，满足第二条件， 此时退出循环 所以输出i的值为 16 故选：D 7 （5 分）为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月均用水量（单 位：吨） ，将该数据按照0，0.5)，0.5，1)，4.4.5分成 9 组，绘制了如图所示的频率 分布直方图，政府要试行居民用水定额管理，制定了一个用水量标准a，使85%的居民用 水量不超过a，按平价收水费，超出a的部分按议价收费，则以下比较适合作为标准a的是 () 第 10页（共 21页） A2.5 吨B3 吨C3.5 吨D4 吨 【解答】解：0，0.5)的频数为0.080.5 1004，0
18、.5，1)的频数为0.160.5 1008， 1，1.5)的频数为0.30.5 10015， 1.5，2)的频数为0.440.5 10022，2，2.5)的频数为0.50.5 10025，2.5，3)的 频数为0.280.5 10014，3，3.5)的频数为0.120.5 1006， 3.5，4)的频数为0.080.5 1004，4.4.5的频数为0.040.5 1002 481522251486 故前六组占86%，a为 3 吨 故选：B 8 （5 分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又 名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小
19、，星星就越亮；星等 的数值越大它的光就越暗到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文 学家普森(MR)Pogson又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可 以用星等或亮度来描述 两颗星的星等与亮度满足 1221 2.5()mmlgElgE， 其中星等为 k m 的星的亮度为(1,2) k Ek 已知“心宿二”的星等是 1.00， “天津四”的星等是 1.25， “心宿二” 的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x较小时， 2 1012.32.7)( x xx ) A1.24B1.25C1.26D1.27 【解答】解：设“心宿二”的星等是 1 m， “
20、天津四”的星等是 2 m， “心宿二”的亮度是 1 E， “天津四”的亮度是 2 E， 第 11页（共 21页） 则 1 1.00m ， 2 1.25m ， 12 ErE， 两颗星的星等与亮度满足 1221 2.5()mmlgElgE， 22 1 1.252.5()lgElgrE ， 即：0.1lgr ， 0.12 1012.3 0.12.7(0.1)10.230.0271.257r ， 与r最接近的是 1.26， 故选：C 9（5 分） 已知函数( )3sin()(0) 6 f xx 在(0,) 12 上单调递增， 则的最大值是() A1B2C4D6 【解答】解：由函数( )3sin()(0
21、) 6 f xx 在区间(0,) 12 上单调递增， 可得 1262 ， 求得4，故的最大值为 4， 故选：C 10 （5 分）已知(0,) 4 ， sin (sin)a ， cos (sin )b ， sin (cos )c ，则a，b，c的 大小关系() AbacBbcaCabcDcba 【解答】解：(0,) 4 a ， 0sincos1aa， (sin)xy单调递减； sincos (sin)(sin) ， ba； sin yx 单调递增， sinsin (sin)(cos ) ； ac ； cab 第 12页（共 21页） 故选：A 11 （5 分）已知抛物线 2 4yx的焦点F，准线
22、为l，过点F且斜率为3的直线交抛物线 于点(M M在第一象限） ，MNl于点N，直线NF交y轴于点D，则| (MD ) A4B2 3C2D3 【解答】解：由题意，可知：(1,0)F 直线:3(1) FM lyx 联立 2 3(1) 4 yx yx ， 整理，得 2 31030xx 解得 1 3 x ，或3x 当 1 3 x 时， 2 3 3 y ；当3x 时，2 3y 点M坐标为(3，2 3) 准线:1l x 点N坐标为( 1，2 3) 直线FN斜率 2 3 3 1 1 NF k :3(1) FN lyx ， 点D坐标为(0, 3) 22 |(30)(2 33)2 3MD 故选：B 12 （5
23、 分）已知函数 1 ,1 2 ( ) 11 (),1 32 lnxx f x xx ，若 12 ()()1f xf x，则 12 xx的取值范围是( ) A43 3ln，)B53 3ln，)C2，5 3lnD2，62ln 【解答】解：由题意可知( )f x在R上单调递增，且1x 时 1 ( ) 2 f x ，1x 时， 1 ( ) 2 f x ， 若 12 ()()1f xf x，则 12 1xx ， 第 13页（共 21页） 即 21 111 ()1 232 lnxx 所以 21 31lnxx， 则 1222 13xxlnxx ， 令( )13g xlnxx ，1x ， 则 33 ( )1
24、x g x xx ， 易得13x时，函数( )g x单调递减，当3x 时，函数单调递增， 故3x 时函数( )g x取得最小值43 3ln， 故( )g x的值域43 3ln，) 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知单位向量, a b 满足(2 )2a ab ，则向量, a b 夹角的大小为 3 【解答】解：| | 1ab ， 2 (2 )2122a abaa ba b ， 1 2 a b ， 1 cos, 2| a b a b a b ，且0, a b ， , 3 a b 故答案为： 3 14 （5 分）已知点C是圆
25、 22 4470xyxy圆心，点M在直线3460xy上，则 |MC的最小值为4 【解答】解：化圆 22 :4470C xyxy为 22 (2)(2)1xy， 则圆心坐标为(2, 2)，半径为 1 圆心C到直线3460xy的距离 22 |686| 41 3( 4) d ， 直线3460xy与圆C相离，如图： 第 14页（共 21页） |MC的最小值为 4 故答案为：4 15 （5 分）造纸术是我国古代四大发明之一纸张的规格是纸张制成之后，经过修整切边， 裁成一定的尺寸现在我国采用国际标准，规定以0A，1A，10A；0B，1B，10B 等标记来表示纸张的幅面规格复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，
26、其中A系列的幅 面规格为： 0A规格的纸张幅宽 （以x表示） 和长度 （以y表示） 的比例关系为:1:2x y ， 将0A纸张沿长度方向对开成两等份，便成为1A规格，1A纸张沿长度方向对开成两等份， 便成为2A规格，如此对开至8A规格，现有0A，1A，2A，3A，8A纸各一张， 若4A纸的面积为 2 624cm，这九张纸的面积之和等于19929 2 ()cm 【解答】 解： 可设Ai纸张的面积分别为 i S，0i ， 1， 8， 则 i S为等比数列， 公比 1 2 q ， 4 40 1 624( ) 2 SS，解得 0 9984S 可得这 9 张纸的面积之和 9 2 1 99841( ) 2
27、 19929 1 1 2 cm 故答案为：19929 16 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，有下列四个命题： 11 AB与平面 11 BCD A所成的角为45； 三棱锥 1 AA BD与三棱锥 11 CA BD的体积比为1:2； 存在唯一平面，使得平面/ /平面 1 ABD且截此正方体所得截面为正六边形； 过点A作平面，使得棱AB，AD， 1 AA在平面上的正投影的长度相等，则这样的平 面有且只有一个； 上述四个命题中，正确命题的序号为 第 15页（共 21页） 【解答】解：如图所示， 11 AB与平面 11 BCD A所成的角为 11 45B AB，正确；
28、三棱锥 1 AA BD的体积 2 111 1 326 ，三棱锥 11 CA BD的体积 3 11 14 63 ，因此体 积比1:2，正确； 存在唯一平面，使得平面/ /平面 1 ABD且截此正方体所得截面为正六边形， 如图所示EFGHKL，E，F，G，H，K，L分别为各棱的中点，正确； 过点A作平面，使得棱AB，AD， 1 AA在平面上的正投影的长度相等， 则这样的平面有且只有一个，是经过点A且与直线 1 AC垂直的平面，正确 上述四个命题中，正确命题的序号为 故答案为： 三、解答题：第三、解答题：第 1721 题每题题每题 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说
29、明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABCD是正方形，E是CD 的中点，点F在BC上，且3BFFC （）证明：EF 平面PAE； （）若4PAAB，求点C到平面PEF所成的距离 第 16页（共 21页） 【解答】 （）证明：PA 平面ABCD，PAEF， 在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且3BFFC， 设4AB ，则2EDEC，3BF ，1FC ， 222 4220AE， 222 215EF ， 222 4325AF ， 222 AEEFAF，即EFAE， 又PAAEA ，EF平面PAE； （）解：连接PC， 由4PAAB
30、，结合（）可得 2 42541PF ， 2 4206PE ，5EF ， 413656 41 cos 412416 EPF ，则 205 sin 41 EPF 1205 4163 5 241 PEF S ， 1 2 11 2 EFC S 设点C到平面PEF所成的距离为h 则由 P EFCC PEF VV ，得 11 3 51 4 33 h ，解得 4 5 15 h 即点C到平面PEF所成的距离为 4 5 15 18 （12 分）已知ABC的面积为 3，BC边上的高是 2，tan3A （）求ABC外接圆的半径； 第 17页（共 21页） （）求AB和AC的长 【解答】解： （）由题意，设ABc，A
31、Cb，BCa，tan30A 2 1110 cos 11910 A tan A ， 2 3 10 sin1 10 Acos A， ABC的面积S为 3，BC边上的高h是 2， 11 32 22 aha ，解得3a ， 设ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可得 3 2 sin3 10 10 a R A ，解得ABC外接圆的 半径 10 2 R （）由（）可得 3 10 sin 10 A ，ABC的面积S为 13 10 3sin 220 bcAbc， 解得2 10bc ， 由（）可得3a ， 10 cos 10 A ，利用余弦定理可得 2222 1010 924 10 1010 bcbcbc，可得
32、 22 13bc， 由联立解得 2 2 5 b c ，或 5 2 2 b c 19 （12 分）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题例 如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查 者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况， 为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出 300 名学生，调查中使用了两个问题你的学籍 号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号） ；你是否有早恋现象，让被调查者从装 有 4 个红球，6 个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到两球同色的学 生如实回答第一个问
33、题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个 盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了 78 个小石子 （）试计算掷两枚骰子点数之和为偶数的概率； （）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？ 【解答】解： （）掷两枚质地均匀的骰的所有情况列表得： (1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6) (1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5) 第 18页（共 21页） (1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4) (1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3) (1,2)(2,2)(3,2)(4,2
34、)(5,2)(6,2) (1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1) 一共有 36 种等可能的结果，两个骰子点数之和为偶数的概率为 181 362 p ； （）摸到同色球的概率为 22 46 1 2 10 7 15 CC p C ， 摸到异色球的概率为 11 46 2 2 10 8 15 C C p C ， 由此可估计 300 人中有 7 300140 15 人摸到同色球，160 人摸到异色球， 所以有 140 人回答了问题，160 人回答了问题， 因为学生学籍号的后四位是顺序号，所以最后一位是奇数的概率为 1 2 ， 因此回答问题的 140 人有 70 人回答了“是” ， 据
35、此估计有 8 人在问题中回答了“是” ， 所以估计中学生早恋人数的百分比为 8 5% 160 20 （12 分）已知函数 2 ( )()f xaxxlnxx aR （）当 1 a e 时，求曲线( )yf x在点(e，f（e）)处的切线方程； （）若( )f x在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围 【解答】解：( ) I当 1 a e 时， 2 ( ) x f xxlnxx e ， 2 ( )2 x fxlnx e ， f（e）eeee ， f （e）1 ， 所以切线方程为()yexe ，即0xy； ()II由( )22fxaxlnx，0x ，设( )22g xaxlnx，0x ，则 1
36、( )2g xa x ， 当0a 时，( )0g x，( )g x在(0,)单调递减， 由 222222 ()222 (1)0 aaa g eaeaa e ，g（1）220a， ( )g x在(0,)不恒正或恒负， ( )f x在(0,)不为单调函数，不符合条件； 第 19页（共 21页） 当0a 时，( )2g xlnx ，0x ，显然不满足条件； 当0a 时，由( )0g x，得 1 2 x a ， 当 1 (0,) 2 x a 时，( )g x递减，当 1 (2x a ，)时，( )g x递增； 1 ( )()21 2 min g xgln a a ， 根据题意要使( ) 0g x 恒成
37、立，则21ln a ，即 2 e a ， 综上， 2 e a 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左焦点为( 1,0)F ，其四个顶点围成的四边 形面积为2 6 （）求曲线E的方程； （）过点F的直线l与曲线E交于A，B两点，设AB的中点为M，C、D两点为曲线E 上关于原点O对称的两点，且(0)COOM ，求四边形ACBD面积的取值范围 【解答】 解：（） 根据题意得22 6ab ， 所以 22 6a b ， 又因为 222 1cab ， 解得 2 3a ， 2 2b ， 所以E的方程为 22 1 32 xy ； （）当直线l的斜率为 0 时，点M与O重合
38、，不满足(0)COOM ，故斜率不为 0； 当直线斜率不为 0 时，设:1AB xmy，代入E得 22 2(1)360myy， 整理得 22 (23)440mymy， 设 1 (A x， 12 ) (y B x， 2) y，则 12 2 4 23 m yy m ， 12 2 4 23 y y m ， 所以 22 22 12 2222 16164 3(1) 1|1 (23)2323 mm ABmyym mmm ， 2 1212 22 46 ()22 2323 m xxm yy mm ， 所以 2 3 (2 3 M m ， 2 2 ) 23 m m ， 因为(0)COOM ，所以 2 3 (2 3
39、 C m ， 2 2 ) 23 m m ， 第 20页（共 21页） 又因为C在曲线E上，代入得 222 2222 94 (23)(23) 1 32 m mm ， 整理得 22 23m， 因为点O到直线AB的距离 2 1 1 d m ， 设四边形ACBD面积为S，ABO的面积为 1 S， 则 22 1 22 2 114 3(1)11 2 3 222323 1 mm SAB d mm m ， 所以 2 111 2 1 (1)(1)24 3 23 ABCABD m SSSSSS m ， 将 22 23m代入得 2 2 2 11 4 34 3 1 23 2 1 m S m m ， 因为mR，所以当0
40、m 时S取最小值为 4，所以42 6S 故四边形的取值范围为4，2 6) 选考题：共选考题：共 10 分，请考生在分，请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计 分作答时用分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线E的极坐标方程为2，四边形ABCD的四个顶点都在曲线E上 （）求曲线E的直角坐标方程； （）若AC，BD相交于点(1,1)P求| | | |PAPBPCPD的值 【解答】解：
41、 （）曲线E的极坐标方程为2，转换为直角坐标方程为： 22 4xy （）设经过点(1,1)P的直线AC的参数方程为 1cos 1sin( xt ytt 为参数） 把 直 线AC的 参 数 方 程 代 入 圆 的 方 程 为 22 (1cos)(1sin)4tt， 整 理 得 2 2(cossin )20tt， 所以 1 2 2t t 所以 1 2 | | 2PA PCt t 第 21页（共 21页） 同理经过点(1,1)P的直线BD的参数方程为： 1cos 1sin( xt ytt 为参数） ， 把 直 线BD的 参 数 方 程 代 入 圆 的 方 程 为 22 (1cos)(1sin)4tt
42、， 整 理 得 2 2(sincos )20tt， 所以 3 4 2t t ， 所以 3 4 | | 2PBPDt t 故：| | | | 4PAPBPCPD 23已知函数( ) |1|2|f xxx （）求不等式( ) 5f x 的解集； （）若不等式 2 ( )1f xxax 的解集包含 1，1，求实数a的取值范围 【解答】解： （）函数 21,2 ( ) |1|2|4, 21 21,1 xx f xxxx xx ； 当2x时，不等式( ) 5f x 为21 5x ，解得3x ，即32x ； 当21x 时，不等式( ) 5f x 为4 5恒成立，即21x ； 当1x 时，不等式( ) 5f x 为21 5x ，解得2x，即12x ； 综上知，不等式( ) 5f x 的解集为 | 32xx ； （）不等式 2 ( )1f xxax 的解集包含 1，1， 即 1x ，1时，不等式 2 41xax 恒成立； 即 1x ，1时，不等式 2 3 0xax 恒成立； 设 2 ( )3g xxax， 1x ，1， 则 ( 1) 0 (1) 0 g g ，即 13 0 13 0 a a ， 解得22a ； 所以实数a的取值范围是 2，2
