1、第 1页（共 22页） 2020 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合1A ，3，5，7， |28 x Bx，则(AB ) A1B1，3C5，7D3，5，7 2（5 分） 欧拉公式cossin i ei 把自然对数的底数e， 虚数单位i， 三角函数cos和sin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足() i ei zi ， 则|
2、 (z ) A1B 2 2 C 3 2 D2 3 （5 分）若实数x，y满足约束条件 24 0, 4 0, 323 0, xy xy xy 则2zxy的最小值是() A16B7C4D5 4 （5 分）已知数列 n a是等差数列，若 2 2a ， 6 39S ，则 7 (a ) A18B17C15D14 5 （5 分）在平行四边形ABCD中，若DEEC ，AE交BD于F点，则(AF ) A 21 33 ABAD B 21 33 ABAD C 12 33 ABAD D 12 33 ABAD 6 （5 分）函数( )sin()(0,0,0) 2 f xAxA 的部分图象如图所示，则下列叙述 正确的是
3、() A函数( )f x的图象可由sinyAx的图象向左平移 6 个单位得到 B函数( )f x的图象关于直线 3 x 对称 第 2页（共 22页） C函数( )f x在区间, 3 3 上单调递增 D函数( )f x图象的对称中心为(,0)() 212 k kZ 7（5 分） 若函数 4 ( )( )2F xf xx是奇函数， 1 ( )( )( ) 2 x G xf x为偶函数， 则( 1)(f ) A 5 2 B 5 4 C 5 4 D 5 2 8 （5 分） 九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这
4、个问题的一般解法： 如图 1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分 成一个内接正方形（黄)和两个小直角三角形（朱、青） 将三种颜色的图形进行重组，得 到如图 2 所示的矩形，该矩形长为ab，宽为内接正方形的边长d由刘徽构造的图形可 以得到许多重要的结论，如图 3设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形 对角线AE，过点A作AFBC于点F，则下列推理正确的是() 由图 1 和图 2 面积相等可得 ab d ab ；由AE AF 可得 22 22 abab ； 由AD AE 可得 22 2 11 2 ab ab ；由AD AF 可得 22 2abab
5、 ABCD 9 （5 分）已知函数 2 2 log,1 ( ) 1,1 x x f x xx ，则( )(1)f xf x的解集为() A( 1,) B( 1,1)C 1 (,) 2 D 1 (,1) 2 10（5 分） 已知 1 F， 2 F为椭圆 2 2 :1 x Cy m 的两个焦点， 若C上存在点M满足 12 0MF MF ， 则实数m取值范围是() 第 3页（共 22页） A 1 (0, 2,) 2 B 1 ,1)2,) 2 C 1 (0, (1,2 2 D 1 ,1)(1,2 2 11 （5 分）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农 业扶贫项目进驻
6、某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶经过前期走访得知，这四个贫困 户甲、乙、丙、丁选择A，B，C三个项目的意向如表： 扶贫项目ABC 选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁 若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项， 且每个项目至多有两户选择， 则 甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为() A 3 8 B 5 8 C 5 16 D 1 2 12 （5 分）某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示已知半球的 半径为6，则当此几何体的体积最小时，它的表面积为() A24B(183 3)C21D(184 2) 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每
7、小题 5 分分，满分满分 20 分分.第第 16 题第一空题第一空 2 分分，第二空第二空 3 分分. 把答案填在答题卡上的相应位置把答案填在答题卡上的相应位置. 13 （5 分）曲线 2 ( )( x f xexe e是自然对数的底数）在1x 处的切线方程为 14 （5 分）若数列 n a的首项为1， 1 2n nn a a ，则数列 n a的前 10 项之和等于 15 （5 分）已知双曲线 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双 曲线C左支上的一个动点，则BPF周长的最小值等于 16 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，1AB ，2AD ，
8、 1 3AA ，点P是线段 1 B C上 的一个动点，则： （1） 1 APD P的最小值等于； （2）直线AP与平面 11 AAD D所成角的正切值的取值范围为 第 4页（共 22页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，满分小题，满分 60 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （ 12 分 ） 已 知ABC的 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， tan(2cossin)cos2sinACAAC （1）求角B的大小； （2）若角B为锐角，1b ，ABC的面积为 3 4 ，求ABC的周长 18 （12 分）在
9、矩形ABCD中，E，F在边CD上，1BCCEEFFD，如图（1） 沿 BE，AF将CBE和DAF折起， 使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直， 连结CD， 如图（2） （1）证明：/ /CDAB； （2）求三棱锥DBCE的体积 19 （12 分）已知圆 22 (4)(4)25xy经过抛物线 2 :2(0)E ypx p的焦点F，且与抛 物线E的准线l相切 （1）求抛物线E的标准方程； （2）设经过点F的直线m交抛物线E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点C，若 ACF的面积为 6，求直线m的方程 20 （12 分）随着运动app和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天 1 万
10、步的 健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传“健步达人”小王某天统计了他 朋友圈中所有好友（共 500 人）的走路步数，并整理成如表： 分组 （单位：千 步） 0，4)4，8)8，12) 12，16) 16，20) 20，24) 24，28) 28，32 频数6024010060201802 （1）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在区 间中点值作代表） ； （2）若用A表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A发生的概率； 第 5页（共 22页） （3）若称每天走路不少于 8 千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在 40 岁以上的中
11、老 年人共有 300 人，其中健步达人恰有 150 人，请填写下面22列联表根据列联表判断， 有多大把握认为，健步达人与年龄有关？ 健步达人非健步达人合计 40 岁以上 不超过 40 岁 合计 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 ()P Kk 0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 21 （12 分）已知函数( )sin x f xex(e是自然对数的底数） （1）求( )f x的单调递减区间； （2）若函数( )( )2g xf xx，证明( )g x在(0, )上只有两个零点 （参考数据： 2 4.8)e 请考生在第
12、请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.注意注意：只能做所选定的题目只能做所选定的题目，如果多做如果多做，则按所做的则按所做的 第一个题目计分第一个题目计分， 作答时作答时， 请用请用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上， 将所选题号对应的方框涂黑将所选题号对应的方框涂黑.选修选修 4-4： 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分） 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 3cos4sin ( 129 cossin 55 x y 为参数） 以 坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin()3 3 （1）曲线C的普通方程和直
13、线l的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，(2,0)M，求|MPMQ的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知不等式|1|35|xxm的解集为 3 ( , ) 2 n （1）求n的值； （2）若三个正实数a，b，c满足abcm，证明： 222222 2 bccaab abc 第 6页（共 22页） 2020 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题
14、目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合1A ，3，5，7， |28 x Bx，则(AB ) A1B1，3C5，7D3，5，7 【解答】解：集合1A ，3，5，7， |28 |3 x Bxx x， 5AB ，7 故选：C 2（5 分） 欧拉公式cossin i ei 把自然对数的底数e， 虚数单位i， 三角函数cos和sin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足() i ei zi ， 则| (z ) A1B 2 2 C 3 2 D2 【解答】解：由cossin i ei ，得cossin1 i ei ， 则由() i ei zi ，得 ( 1)1
15、1 1( 1)( 1)22 iii zi iii ， 22 112 |( )() 222 z 故选：B 3 （5 分）若实数x，y满足约束条件 24 0, 4 0, 323 0, xy xy xy 则2zxy的最小值是() A16B7C4D5 【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分） ， 由2zxy，得2yxz， 平移直线2yxz，由图象可知当直线2yxz经过点A时，直线2yxz的截距最大， 此时z最小 第 7页（共 22页） 由 40 3230 xy xy 得 1 3 x y ， 即( 1,3)A ， 此时z的最小值为1235z ， 故选：D 4 （5 分）已知数列 n a是等差数列
16、，若 2 2a ， 6 39S ，则 7 (a ) A18B17C15D14 【解答】解：数列 n a是等差数列， 2 2a ， 6 39S ， 1 1 2 65 639 2 ad ad ， 解得 1 1a ，3d ， 7 16317a 故选：B 5 （5 分）在平行四边形ABCD中，若DEEC ，AE交BD于F点，则(AF ) A 21 33 ABAD B 21 33 ABAD C 12 33 ABAD D 12 33 ABAD 【解答】解：如图， DEEC ，E为CD的中点， 设 11 ()() 222 AFAEABBCCDABADABABAD ，且B，F，D三点 共线， 第 8页（共 2
17、2页） 1 2 ，解得 2 3 ， 12 33 AFABAD 故选：D 6 （5 分）函数( )sin()(0,0,0) 2 f xAxA 的部分图象如图所示，则下列叙述 正确的是() A函数( )f x的图象可由sinyAx的图象向左平移 6 个单位得到 B函数( )f x的图象关于直线 3 x 对称 C函数( )f x在区间, 3 3 上单调递增 D函数( )f x图象的对称中心为(,0)() 212 k kZ 【解答】解：由图象可知2A ，(0)1f， (0)2sin1f，且0 2 ， 6 ， ( )2sin() 6 f xx ， 5 ()0 12 f 且为单调递减时候零点， 5 2 1
18、26 k ，kZ， 24 2 5 k ，kZ， 第 9页（共 22页） 由图象知 25 2 12 T ， 12 5 ， 又0， 2， ( )2sin(2) 6 f xx ， 函数( )f x的图象可由sinyAx的图象向左平移 12 个单位得， A错， 令22 62 xk ，kZ，对称轴为 6 xk ，则B错， 令22 6 xk ，kZ，则 12 xk ，则D对， 故选：D 7（5 分） 若函数 4 ( )( )2F xf xx是奇函数， 1 ( )( )( ) 2 x G xf x为偶函数， 则( 1)(f ) A 5 2 B 5 4 C 5 4 D 5 2 【解答】解：函数 4 ( )(
19、)2F xf xx是奇函数， F（1）( 1)0F，即f（1）2( 1)20f ，则f（1）( 1)4f， 1 ( )( )( ) 2 x G xf x为偶函数， G（1）( 1)G，即 1 (1)( 1)2 2 ff，则 3 (1)( 1) 2 ff， 由解得， 3 4 5 2 ( 1) 24 f 故选：C 8 （5 分） 九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法： 如图 1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分 成一个内接正方形（黄)和两个小直角三角
20、形（朱、青） 将三种颜色的图形进行重组，得 到如图 2 所示的矩形，该矩形长为ab，宽为内接正方形的边长d由刘徽构造的图形可 以得到许多重要的结论，如图 3设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形 对角线AE，过点A作AFBC于点F，则下列推理正确的是() 第 10页（共 22页） 由图 1 和图 2 面积相等可得 ab d ab ；由AE AF 可得 22 22 abab ； 由AD AE 可得 22 2 11 2 ab ab ；由AD AF 可得 22 2abab ABCD 【解答】解：由图 1 和图 2 面积相等()abab d，可得 ab d ab ，对； 由题意知图 3
21、面积为 22 11 22 abab AF， 22 ab AF ab ， 22 11 22 ADBCab， 图 3 设正方形边长为x，由三角形相似， axx xbx ，解之得 ab x ab ，则 2ab AE ab ； 可以化简判断对， 故选：A 9 （5 分）已知函数 2 2 log,1 ( ) 1,1 x x f x xx ，则( )(1)f xf x的解集为() A( 1,) B( 1,1)C 1 (,) 2 D 1 (,1) 2 【解答】解：函数 2 2 log,1 ( ) 1,1 x x f x xx ，则( )(1)f xf x， 当1x时，不等式( )(1)f xf x，即 22
22、 1(1)1xx ，求得 1 1 2 x 当1x 时，不等式( )(1)f xf x，即 22 loglog (1)xx，求得1x 综上可得，不等式的解集为 1 ( 2 ，)， 故选：C 第 11页（共 22页） 10（5 分） 已知 1 F， 2 F为椭圆 2 2 :1 x Cy m 的两个焦点， 若C上存在点M满足 12 0MF MF ， 则实数m取值范围是() A 1 (0, 2,) 2 B 1 ,1)2,) 2 C 1 (0, (1,2 2 D 1 ,1)(1,2 2 【解答】解：当焦点在x轴上时， 2 am， 2 1b ，1m ， 当M为上下顶点时， 12 FMF最大， 因为 12
23、0MF MF 坐标， 12 2 FMF ， 1 4 FMO ，所以 1 tantan1 4 c FMO b ，即 1 1 1 m ，解得2m ； 当焦点在y轴上时， 2 1a ， 2 bm，01m， 当M为左右顶点时， 12 FMF最大，因为 12 0MF MF ， 12 2 FMF ， 1 4 FMO ， 所以 1 tantan1 4 c FMO b ，即 1 1 m m ，解得 1 0 2 m， 故选：A 11 （5 分）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农 业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶经过前期走访得知，这四个贫困 户甲、乙、丙、丁选
24、择A，B，C三个项目的意向如表： 扶贫项目ABC 选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁 第 12页（共 22页） 若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项， 且每个项目至多有两户选择， 则 甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为() A 3 8 B 5 8 C 5 16 D 1 2 【解答】解：由题意：甲乙只能选A，B项目，丁只能选A，C项目，丙则都可以 由题意基本事件可分以下三类： （1）甲乙都选A，则丁只能选C，丙则可以选B，C任一个，故共有 2 种方法； （2）甲乙都选B，则丁可以选A或C，丙也可选A或C，故共有 11 22 4C C 种方法 （3）甲乙分别选AB之一，然后
25、丁选A时，丙只能选B或C；丁选C时，丙则A，B，C 都可以选故有 211 223 ()10A CC种方法 故基本事件共有241016种 甲乙选同一种项目的共有246种 故甲乙选同一项目的概率 63 168 P 故选：A 12 （5 分）某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示已知半球的 半径为6，则当此几何体的体积最小时，它的表面积为() A24B(183 3)C21D(184 2) 【解答】解：设半球的内接圆柱底面半径为r，高为h； 则球的半径为6R ，且 22 6rh； 此时几何体的体积为 3 223 1 4 64 6664 6 2 3 VVVr hhhhh 半球圆柱 ；
26、设 3 ( )64 6f hhh，(0, 6)h， 则 2 ( )36f hh， 第 13页（共 22页） 令( )0f h，解得2h ； 所以(0, 2)h时，( )0f h，( )f h单调递减； ( 2h，6)时，( )0f h，( )f h单调递增； 所以2h 时，( )f h取得最小值为( 2)2 26 24 64 64 2f 此时圆柱的底面半径为 2，高为2； 所以该几何体的表面积为 22 1 4 ( 6)( 6)222(184 2) 2 S 故选：D 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，满分满分 20 分分.第第 16 题第一空题第一空 2
27、 分分，第二空第二空 3 分分. 把答案填在答题卡上的相应位置把答案填在答题卡上的相应位置. 13 （5 分） 曲线 2 ( )( x f xexe e是自然对数的底数） 在1x 处的切线方程为yexe 【解答】解：( )2 x fxexe， kf（1）e，又f（1）0 故切线方程为(1)ye x， 即yexe 故答案为：yexe 14 （5 分）若数列 n a的首项为1， 1 2n nn a a ，则数列 n a的前 10 项之和等于31 【解答】解：数列 n a的首项为1， 1 2n nn a a ， 可得 1 1 2n nn aa ，2n ，*nN， 相除可得 1 1 2 n n a a
28、 ， 可得数列的奇数项和偶数项均为公比为 2 的等比数列， 由 2 2a ，可得前 10 项之和为( 124816)(2481632)32131 故答案为：31 第 14页（共 22页） 15 （5 分）已知双曲线 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双 曲线C左支上的一个动点，则BPF周长的最小值等于42 2 【解答】解： 双曲线 2 2 :1 2 x Cy，( 3,0)F， 如图所示，不妨设B为x轴上方的虚轴端点，则(0,1)B，| 2BF ， 设双曲线的左焦点为E， 由双曲线的定义可知，| 22 2PFPEa， 即| | 2 2PFPE， BPF的周长为
29、 | | (| 2 2) | 22 2|22 2| 42 2BFPFPBBFPEPBPEPBBE ， 当且仅当B、P、E三点共线时，等号成立 所以BPF周长的最小值等于42 2 故答案为：42 2 16 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，1AB ，2AD ， 1 3AA ，点P是线段 1 B C上 的一个动点，则： （1） 1 APD P的最小值等于17； （2）直线AP与平面 11 AAD D所成角的正切值的取值范围为 【解答】解：做出长方体如图所示，1AB ，2AD ， 1 3AA ，点P是线段 1 B C上的一 个动点 第 15页（共 22页） （1）由长方体的性质可知
30、， 11 10ABCD， 11 5ACD B， 1 13BC 将 1 ABC与 11 DCB以 1 B C为公共边展开成一平面四边形 11 AB DC，如图： 易证四边形 11 AB DC是平行四边形，所以当 1 APD三点共线时，即 11 APD PAD时最小 根据平行四边形对角线和四条边的性质即： 2222 111 2()ADCBACAB， 代入数据得： 222 2 1 132( 510 )AD ，解得 1 17AD 1 APD P的最小值等于17 （2）由长方体的性质可知，对角面 11 ABCD 平面 11 ADD A于直线 1 AD 所以由点P向直线 1 AD作垂线PH，则PH 平面
31、11 ADD A 连接AH，则PAH即为直线PA与平面 11 AAD D所成角 显然1PHAB为定值 设Rt 1 A AD斜边上的高为h，则 11 A D hAD AA，求得 6 13 h ，此时AH最短 结合 1 3A A ，所以 6 3 13 AH， 所以 113 tan , 36 PH PAH AH 故答案为：17， 113 , 36 第 16页（共 22页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，满分小题，满分 60 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （ 12 分 ） 已 知ABC的 内 角A，B，C的 对 边 分
32、别 为a，b，c， tan(2cossin)cos2sinACAAC （1）求角B的大小； （2）若角B为锐角，1b ，ABC的面积为 3 4 ，求ABC的周长 【解答】解： （1）tan(2cossin)cos2sinACAAC， 22 2sincossincos2cossinACAAAC 化简得 1 sincoscossin 2 ACAC，即 1 sin() 2 AC， 1 sin() 2 B，即 1 sin 2 B 6 B 或 5 6 B （2）B是锐角， 6 B ， 由 13 sin 24 ABC SacB ，得，3ac 在ABC中，由余弦定理得 2222 2cos()23bacacB
33、acacac， 22 ()12 33(13)ac ， 13ac ， ABC的周长为23 第 17页（共 22页） 18 （12 分）在矩形ABCD中，E，F在边CD上，1BCCEEFFD，如图（1） 沿 BE，AF将CBE和DAF折起， 使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直， 连结CD， 如图（2） （1）证明：/ /CDAB； （2）求三棱锥DBCE的体积 【解答】解： （1）证明：分别取AF，BE的中点M，N，连结DM，CN，MN 由图（1）可得，ADF与BCE都是等腰直角三角形且全等， DMAF，CNBE，DMCN 平面ADF 平面ABEF，交线为AF，DM 平面ADF，DMAF
34、， DM平面ABEF 同理，CN 平面ABEF，/ /DMCN 又DMCN，四边形CDMN为平行四边形，/ /CDMN M，N分别是AF，BE的中点， / /MNAB， / /CDAB； （2）由图可知， D BCEB DCE VV 三棱锥三棱锥 ， 1EF ，3AB ，2CDMN， 22 B DCEB EFCC EFB VVV 三棱锥三棱锥三棱锥 由（1）知，CN 平面BEF 2 2 CN ， 1 2 BEF S， 2 12 C EFB V 三棱锥 ， 2 6 D BCE V 三棱锥 第 18页（共 22页） 19 （12 分）已知圆 22 (4)(4)25xy经过抛物线 2 :2(0)E
35、ypx p的焦点F，且与抛 物线E的准线l相切 （1）求抛物线E的标准方程； （2）设经过点F的直线m交抛物线E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点C，若 ACF的面积为 6，求直线m的方程 【解答】解： （1）由已知可得：圆心(4,4)到焦点F的距离与到准线l的距离相等，即点(4,4) 在抛物线E上， 168p，解得2p 抛物线E的标准方程为 2 4yx （2）由已知可得，直线m斜率存在，否则点C与点A重合 设直线m的斜率为(0)k k ，则直线AB的方程为(1)yk x 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 4 (1) yx yk x 消去y得 2222
36、2(2)0k xkxk 12 2 4 2xx k ， 12 1x x 由对称性可知， 2 (C x， 2) y， 1 |1AFx， 2 |1CFx 设直线()m AB的倾斜角为，则tank， 2222 |2sincos|2| tan|2| sin|sin(2 )| |sin2| |2sincos| sincostan11 k AFC k ， 121212 2 1|4 (1)(1)sin2()1 21| AFC k Sxxx xxx kk 由已知可得 4 6 |k ，解得 2 3 k 直线m的方程为 2 (1) 3 yx ，即2320xy 20 （12 分）随着运动app和手环的普及和应用，在朋
37、友圈、运动圈中出现了每天 1 万步的 健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传“健步达人”小王某天统计了他 朋友圈中所有好友（共 500 人）的走路步数，并整理成如表： 分组 （单位：千 0，4)4，8)8，12) 12，16) 16，20) 20，24) 24，28) 28，32 第 19页（共 22页） 步） 频数6024010060201802 （1）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在区 间中点值作代表） ； （2）若用A表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A发生的概率； （3）若称每天走路不少于 8 千步的人为“健步达人”，小
38、王朋友圈中岁数在 40 岁以上的中老 年人共有 300 人，其中健步达人恰有 150 人，请填写下面22列联表根据列联表判断， 有多大把握认为，健步达人与年龄有关？ 健步达人非健步达人合计 40 岁以上 不超过 40 岁 合计 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 ()P Kk 0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 【解答】解： （1）由题意可得这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数为： 1 (260624010 1001460182022 18302)8.432 500 x ， 所以这一天小王 500 名好友走路的平均
39、步数约为 8.432 步 （2）由频率约等概率可得： 10.432 ( )(60240100)0.6216 5004 p A ， 所以事件A的概率约为 0.6216 （3）根据题目所给的数据填写22列联表如下： 健步达人非健步达人合计 40 岁以上150150300 不超过 40 岁50150200 合计200300500 22 2 ()500(225007500) 31.2510.828 ()()()()200300300200 n adbc K ab cdac bd ， 第 20页（共 22页） 有99.9%以上的把握认为，健步达人与年龄有关 21 （12 分）已知函数( )sin x f
40、 xex(e是自然对数的底数） （1）求( )f x的单调递减区间； （2）若函数( )( )2g xf xx，证明( )g x在(0, )上只有两个零点 （参考数据： 2 4.8)e 【解答】 （本小题满分 12 分） 解： （1）( )sin x f xex，定义域为.( )(sincos )2sin() 4 xx R fxexxex 由( )0fx得sin()0 4 x ，解得 37 22() 44 kxkkZ ( )f x的单调递减区间为 37 2,2() 44 kkkZ （5 分） （2）( )(sincos )2 x g xexx，( )2cos x gxex (0, )x，当(0
41、,) 2 x 时，( )0gx；当(, ) 2 x 时，( )0gx ( )g x在(0,) 2 上单调递增，在(, ) 2 上单调递减， 又(0)120 g ， 2 ()20 2 ge ，( )20ge ， ( )g x在(0, )上图象大致如右图 1 (0,) 2 x ， 2 (, ) 2 x ，使得 1 ()0g x， 2 ()0g x， 且当 1 (0,)xx或 2 (xx，)时，( )0g x；当 1 (xx， 2) x时，( )0g x ( )g x在 1 (0,)x和 2 (x，)上单调递减，在 1 (x， 2) x上单调递增 (0)0g， 1 ()0g x 2 ()0 2 ge
42、 ， 2 ()0g x， 又( )20g ，由零点存在性定理得，( )g x在 1 (x， 2) x和 2 (x，)内各有一个零点， 第 21页（共 22页） 函数( )g x在(0, )上有两个零点（12 分） 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.注意注意：只能做所选定的题目只能做所选定的题目，如果多做如果多做，则按所做的则按所做的 第一个题目计分第一个题目计分， 作答时作答时， 请用请用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上， 将所选题号对应的方框涂黑将所选题号对应的方框涂黑.选修选修 4-4： 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分） 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 3cos4sin ( 129 cossin 55 x y 为参数） 以 坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin()3 3 （1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于P，
