1、2020广州普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学 本试卷共 6 页，23 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 用 2B 铅笔在答题卡的相应位置涂上考生号，并将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置， 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相 应位置；如需改动，先划掉原来答案，然后再写新答案；不准使用铅笔和涂改液
2、。不按以上要 求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一一、选择題选择題：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要只有一项是符合題目要 求的求的. 1.设集合 ? m bria r thr ? ?,? m r r 鲀hr ? ? ,则（） A.? ? ? m ?B.? ? ? m ?C.? ? ? m ?D.? ? ? m ? 2.若复数 ? 满足?鲀? 鲀 m a,则?m A.? 鲀 鲀B.? 鲀 鲀C.? 鲀 鲀?D.? 鲀 鲀? 3.若直线 ?r
3、? ? t m a 与圆r鲀? 鲀? 鲀r? ? t m a 有公共点，则实数 ? 的取值范围是 A.? ?h ? ?B.? ? ?h ?C.?ah ? ?D.? ? ?h ? ? 4.已知 ?ir? ti 鲀,?鲀 r ?,则 ? 是 ? 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.设函数 ? r m 鲀? t 鲀 r ? ? ? ,若对于任意的 r ? 都有 ? rt? ? r ? ? r鲀成立， 则 rt? r鲀的最小值为 A.? 鲀 B.?C.鲀?D.? 6.已知直三棱柱 ? ? ?ttt的体积为 ?， 若 ?h? 分别在 ?t，t上， 且 ? m
4、 t ? ?th? m t ? t,则四棱锥 ? ? 的体积是 A.t ? ?B.鲀 ? ?C.t ? ?D.? ? ? 7.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类：可回 收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾。某班按此四类由 10 位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐 厨垃圾宣传小组各有 2 位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有 3 位同学。现从这 10 位同学中选派 5 人 到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为 A. ? t? B. ? t? C.? ? D.? ? 8.已知直线 ? m r ? 鲀 与 r 轴的交点
5、为抛物线 鲀m 鲀?r 的焦点， 直线 ? 与抛物线 交于 ?h 两点， 则 ? 中点到抛物线准线的距离为 A.8B.6C.5D.4 9.等差数列b?的前 ? 项和为?，已知?tm t ?,?鲀 ? ?m ?,若? ? ? ? ?,则 ? 的最小值为 A.8B.9C.10D.11 10.已知点 ? raha是曲线 m r? r鲀? t 上的点，曲线 在点 ? 处的切线与 m ?r ? tt 平行，则 A.ram 鲀B.ram? ? ? C.ram 鲀 或ram? ? ? D.ram? 鲀 或ram ? ? 11.已知 ? 为坐标原点， 设双曲线 r鲀 ?鲀 ? 鲀 ?鲀 m t ? ah? a
6、 的左右焦点分别为?th?鲀,点 ? 是双曲线 上位于 第一象限上的点，过点?鲀作?t?鲀角平分线的垂线，垂足为 ?,若 ? m ?t?鲀? 鲀 ? ,则双曲线的离心率为 A.? ? B.? ? C.? ? D.2 12.已知函数 ? r m ? r鲀? r ? thr a r鲀? r ? thr ? a ,若 ? r m ? r ? ? 鲀a鲀a?r ? t 在区间 ? tht 上有 ? 个零点 rt,r鲀,r?,?,r?,则 ? rt? ? r鲀? ? r? ? ? ? r?m A.4042B.4041C.4040D.4039 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每
7、小题 5 分，共分，共 20 分分 13.如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆 心，则这个几何体的体积为，表面积为。 14.在 ?r ? t r r鲀? t ?的展开式中，r?的系数为 15，则实数 ? m 15.已知单位向量?与?的夹角为? ?，若向量? ? ?与 ? ?的夹角为? ? ,则实数 ? 的取值为 16.记数列b?的前 ? 项和为?， 已知?t ? m ? ? 鲀 ? ? ? 鲀 ? ? ?,且 ? ? ?鲀at?m? taa?,?t? a,则 t ?t ? ? ?的最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答题
8、应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题题为必考题，每个试题 考生都必须作答，第考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17.（12 分）? 的内角 ?hh 的对边分别为 ?h?h?，已知 ? m?,且满足 ? ? m? (1)求角 C 的大小； (2)求 ? ? 鲀? 的最大值。 18.（12 分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加。为此，某市对 参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取
9、 100 人， 对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表； 平均每月进行训练的天数 rr ? ? r 鲀ar ? 鲀a 人数156025 (1)以这 100 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训 练的天数位于该区间的概率.从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取 4 个人,求恰好有 2 个人是“平均每 月进行训练的天数不少于 20 天”的概率； (2)依据统计表，用分层抽样的方法从这 100 个人中抽取 12 个，再从抽取的 12 个人中随机抽取 3 个，? 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数，求 ? 的分布列
10、及数学期望 ? ? 19. 如图 1,在边长为 2 的等边? 中， ?h? 分别为边 ?，? 的中点,将AED 沿 ? 折起， 使得 ? AD , ? ?，得到如图 2 的四棱锥 A-BCDE,连结 ?,?,且 ? 与 ? 交于点 ?. （1）求证：? 平面 ?; （2）求二面角 ? ? ? ? 的余弦值. 20.已知? ? 过点 ?ha ,且与? ? r ? 鲀 ? 鲀m t? 内切，设? ? 的圆心 ? 的估轨迹为 ， （1）求轨迹 C 的方程； （2）设直线 ? 不经过点 鲀ha 且与曲线 交于点 ?，? 两点，若直线 ? 与直线 ? 的斜率之积为? t 鲀,判断 直线 ? 是否过定点，
11、若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由。 21.已知函数 ? r m r ? ? ?r? r鲀? ?r,? r m ? ? t ? r ? t ? ?r. (1)求函数 ? r 在?ah? ?上的单调区间； (2)用 ?rb?h?表示 ?h? 中的最大值，?r?为 ?r?的导函数，设函数 ? r m ?rb? r h? r ?,若 ?r? ? a 在?ah ? ?上恒成立，求实数 ? 的取值范围； (3)证明：t ? ? t ?t ? t ?鲀 ? ? ? t ?t ? t ? ? ? ? ?. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系 r? 中，曲线t的参
12、数方程为 r m ? ? ? m t ? 鲀?,(? 为 参数)，曲线鲀的参数方程为 r m ? ? m? ,(?为参数，且? ? 鲀 h ? 鲀 ). (1)求t与鲀的普通方程， (2)若 ?h 分别为t与鲀上的动点，求i?i的最小值。 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数 ? r m ?r? ? ? r ? ? , (1)当 ? m t 时，解不等式 ? r ?; (2)若不等式 ? r tt? ?r 对任意 r ? ?h ? ? 鲀 成立，求实数 ? 的取值范围。 2020广州普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学(参考答案) 一一、选择題选择題：本题共本题共 12 小题小
13、题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要只有一项是符合題目要 求的求的. 题号123456789101112 答案ADDBCBCACBCB 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. ? ? ?14.515.-1016.16 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题题为必考题，每个试题 考生都必须作答，第考生都必须作答，第 2223 题
14、为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17.解：(1)由题意及正弦定理可得： ? ?鲀?鲀?鲀 m? 由余弦定理得：?鲀? ?鲀? ?鲀m 鲀? ? ? 所以 ? m ?鲀?鲀?鲀 鲀? m t 鲀,及 m ? ? (2)由正弦定理可得： ? ? m ? ? m ? ? m 鲀 所以 ? m 鲀?h? m 鲀? 又因为 ? ? ? m ?，所以 ? m 鲀? m 鲀? ? ? ? ? 所以 ? ? 鲀? m 鲀? ? ? ? ? ? ? m ? ? m ? m 鲀 ? ? ? ? , 且 ? m ? ? ,又因为 ? ah 鲀? ? 所以 ? ? ? ? ?rm t,所以
15、 ? ? 鲀? ? 鲀 ? 18.解：记“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”为事件 A。 由表可知 ? r ? 鲀a m 鲀? taa， 所以 ? ? m ? 鲀 t ? 鲀 t ? t ? 鲀 m 鲀? t鲀? (2)由题意得： r 鲀a 的人：t鲀 ? ? ? m ?;r ? 鲀a 的人有 t鲀 ? t ? m ? 从抽取的 12 个人中随机抽取 3 个，? 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数,Y 的可 能取值为 0，1，2，3，且 ? ?h?ht鲀 ? ? m a m ? ? t鲀 ? m ? 鲀鲀a ? ? m t m ? 鲀 ? t t鲀 ? m ta
16、? 鲀鲀a ? ? m 鲀 m ? t ? 鲀 t鲀 ? m 鲀? 鲀鲀a ? ? m ? m ? ? t鲀 ? m t 鲀鲀a 所以 ? 的分布列为： Y0123 P ? 鲀鲀a ta? 鲀鲀a 鲀? 鲀鲀a t 鲀鲀a ? 的分布列及数学期望 ? ? m a ? ? 鲀鲀a ? t ? ta? 鲀鲀a ? 鲀 ? 鲀? 鲀鲀a ? ? ? t 鲀鲀a m ? ? 19.（1）证明：由题意，? m ? m t，? m ? m? 又因为 ? AD,所以 ? m?鲀? ?鲀m? ? t m鲀 m ? 所以 ?鲀m ?鲀? ?鲀,即 ? CD 又因为 ? BD,且 ? AD m D,所以 ? 平面
17、 ABD （2）解： 如图，过 D 作 ? 平面 BCDE，DB 为 x 轴，DC 为 y 轴，Dz 为 z 轴，建立空间直角坐标系 所以 ? ahaha ，?haha ，? ? 鲀 h ? t 鲀 ha , 设点 ? ?hah? 由 ? m t，? m鲀得 ?鲀? ?鲀m t ? ? 鲀 ? ?鲀m 鲀,解得：? m ? ? h? m ? ? ,所以 ? ? ? hah ? ? 所以? ? ? m ? ? h ? t 鲀 h ? ? ? , ? ? ? m 鲀 ? ? hah ? ? ? , ? ? ? m ? ? hah ? ? 设平面 ? 的法向量为?t? ? ?m rthth?t 所以
18、 ? ? ? ? ?t? ? ?m a ? ? ? ? ?t? ? ?m a ? rtm?t? 鲀 鲀?t rt?鲀?tm a ,取?tm? th得?t? ? ?m鲀h ?h ?t 同理可得平面 ? 的法向量?鲀? ? ?m th ?h 鲀 所以 ? ?t? ? ?h?鲀? ? ? ?t? ? ?鲀? ? ? ?t? ? ?鲀? ? ? m? ? ? 由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角 ? ? ? ? 的余弦值为? ? ? 。 20.解：(1)由题意? ? 过点 ?ha ,且与? ? r ? 鲀 ? 鲀m t? 内切，设两圆切点为 ? 所以 ? ? ? m ? m ?，在? ? 中， ?
19、m ? 所以 ? ? ? m ?，所以 M 的轨迹为椭圆，由定义可知 鲀? m ? ? m? 所以求轨迹 C 的方程为r 鲀 ? ? 鲀m t (2) 1 当 ? 的斜率不存在的时，设 ? raha,所以 ? rah? a 所以 ? ?m a ra?鲀 ? ?a ra?鲀 m? t 鲀 ra鲀 ? ? a鲀m t ,解得 ram 鲀 ? am 鲀 ? ? 或 ram 鲀 am a 舍 所以 ? 与 r 轴的交点为 鲀 ? ha 2 当 ? 的斜率存在时，设 l 的方程为 m ?r? ? 联立 m ?r? ? r鲀 ? ? 鲀m t消元可得 t ? ? 鲀 r鲀? ?r ? ?鲀? ? m a
20、? m ? 鲀 ? ? t ? ?鲀?鲀? ? m ?鲀? t?鲀? t? a 所以 ?鲀 ?鲀? t 由韦达定理rt? r鲀m ? t?鲀 ?rtr鲀m ?鲀? t?鲀, ? ?m t rt? 鲀 ? 鲀 r鲀? 鲀 m ?rt? ? rt? 鲀 ?r鲀? ? r鲀? 鲀 m ?鲀rtr鲀? ? rt? r鲀? ?鲀 rtr鲀? 鲀 rt? r鲀? ? m ?鲀 ?鲀? ? t ? ?鲀 ? ?鲀?鲀 t ? ?鲀 ? ?鲀 ?鲀? ? t ? ?鲀 ? 鲀 ? ? t ? ?鲀 ? ? m ?鲀? ?鲀 ? 鲀? 鲀 m ? ? 鲀? ? 鲀? ? 鲀? ? 鲀 又因为 鲀? ? ? a,
21、所以 ?鲀? ? ?鲀? m? t 鲀,即 ? m? 鲀 ? ?, 所以?鲀? t m ? 鲀 ? ? 鲀 ? t ?鲀,所以 ? m? 鲀 ? ? 成立， 所以 m ?r? 鲀 ? m ? r ? 鲀 ? ,当 r m 鲀 ?时， m a，所以 l 过 鲀 ? ha 综上所述 ? 过定点，且点坐标为 鲀 ? ha 22.解:(1)因为 ? r m r ? ? ?r? r鲀? ?r， 所以?r m r ? ? ?r? 鲀r? ? m r ? ?r? 鲀 ，令?r m a 得 r m ? 当 r ? 时，?r a,? r 单调递增 当 a r ? 时，?r a，? r 单调递减 所以 ? r 单
22、调递增区间为?h ? ?; ? r 单调递减区间为 ah? (2)由(1)知?r m r ? ?r? 鲀，当 r ? ? 时 ? r ? a 恒成立，故 ? r ? a 恒成立 当 r ? 时，?r? a,又因为 ? r m ?rb? r h? r ? ? a 恒成立， 所以 ? r ? a 在 a，? 上恒成立 所以 ? ? t ? r ? t ? ?r ? a，即 ? ? t ? ? t?r r 在 a，? 上恒成立 令 ? r m t?r r ,则 ? ? t ? ? ? r ?r ? r m t ? ?r? t r鲀 m ? ?r r鲀 令 ? r m a 得 r m t,易得 ? r
23、 在 aht 上单增，在 th? 上单减，所以 ? r ?rm ?t? m t 所以 ? ? t ? ? t，即 ? ? ? ? 综上可得 ? ? ? ? (3)设 ? r m ?r ? r ? t(r a),则 ? r m ?r? t a 所以 ? r 在 ah ? ? 上单增，所以 ? r ? a m a,即?r r ? t 所以? t ? t ?t? t ?t ? t ?m ? t ? ? t ?t? ? t ?鲀? ? t ? ?t ? ? ?鲀 ?t ? ? ?鲀 ? ? ?t ? ?t ? ?t ? ? ?鲀 ?t ? ? ?鲀 ? ? ?t m ? 所以t ? ? t ?t ?
24、t ?鲀 ? ? ? t ?t ? t ? ? 22.解：(1)由题可得：t的普通方程为 鲀r ? ? ? m a 又因为鲀的参数方程为 r m ? ? m? ，两边平方可得 r鲀m ? ?鲀? 鲀m ?鲀? ?鲀? , 所以鲀的普通方程为r 鲀 ? ? 鲀 ? m t,且 r ? (2)由题意，设t的平行直线 鲀r ? ? ? m a 联立 鲀r ? ? ? m a r鲀 ? ? 鲀 ? m t 消元可得：?r鲀? ?r? ?鲀? ? m a 所以? m ?鲀? ? m a,解得 ? m? ? 又因为 r ?，经检验可知 ? m ? 时与鲀相切 所以 ? ?m ? ? 鲀鲀? ?t 鲀 m
25、? ? ? 23.解：(1)? m t 时，? r m ?r? ? ? r ? t m ? ?r? ?hr t ? 鲀r? ?ht ? r 鲀 ?r? ?hr ? 鲀 当 r t 时， 由 ? r ? 即? ?r? ? ?，解得 r t(舍) 当 t ? r 鲀 时，由 ? r ? 即? 鲀r? ? ?，解得 t r 鲀 当 r ? 鲀 时，由 ? r ? 即 ?r? ? ?，解得 鲀 ? r ? 鲀 (2)由 ? r m ?r? ? ? r ? ? tt? ?r 对任意 r ? ?h ? ? 鲀 成立得 r ? ? ? ? r ? ? r a , 所以 r ? ? r ? ? r ? ? ? ? r,得 ? ? 且 ? 鲀r? ? 对任意 r ? ?h ? ? 鲀 成立 即? ? ? ?,故 ? 的取值范围为 ? ?h?
