1、第 1页（共 17页） 2020 年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科） 一一、选择题选择题： （本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合0A ，1，2，3，4，5， 2 |2Bx x，则(AB ) A 1，0，1B0，1C0D0，1，2 2 （5 分）命题:(0,)px ， 11 35 xx，则p为() A(0,)x ， 11 35 xxB(0,)x ， 11 35 xx C(,0)x ， 1
2、1 35 xxD(,0)x ， 11 35 xx 3 （5 分）已知2 1 z i i ，则(z ) A3iB1iC3iD1i 4 （5 分）已知, a b 均为单位向量，若, a b 夹角为 2 3 ，则| (ab ) A7B6C5D3 5 （5 分）若实数x，y满足不等式组 2 22 0 1 0 y xy xy ，则2zxy的最大值为() A4B 2 3 C6D6 6 （5 分）函数 2 ( )3sin22cos1f xxx，则下列选项正确的是() A当 6 x 时，( )f x取得最大值B( )f x在区间,0 3 单调递增 C( )f x在区间 5 , 36 单调递减D( )f x的一
3、个对称轴为 12 x 7 （5 分）已知 1 3 3a ， 1 2 2b ， 3 log 2c ，则a，b，c的大小关系为() AabcBbacCcabDcba 8 （5 分）已知a，b为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法中正 确的是() 若/ /a，/ /，则/ /a；若/ /，/ /，则/ /； 若a，b，则/ /ab；若，则 ABCD 第 2页（共 17页） 9 （5 分）新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学 科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课 程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程则以下说法
4、正确的是() A丙没有选化学 B丁没有选化学 C乙丁可以两门课都相同 D这四个人里恰有 2 个人选化学 10 （5 分）已知正项等比数列 n a，满足 2 272020 16a a a，则 121017 (a aa) A 1017 4B 1017 2C 1018 4D 1018 2 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分别为直线 1 l与 2 l，若点A， B为直线 1 l上关于原点对称的不同两点，点M为直线 2 l上一点，且 3 AMBM b kk a ，则双曲 线C的离心率为() A1B2C2D5 12 （5 分）已知函数( )f x是定
5、义在(，0)(0，)上的偶函数，当(0,)x时， 2 (1) ,02 ( ) 1 (2),2 2 xx f x f xx ，则函数 2 ( )8( )6 ( )1g xfxf x的零点个数为() A20B18C16D14 二、填空题二、填空题： （本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 椭圆 22 :1 42 xy C的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F， 点P在椭圆C上， 已知 1 | 3PF ， 则 2 |PF 14 （5 分）已知四张卡片上分别标有数字 2，2，3，3，随机取出两张卡片，数字相同的概 率为 15（5 分） 已
6、知等差数列 n a的前n项和为 n S， 且 13 10aa， 9 72S 数列 n b中， 1 2b ， 1 2 nn b b 则 72020 a b 16 （5 分）在四面体ABCD中，若1ADDCACCB，则当四面体ABCD的体积最大 时，其外接球的表面积为 第 3页（共 17页） 三、解答题三、解答题： （本大题共（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 7 coscos 7 aBbAac， sin2sinAA （1）求A及a；
7、 （2）若2bc，求b，c 18 （12 分）如图，已知ABC为等边三角形，ABD为等腰直角三角形，ABBD平面 ABC 平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且/ /CEBD，2BDCE点F为AD 中点，连接EF （1）求证：/ /EF平面ABC； （2）求证：平面AED 平面ABD 19 （12 分） “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思 想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台某单位共有党员 200 人（男女各 100 人） ，从 2019 年 1 月 1 日起在“学习强国”学习平台学习现统计他们 的学习积分，得到如下男党员的频
8、率分布表和女党员的频率分布直方图 男党员 积分 （单位：千） 2，4)4，6)6，8)8，10)10，12) 人数 （单位：人） 1525302010 （1）已知女党员中积分不低于 6 千分的有 72 人，求图中a与b的值； （2）估算女党员学习积分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和女党 员学习积分的中位数（精确到 0.1 千分） ； 第 4页（共 17页） （3）若将学习积分不低于 8 千分的党员视为学习带头人，完成下面22列联表，并判断能 否有95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关？ 男党员女党员合计 带头人 非带头人 合计100100200 相关公式即数据： 2 2
9、 () ()()()() n adbc x ab cdac bd 2 ()P xk 0.1000.0500.010 k2.7063.8416.635 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点(2,2)A，点B在抛物线C上， 且满足2(OFFBFA O 为坐标原点） （1）求抛物线C的方程； （2） 过焦点F任作两条相互垂直的直线l与 D ， 直线l与抛物线C交于P，Q两点， 直线 D 与抛物线C交于M，N两点，OPQ的面积记为 1 S，OMN的面积记为 2 S， 求证： 22 12 11 SS 为定值 21 （12 分）已知函数 1 ( )1f xlnx x （
10、1）求函数( )f x的单调区间与极值； （2）若函数( )(1)(1)g xxlnxa x有两个极值点时，求a的取值范围 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用作答时，用 2B 第 5页（共 17页） 铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑. 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线:4cosC，直线l的参数方程为： 32 ( 1 xt t yt 为参数） ，直线l与曲线C分别交于M， N两点 （1）写出曲
11、线C和直线l的普通方程； （2）若点(3, 1)P，求 11 |PMPN 的值 23已知函数( ) |23|1|f xxx （1）求不等式( ) 3f x 的解集； （2）若不等式( )2|33|f xax对任意xR恒成立，求实数a的取值范围 第 6页（共 17页） 2020 年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题： （本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的）
12、1 （5 分）已知集合0A ，1，2，3，4，5， 2 |2Bx x，则(AB ) A 1，0，1B0，1C0D0，1，2 【解答】解：0,1,2,3,4,5, |22ABxx ， 0AB ，1 故选：B 2 （5 分）命题:(0,)px ， 11 35 xx，则p为() A(0,)x ， 11 35 xxB(0,)x ， 11 35 xx C(,0)x ， 11 35 xxD(,0)x ， 11 35 xx 【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为(0,)x ，使得 11 35 xx 故选：A 3 （5 分）已知2 1 z i i ，则(z ) A3iB1iC3iD1i 【解答】解：由2
13、1 z i i ， 则 2 (2)(1)223ziiiiii 故选：C 4 （5 分）已知, a b 均为单位向量，若, a b 夹角为 2 3 ，则| (ab ) A7B6C5D3 【解答】解： 2 | | 1, 3 aba b ， 222 1 ()212 1 1 ()13 2 abaa bb ， |3ab 第 7页（共 17页） 故选：D 5 （5 分）若实数x，y满足不等式组 2 22 0 1 0 y xy xy ，则2zxy的最大值为() A4B 2 3 C6D6 【解答】解：作可行域如图， 则直线2zxy过点(3, 2)A时z取最大值 4， 故选：A 6 （5 分）函数 2 ( )3
14、sin22cos1f xxx，则下列选项正确的是() A当 6 x 时，( )f x取得最大值B( )f x在区间,0 3 单调递增 C( )f x在区间 5 , 36 单调递减D( )f x的一个对称轴为 12 x 【解答】解： 22 31 ( )3sin22cos13sin2(2cos1)3sin2cos22(sin2cos2 )2sin(2) 226 f xxxxxxxxxx ， 对于A，当 6 x 时，( )()2sin1 66 f xf ，而( )2 max f x，故A错误； 对于B，令222() 262 kxkkz ，求得() 63 kx kkz ， 当0k 时，则 63 x ，
15、故B错误； 对于C，令 3 222() 262 kxkkz ，求得 5 () 36 kx kkz ， 当0k 时，则 5 36 x ，故C正确； 第 8页（共 17页） 对于D，令2() 62 xkkz ，求得 23 k x ， 当0k 时， 3 x ，当1k 时， 6 x ，故D错误； 故选：C 7 （5 分）已知 1 3 3a ， 1 2 2b ， 3 log 2c ，则a，b，c的大小关系为() AabcBbacCcabDcba 【解答】解： 111111 0 366662 39 ,28 ,98811abab ， 33 log 2log 31c ，1abc 故选：D 8 （5 分）已知a
16、，b为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法中正 确的是() 若/ /a，/ /，则/ /a；若/ /，/ /，则/ /； 若a，b，则/ /ab；若，则 ABCD 【解答】解：若/ /a，/ /，a可以和两个相交平面的交线平行，这样也能保证/ /a， / /；所以不正确； 若/ /，/ /，则/ /；正确； 若a，b，则/ /ab；正确； 若，则或/ /或相交；所以不正确； 故选：B 9 （5 分）新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学 科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课 程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有
17、相同课程则以下说法正确的是() A丙没有选化学 B丁没有选化学 C乙丁可以两门课都相同 D这四个人里恰有 2 个人选化学 【解答】解：根据题意可得，甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，乙必定没选化学； 又丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学； 第 9页（共 17页） 若丙没选化学，又丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学 综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学 故选：D 10 （5 分）已知正项等比数列 n a，满足 2 272020 16a a a，则 121017 (a aa) A 1017 4B 1017 2C 1018 4D 1018 2 【解
18、答】解：根据题意，正项等比数列 n a中，若 2 272020 16a a a，则有 2 71011 ()16a a， 所以 71011 4a a， 则有 509 2a， 所以 5081017 12101771011509 ()2a aaa aa 故选：B 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分别为直线 1 l与 2 l，若点A， B为直线 1 l上关于原点对称的不同两点，点M为直线 2 l上一点，且 3 AMBM b kk a ，则双曲 线C的离心率为() A1B2C2D5 【解答】解：双曲线的渐近线方程为 b yx a ，不妨设 12 :
19、,: bb lyx lyx aa ， 由题意可设 111122 ( ,), (,),(,) bbb A xxBxxM xx aaa ， 因此 2 1212 2 1212 ()() 3 AMBM bb xxxx bb aa kk xxxxaa ， 可得3ba，则 2 2 12 cb e aa 故选：C 12 （5 分）已知函数( )f x是定义在(，0)(0，)上的偶函数，当(0,)x时， 2 (1) ,02 ( ) 1 (2),2 2 xx f x f xx ，则函数 2 ( )8( )6 ( )1g xfxf x的零点个数为() A20B18C16D14 第 10页（共 17页） 【解答】解
20、：(0x，2时， 2 ( )(1)f xx，又 1 ( )(2) 2 f xf x， 当(0,)x时，即将( )f x在区间(0，2图象依次向右移 2 个单位的同时再将纵坐标缩 短为原来的 1 2 倍， 得到函数( )f x在(0,)上的图象关于y轴对称得到(,0)的图象如图所示： 令( )0g x ，得 1 ( ) 2 f x 或 1 ( ) 4 f x ，即 1 2 y 与 1 4 y 两条直线截函数( )yf x图象共 16 个交点，所以函数( )g x共有 16 个零点 故选：C 二、填空题二、填空题： （本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分
21、） 13 （5 分） 椭圆 22 :1 42 xy C的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F， 点P在椭圆C上， 已知 1 | 3PF ， 则 2 |PF 1 【解答】解：由椭圆 22 :1 42 xy C，则 2 4a ，所以2a ， 根据椭圆的定义可得 12 | 24PFPFa， 1 | 3PF ， 2 | 1PF 故答案为：1 14 （5 分）已知四张卡片上分别标有数字 2，2，3，3，随机取出两张卡片，数字相同的概 率为 1 3 【解答】解：由题意可得抽取两张数字相同的 2 种， 抽法共 2 4 43 6 2 1 C ， 21 63 p 故答案为： 1 3 15（5 分） 已知等差数列
22、 n a的前n项和为 n S， 且 13 10aa， 9 72S 数列 n b中， 1 2b ， 1 2 nn b b 则 72020 a b10 【解答】解： 9 72S ， 5 972a， 5 8a，即 1 48ad， 又 13 10aa， 1 2210ad， 第 11页（共 17页） 解得 1 4a ，1d ，3 n an， 7 10a， 1 2b ， 1 2 nn b b ， n b为2，1，2，1，2，1， 72020 10a b 故答案为：10 16 （5 分）在四面体ABCD中，若1ADDCACCB，则当四面体ABCD的体积最大 时，其外接球的表面积为 7 3 【解答】解：因为1
23、ADDCAC，所以底面ACD面积为定值， 因此当CB 平面ACD时，四面体ABCD的体积最大 设ACD外接圆圆心为 1 O， 则四面体ABCD的外接球的球心O满足 1/ / OOBC， 且 1 1 2 OO ， 因此外接球的半径R满足 222 137 ( )() 2312 R 从而外接球的表面积为 2 7 4 3 R 故答案为： 7 3 三、解答题三、解答题： （本大题共（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 7 coscos 7 a
24、BbAac， sin2sinAA （1）求A及a； （2）若2bc，求b，c 【解答】解： （1） 7 coscos 7 aBbAac， 7 sincossincossin 7 ABBAaC， 即 7 sinsin 7 CaC，解得7a ， 由sin2sinAA，则2sincossinAAA， 所以 1 cos 2 A ，故 3 A ； （2）由正弦定理可得 222 1 cos 22 bca A bc ，且7a ， 可得 22 7bcbc，又2bc， 所以 22 (2)7(2)ccc c， 第 12页（共 17页） 解得1c ，3b 18 （12 分）如图，已知ABC为等边三角形，ABD为等腰
25、直角三角形，ABBD平面 ABC 平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且/ /CEBD，2BDCE点F为AD 中点，连接EF （1）求证：/ /EF平面ABC； （2）求证：平面AED 平面ABD 【解答】证明： （1）取AB的中点O，连接FO，CO， 点F为AD中点，/ /FOBD且 1 2 FOBD， / /CEBD，2BDCE，/ /FOCE且FOCE， 四边形FOCE为平行四边形，/ /COEF， 又CO 平面ABC，EF 平面ABC， / /EF平面ABC （2）由（1）点O为AB的中点，且ABC为等边三角形， COAB， 又ABBD平面ABC 平面ABD， BD平面ABC，B
26、DCO， 又ABBD ，CO平面ABD， 又/ /COEF，EF平面ABD， EF 平面AED，平面AED 平面ABD 第 13页（共 17页） 19 （12 分） “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思 想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台某单位共有党员 200 人（男女各 100 人） ，从 2019 年 1 月 1 日起在“学习强国”学习平台学习现统计他们 的学习积分，得到如下男党员的频率分布表和女党员的频率分布直方图 男党员 积分 （单位：千） 2，4)4，6)6，8)8，10)10，12) 人数 （单位：人） 15253020
27、10 （1）已知女党员中积分不低于 6 千分的有 72 人，求图中a与b的值； （2）估算女党员学习积分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和女党 员学习积分的中位数（精确到 0.1 千分） ； （3）若将学习积分不低于 8 千分的党员视为学习带头人，完成下面22列联表，并判断能 否有95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关？ 男党员女党员合计 带头人 非带头人 合计100100200 相关公式即数据： 2 2 () ()()()() n adbc x ab cdac bd 2 ()P xk 0.1000.0500.010 k2.7063.8416.635 第 14页（共 17
28、页） 【解答】解： （1）由女党员中积分不低于 6 千分的有 72 人， 则低于 6 千分的有1007228（人)； 所以 28 0.075220.28 100 a， 解得0.065a ； 又 72 0.1520.1222 100 b， 解得0.09b ； 所以0.065a ，0.09b （2）由频率分布直方图可知： 平均数为30.1550.1370.390.2411 0.187.347.3x 设中位数为x，由在2，4)与4，6)上的频率为0.07520.06520.150.130.28， 所以0.15(6)0.280.5x ， 解得 22 67.5 15 x ； 综上知，平均数为 7.3，中
29、位数为 7.5 （3）由题意填写列联表如下： 男党员女党员合计 带头人304272 非带头人7058128 合计100100200 由表中数据计算 22 2 ()200(30587042)28800 3.1253.841 ()()()()72 128 100 1009216 n adbc x ab cdac bd ， 第 15页（共 17页） 所以没有95%的把握认为该单位的学习带头人与性别有关 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点(2,2)A，点B在抛物线C上， 且满足2(OFFBFA O 为坐标原点） （1）求抛物线C的方程； （2） 过焦点F任作两条相
30、互垂直的直线l与 D ， 直线l与抛物线C交于P，Q两点， 直线 D 与抛物线C交于M，N两点，OPQ的面积记为 1 S，OMN的面积记为 2 S， 求证： 22 12 11 SS 为定值 【解答】解： （1）设 1 (B x， 1) (,0) 2 p yF， 11 2(,0)(4,4) 22 pp OFFBFAxp y ， 1111 4,404,4 22 pp xp yxy， 因为点B在抛物线C上， 2 424p，2p， 2 4yx （2）证明：由题意得直线l的斜率存在且不为零， 设:1l xmy，代入 2 4yx得 2 440ymy， 所以 12 4yym， 22 1212 4 |1616
31、41y yyymm 因此 2 112 1 | 121 2 Syym ，同理可得 2 2 1 21S m ， 因此 2 22222 12 2 111111 1 4(1)4(1)4(1)4 4(1) m SSmmm m 21 （12 分）已知函数 1 ( )1f xlnx x （1）求函数( )f x的单调区间与极值； （2）若函数( )(1)(1)g xxlnxa x有两个极值点时，求a的取值范围 【解答】解： （1）由 1 ( )1(0)f xlnxx x ， 则 22 111 ( ) x fx xxx ， 令( )0fx，则1x ， 第 16页（共 17页） 令( )0fx，即 2 1 0
32、x x ，解得1x ， 所以函数( )f x的单调递增区间为(1,)； 令( )0fx，即 2 1 0 x x ，解得01x， 所以函数( )f x的单调递减区间为(0,1)； 故函数的极小值为f（1）2 综上所述，单调递增区间为(1,)；单调递减区间为(0,1)；( )f x极小值为 2； （2）由( )(1)(1)g xxlnxa x， 则 1 ( )(1)(1)() x g xxlnxxlnxalnxa x ， 若( )g x有两个极值点，则( )0g x有两个根 即 1 0 x lnxa x 有两解，即 1x lnxa x ， 即 11 ( )1 x f xlnxlnx xx 与ya有
33、两个交点， 由（1）可知( )f x在(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增， 所以( )f xf （1）2 若( )f x与ya有两个交点，则2a 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用作答时，用 2B 铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑. 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线:4cosC，直线l的参数方程为： 32 ( 1 xt t yt 为参数） ，直线l与曲线C分别交于M， N两点 （1）
34、写出曲线C和直线l的普通方程； （2）若点(3, 1)P，求 11 |PMPN 的值 【解答】解： （1）曲线:4cosC， 2 4 cos， 曲线C的直角坐标方程为 22 4xyx， 即 22 (2)4xy， 直线l的参数方程为： 32 ( 1 xt t yt 为参数） ， 第 17页（共 17页） 直线l的普通方程为：250xy （2）直线l的参数方程为： 32 ( 1 xt t yt 为参数） ， 2 3 5 1 1 5 xt yt ， 代入 22 4xyx，得 2 121 2 22 20,2 55 ttttt t ， 2121 12121 2 |11115 |5 tttt PMPNtt
35、ttt t 23已知函数( ) |23|1|f xxx （1）求不等式( ) 3f x 的解集； （2）若不等式( )2|33|f xax对任意xR恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）由( ) 3f x ，得|23|1|3xx， 1 4 3 x x 或 3 1 2 32 3 x x 或 3 2 4 3 x x ， 31 23 x 或 3 7 2 x ， 不等式的解集为 1 | 7 3 xx （2）若不等式( )2|33|f xax对xR成立， 即不等式|23|1| 2|33|xxax对xR成立， 即不等式|23|22| 2xxa对xR成立， |23|22|(23)(22)| 5xxxx ， 25a， 5 2 a ， a的取值范围为 5 (, ) 2
