1、第 1页（共 20页） 2020 年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（文科年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（文科） （5 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x1 或 x2，B3，2，1，0，1，2，3，则 AB （） A3，2B2，3C3，2，3D3，2，2， 3 2 （5 分）若复数 z 满足（1+2i）z5i，则 z（） A2+iB2iC2+iD2i 3 （5 分）在正项等比数列an中，若 a11，a32a2+3，则其前 3 项的和 S3（） A3B9C13D24 4 （5 分）
2、已知向量? ? ?（1，1） ，? ? ?（2，4） ，则（? ? ? ? ? ）? ? ?（） A14B4C4D14 5 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A? ? B? ? C2D4 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 T（） 第 2页（共 20页） A? ? B? ? C? ? D1 7 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的减函数，则关于 x 的不等式 f（x2x）f（x）0 的解集为（） A （，0）（2，+）B （0，2） C （，2）D （2，+） 8 （5 分）已知圆 C： （x1）2+y2r2（r1）与 x 轴负半轴的交点为 M，
3、过点 M 且斜率为 1 的直线 l 与圆 C 的另一个交点为 N， 若 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上， 则|MN| （） A2 ?B? ?C ?D ? 9 （5 分）抛物线上任意两点 A、B 处的切线交于点 P，称PAB 为“阿基米德三角形” 当 线段 AB 经过抛物线焦点 F 时，PAB 具有以下特征： P 点必在抛物线的准线上；PAB 为直角三角形，且 PAPBPFAB 若经过抛物线 y24x 焦点的一条弦为 AB，阿基米德三角形为PAB，且点 P 的纵坐标为 4，则直线 AB 的方程为（） Ax2y10B2x+y20Cx+2y10D2xy20 10 （5 分）若直线 yax 与曲
4、线 ylnx1 相切，则 a（） AeB1C? ? D ? ? 11 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，若 ? ? ? ?，且 P ABCD 的体积为? ? ，则球 O 的表面积为（） A25B? ? C? ? D5 12 （5 分）如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为 1 千米，现规划在半圆 第 3页（共 20页） 弧岸边上取点 C，D，E，满足AODDOE2AOC，在扇形 AOC 和四边形 ODEB 区域内种植荷花，在扇形 COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道 DE，EB 作为 观光路线，则当 DE+EB 取得最大值时，sinAOC
5、（） A ? ? B? ? C ? ? D? ? 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）能说明命题“xR 且 x0，? ? ? ? ? ?”是假命题的 x 的值可以是 （写 出一个即可） 14 （5 分）由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”已知 DEF 是锐角ABC 的欧拉三角形，若向ABC 所在区域内随机投一个点，则该点落在 DEF 内的概率为 15 （5 分）已知 F 是双曲线 M：? ? ? ? ? ? ? ?，?的右焦点，点 P 在 M 上，O 为 坐标原点，若? ? ?，? ? ?
6、?，则 M 的离心率为 16（5 分） 定义域为 R 的偶函数 f （x） 满足 f （1+x） +f （1x） 0， 当 x0， 1） 时， ? ? ? ? ? ， 给出下列四个结论： |f（x）|1； 若 f（x1）+f（x2）0，则 x1+x20； 函数 f（x）在（0，4）内有且仅有 3 个零点； 其中，正确结论的序号是 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17 （12 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 为等边三角形，侧棱 AA1平面 ABC，D 为 CC1中点，AA12AB，AB1和 A1B 交于点 O （1）证明：OD平面 ABC
7、； （2）若 AB2，求点 B 到平面 A1B1D 的距离 第 4页（共 20页） 18 （12 分） 2020 年 1 月， 教育部 关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见 印发，自 2020 年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划” ） 强基 计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国 家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优 秀或基础学科拔尖的学生 新材料产业是重要的战略性新兴产业， 如图是我国 20112019 年中国新材料产业市场规模及增长趋势图其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：
8、万亿元） ，折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%） （1）求 2015 年至 2019 年这 5 年的新材料产业市场规模的平均数； （2）从 2012 年至 2019 年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增 加量不少于 6000 亿元的概率； （3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大 （结 论不要求证明） 19 （12 分）ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2+c2a2+bc （1）求 A； （2）从三个条件：a?b?ABC 的面积为 ?中任选一个作为已知条件， 求ABC 周长的取值范围 20 （12 分）已知函数
9、 ? ? ? ? ? ? ? ? 第 5页（共 20页） （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，求 f（x1）+f（x2）的最小值 21 （12 分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图 1 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标 M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|4，D 为旋杆上的一点，且在 M，N 两 点之间，且|ND|3|MD|，当滑标 M 在滑槽 EF 内作往复运动，滑标 N 在滑槽 GH 内随之 运动时，将笔尖放置于 D 处可画出椭圆，记该椭圆为 C如图 2 所示，设 EF 与 GH 交 于点 O，以 EF 所在的直线为 x 轴，以 GH
10、所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A1，A2是椭圆 C 的左、右顶点，点 P 为直线 x6 上的动点，直线 A1P，A2P 分 别交椭圆于 Q，R 两点，求四边形 A1QA2R 面积为 ? ?，求点 P 的坐标 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考 题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参 数方程数方程 22 （10 分）在平面直
11、角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? （t 为参数） ， 以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的极坐标方程； （2）设动点 M 的极坐标为（，） ，射线 OM 与直线 l 相交于点 A，且满足|OA|OM| 4，求点 M 轨迹的极坐标方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）2|x+1|+|x1| （1）解不等式 f（x）4； 第 6页（共 20页） （2）设 f（x）的最小值为 m，实数 a，b，c 满足 a2+b2+c2m，证明：? ? ? ? ? ? 第
12、 7页（共 20页） 2020 年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（文科年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（文科） （5 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x1 或 x2，B3，2，1，0，1，2，3，则 AB （） A3，2B2，3C3，2，3D3，2，2， 3 【解答】解：集合 Ax|x1 或 x2，B3，2，1，0，1，2，3， AB3，2，3 故选：C 2 （5 分）若复数 z 满足（1+2i）z5i，则 z（） A2+iB2iC2+iD2i 【解答】解：z 满足（1+2i）z
13、5i， z? ? ? ? ? ? ?2+i 故选：A 3 （5 分）在正项等比数列an中，若 a11，a32a2+3，则其前 3 项的和 S3（） A3B9C13D24 【解答】解：设正项等比数列an的公比为 q0，a11，a32a2+3， q22q+3，解得 q3 则其前 3 项的和 S31+3+3213 故选：C 4 （5 分）已知向量? ? ?（1，1） ，? ? ?（2，4） ，则（? ? ? ? ? ）? ? ?（） A14B4C4D14 【解答】解：? ? ?（1，1） ，? ? ?（2，4） ， ? ? ? ? ? ?（1，3） ， （? ? ? ? ? ）? ? ?134 故选
14、：B 5 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） 第 8页（共 20页） A? ? B? ? C2D4 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 可知该几何体是底面半径为 1，高是 2 的圆柱截去四分之一 其体积为 V? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选：B 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 T（） A? ? B? ? C? ? D1 【解答】解：k1，S0，T0； S0+11，T1，k2； 第 9页（共 20页） S1+23，T? ? ?，k3； S3+36，输出 T? ?； 故选：C 7 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的减函数，则关
15、于 x 的不等式 f（x2x）f（x）0 的解集为（） A （，0）（2，+）B （0，2） C （，2）D （2，+） 【解答】解：根据题意，f（x）是定义在 R 上的减函数，则 f（x2x）f（x）0f（x2 x）f（x）x2xx， 即 x22x0，解可得 0x2，即不等式的解集为（0，2） ； 故选：B 8 （5 分）已知圆 C： （x1）2+y2r2（r1）与 x 轴负半轴的交点为 M，过点 M 且斜率为 1 的直线 l 与圆 C 的另一个交点为 N， 若 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上， 则|MN| （） A2 ?B? ?C ?D ? 【解答】解：取 y0，可得 x1r 或 x
16、1+r， 由题意可得，M（1r，0） ， 设直线 l 的方程为 yx+r1， 联立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，得 x 2+（r2）x+1r0 由 1r+xN2r，得 xN1 由 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上，得 1r+10，即 r2 M（1，0） ，N（1，2） ，则|MN|? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选：B 9 （5 分）抛物线上任意两点 A、B 处的切线交于点 P，称PAB 为“阿基米德三角形” 当 第 10页（共 20页） 线段 AB 经过抛物线焦点 F 时，PAB 具有以下特征： P 点必在抛物线的准线上；PAB 为直角三角形，且 PAPBPFAB
17、若经过抛物线 y24x 焦点的一条弦为 AB，阿基米德三角形为PAB，且点 P 的纵坐标为 4，则直线 AB 的方程为（） Ax2y10B2x+y20Cx+2y10D2xy20 【解答】解：由题意可知，抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为（1，0） ，准线方程为：x 1， 由PAB 为“阿基米德三角形” ，且线段 AB 经过抛物线 y24x 焦点，可得：P 点必在抛 物线的准线上， 点 P（1，4） ， 直线 PF 的斜率为： ? ? ?2， 又PFAB，直线 AB 的斜率为? ?， 直线 AB 的方程为：y0? ? ? ?，即 x2y10， 故选：A 10 （5 分）若直线 yax 与曲线
18、 ylnx1 相切，则 a（） AeB1C? ? D ? ? 【解答】解：? ? ? ?，设切点为（x，lnx1） ， 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 ? ? ? ? 故选：D 11 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，若 ? ? ? ?，且 P ABCD 的体积为? ? ，则球 O 的表面积为（） A25B? ? C? ? D5 【解答】解：如图，VPABCD? ? ?正? ?PH? ? ? ?（2 ?）2PH? ? ? ，则 PH8， 设球 O 的半径为 r，则在 RtAOH 中，AO2AH2+OH2， 即 r2（4r）2+22，解得 r? ?
19、?， 则球 O 的表面积为 4r24? ? ? ?25， 第 11页（共 20页） 故选：A 12 （5 分）如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为 1 千米，现规划在半圆 弧岸边上取点 C，D，E，满足AODDOE2AOC，在扇形 AOC 和四边形 ODEB 区域内种植荷花，在扇形 COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道 DE，EB 作为 观光路线，则当 DE+EB 取得最大值时，sinAOC（） A ? ? B? ? C ? ? D? ? 【解答】解：设AOC，则AODDOE2，BOE4，（0，? ?） 可得：DE2sin，BE2sin（? ? ?2） ， DE+BE2
20、sin+2sin （? ? ?2） 2sin+2cos22sin+2 （12sin2） 4? ? ? ? ? ? ? ?， 当 sin? ? ?时，DE+EB 取得最大值 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 第 12页（共 20页） 13 （5 分）能说明命题“xR 且 x0，? ? ? ? ? ?”是假命题的 x 的值可以是1， （任 意负数均可以） （写出一个即可） 【解答】解：当?时，? ? ? ? ? ?，当且仅当? ? ?取等号， 当?时，? ? ? ? ? ?，当且仅当? ? ?取等号， 只需 x 取值为负数，
21、即可例如 x1 时 ? ? ? ? ? ? 14 （5 分）由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”已知 DEF 是锐角ABC 的欧拉三角形，若向ABC 所在区域内随机投一个点，则该点落在 DEF 内的概率为 ? ? 【解答】解：根据中位线定理，显然DEFABC，且相似比为? ? 设 A“点落在DEF 内” ，“点落在ABC 内” ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为：? ? 15 （5 分）已知 F 是双曲线 M：? ? ? ? ? ? ? ?，?的右焦点，点 P 在 M 上，O 为 坐标原点，若? ? ?，? ? ? ?，则 M 的离心率为 ? 【
22、解答】解：设 P（x0，y0）由题意可得 x00，设 y00， ? ? ?（x0，y0） ，由题意|OP|2b，可得 x02+y024b2， ? ?（c，0） ， 由POF? ? ?，所以 cosPOF? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，可得 x0b， y023b2，y00，将 P 点的坐标代入双曲线的方程可得：? ? ? ?31，所以 b24a2， 所以双曲线的离心率 e? ? ? ? ? ? ?， 故答案为： ? 第 13页（共 20页） 16（5 分） 定义域为 R 的偶函数 f （x） 满足 f （1+x） +f （1x） 0， 当 x0， 1） 时， ?
23、? ? ? ? ， 给出下列四个结论： |f（x）|1； 若 f（x1）+f（x2）0，则 x1+x20； 函数 f（x）在（0，4）内有且仅有 3 个零点； 其中，正确结论的序号是 【解答】解：f（1+x）+f（1x）0，f（x）关于点（1，0）对称， 令 x1，则 f（1）+f（1）0，f（1）0， 又f（x）为偶函数，且当 x0，1）时，? ? ? ? ? ，可作出函数 f（x）的图象如 下所示， 1f（x）1，|f（x）|1，即正确； 取 x11，x22，满足 f（x1）+f（x2）0，但 x1+x210，即错误； 函数 f（x）在（0，4）内的零点为 x1，2，3，有且仅有 3 个，
24、即正确 正确的是， 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17 （12 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 为等边三角形，侧棱 AA1平面 ABC，D 为 CC1中点，AA12AB，AB1和 A1B 交于点 O 第 14页（共 20页） （1）证明：OD平面 ABC； （2）若 AB2，求点 B 到平面 A1B1D 的距离 【解答】 （1）证明：如图所示，取 AB 的中点 E，连接 CE，OE在ABB1中，E 为 AB 的中点，O 为 AB1的中点， EOBB1，EO? ? ?BB1 D 为 CC1的中点，CD? ? ?CC1? ?
25、?BB1且 CDBB1 EOCD，EOCD 四边形 CDOE 为平行四边形 ODEC， 而 OD平面 ABC，EC平面 ABC OD平面 ABC （2）解：AB2，ABC 与A1B1C1为等边三角形，AA12AB4CC1 C1D2 侧棱 AA1平面 ABC， A1DB1D2 ?，A1B12， 可得? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 点 A1到平面 BB1C1C 的距离为 ? 设点 A1到平面 A1B1D 的距离为 h 则? ? ?， ? ? ? ?4? ? ? ?h， 解得 h? ? ? ? 第 15页（共 20页） 18 （12 分） 2020 年 1 月， 教育部 关于在部分高校开展
26、基础学科招生改革试点工作的意见 印发，自 2020 年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划” ） 强基 计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国 家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优 秀或基础学科拔尖的学生 新材料产业是重要的战略性新兴产业， 如图是我国 20112019 年中国新材料产业市场规模及增长趋势图其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位： 万亿元） ，折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%） （1）求 2015 年至 2019 年这 5 年的新材料产业市场规模的平均数； （2）从 2012
27、 年至 2019 年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增 加量不少于 6000 亿元的概率； （3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大 （结 论不要求证明） 【解答】解： （1）2015 年至 2019 年这 5 年的新材料产业市场规模的平均数为： ? ? ? ? ?3.26 万亿元 （2）设 A 表示事件”从 2012 年至 2019 年中随机挑选一年，该年新材料产业市场规模的 增加值达到 6000 亿元“， 从 2012 年起，每年新材料产业市场规模的增加值依次为： 第 16页（共 20页） 3000，2000，3000，5000，6000
28、，4000，8000，6000， （单位：亿元） ， P（A）? ? ? （3）由图判断，从 2012 年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大 19 （12 分）ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2+c2a2+bc （1）求 A； （2）从三个条件：a?b?ABC 的面积为 ?中任选一个作为已知条件， 求ABC 周长的取值范围 【解答】解： （1）b2+c2a2+bc，可得 cosA? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由 A（0，） ，可得 A? ? ?； （2）选a?，又 A? ? ?，可得 ? ? ? ? ? ? ? ?2， 可设 B? ? ? ?
29、d，C? ? ? ?d，? ? ? d ? ?， 即有三角形 ABC 的周长 la+b+c2sinB+2sinC? ?2sin（? ? ?d）+2sin（? ? ?d）? 2（ ? ? cosd? ? ?sind? ? ? cosd? ? ?sind）? ? ?2 ?cosd?， 由 cosd（? ?，1，可得周长 l 的范围是（2 ?，3 ?； 选b?， 由 A? ? ?， 由正弦定理可得 a? ? ?， c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 则周长为 la+b+c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
30、? ，由 B（0，? ? ） ，可得 0 ? ? ?，即有 0tan ? ?， 可得ABC 的周长的取值范围是（2 ?，+） ； 若选SABC?，由 A? ? ?，可得 SABC? ? ?bcsinA? ? ? bc?，即 bc4， 由余弦定理可得 a2b2+c22bccosAb2+c2bc（b+c）23bc（b+c）212， 则周长 la+b+c? ? ? ?（b+c） ， 由 b+c2 ? ?4，当且仅当 bc2 时等号成立，所以 l? ? ?46， 则ABC 的周长的范围是6，+） 20 （12 分）已知函数 ? ? ? ? ? ? ? ? （1）讨论 f（x）的单调性； 第 17页（共
31、 20页） （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，求 f（x1）+f（x2）的最小值 【解答】解： （1）函数 ? ? ? ? ? ? ? ?，定义域为（0，+） ， f（x）a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 由 f（x）0 得：x1 或 x? ? ?， 若 0a2，则? ? ?， 由 f（x）0 得，1x ? ?；由 f（x）0 得，0x1 或 x ? ?， 函数 f（x）在（1，0）和（? ?，+）上单调递增，在（1， ? ?）上单调递减； 若 a2，则? ? ? ?， 此时 f（x）? ? ? ?0 恒成立， 函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 若 a2，
32、则 ? ? ? ?， 由 f（x）0 得，? ? x1；由 f（x）0 得，0x ? ?或 x1， 函数 f（x）在（0，? ?）和（1，+）上单调递增，在（ ? ?，1）上单调递减； （2）由（1）可知，f（x）有两个极值点时，a0 且 a2，不妨设 x11，? ? ?， f（x1）f（1）a2lna，f（x2）f（? ?）2a+（a+2）ln ? ? ?lna， f（x1）+f（x2）（a+2）ln? ? ?2lna， 设 h（x）（x+2）ln? ? ?2lnx，x（0，+） ， 则 h（x）（x+2） （lnxln2）2lnx， h（x）lnxln2+1， 由 h（x）0 得 0x ?
33、 ?，函数 h（x）在（0， ? ?）上单调递减； 由 h（x）0 得 x ? ?，函数 h（x）在（ ? ?，+）上单调递增， x0 时，h（x）minh（? ?）? ? ? ?2ln2， 当 a0 且 a2 时，f（x1）+f（x2）的最小值为? ? ? ?2ln2 第 18页（共 20页） 21 （12 分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图 1 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标 M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|4，D 为旋杆上的一点，且在 M，N 两 点之间，且|ND|3|MD|，当滑标 M 在滑槽 EF 内作往复运动，滑标 N 在滑槽 GH 内随之 运动时，将笔尖放置于
34、 D 处可画出椭圆，记该椭圆为 C如图 2 所示，设 EF 与 GH 交 于点 O，以 EF 所在的直线为 x 轴，以 GH 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A1，A2是椭圆 C 的左、右顶点，点 P 为直线 x6 上的动点，直线 A1P，A2P 分 别交椭圆于 Q，R 两点，求四边形 A1QA2R 面积为 ? ?，求点 P 的坐标 【解答】解： （1）由|MN|4，D 为旋杆上的一点，且在 M，N 两点之间，且|ND|3|MD|， 可得|MD|1，|ND|3 所以椭圆的长半轴 a 为 3，短半轴 b 为 1， 所以椭圆的方程为：? ? ? ?y
35、21； （2）由（1 可得 A1（3，0） ，A2（3，0） ，设 P（6，t） ，t0， 则直线 A1P 的方程为：y? ? ?（x+3） ，直线 A2P 的方程为：y? ? ?（x3） ， 设 Q（x1，y1） ，R（x2，y2） ， 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整理可得： （9+t2）y26ty0，因为 y ?0，所以 yQ? ? ?， 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整理可得（1+t2）y2+2ty0，因为 y ?0，所以 yR? ? ?， 所以四边形 A1QA2R 的面积 S? ? ?|A1A2|yQyR|? ? ?6（ ? ? ? ? ?
36、）? ? ? ? 第 19页（共 20页） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 因为 t0，m? ? ? ?t? ? ? ? ? ?，所以 S? ? ? ? ?3 ?，解得 m2 ?，即 t?， 当 t0，由对称性可得 t?， 综上所述：当点 P（6， ?）或（6，?）时，四边形 A1QA2R 面积为 ? ? （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考 题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系
37、与参：坐标系与参 数方程数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? （t 为参数） ， 以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的极坐标方程； （2）设动点 M 的极坐标为（，） ，射线 OM 与直线 l 相交于点 A，且满足|OA|OM| 4，求点 M 轨迹的极坐标方程 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? （t 为参数） ，转换为直角坐标方程 为 x+y20转换为极坐标方程为cos+s
38、in+20 （2）设动点 M 的极坐标为（，） ，射线 OM 与直线 l 相交于点 A，且满足|OA|OM| 4， 所以 A（? ? ，?） ， 所以? ? ? ? ? ? ?，转换为2sin+2cos（0） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）2|x+1|+|x1| 第 20页（共 20页） （1）解不等式 f（x）4； （2）设 f（x）的最小值为 m，实数 a，b，c 满足 a2+b2+c2m，证明：? ? ? ? ? ? 【解答】解： （1）f（x）? ? ? ?，? ? ? ? ? ?，? ? ? ?，? ? ? ， 不等式 f（x）4 等价于 ? ? ? ? ? ? ? ?或 ? ? ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ? ?， 解得? ? ? ?x1 或1x1 或 x1， 不等式的解集为? ? ?，1； （2）由（1）可知，f（x）在（，1递减，在（1，+）递增， f（x）的最小值为 f（1）2， m2， 即 a2+b2+c22， 根据柯西不等式得（a+b+c）2（12+12+12） （a2+b2+c2）6， 故? ? ? ? ? ?
