1、高三一轮检测 数 学 试 题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 已知全集UR=， 集合31 ,1MxxNx x= =， 则阴影部分表示的集合是 A1,1 B(3,1 C()(), 31, + D()3, 1
2、2已知复数 2 1 ai bi i = ，其中,a bR i是虚数单位，则abi+= A1 2i + B1 C5 D5 3已知() 3 1 21mx x 的展开式中的常数项为 8，则实数 m= A2 B2 C3 D3 4已知函数( )()()log21 a f xxaaaa=，且，则“( )()3f x+在 ，”上是单调 函数”是“01a”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5已知定义在 R 上的函数( )f x的周期为 4，当)2,2x 时，( ) 1 4 3 x f xx = ，则 ()() 33 log 6log 54ff+= A 3 2 B
3、3 3 log 2 2 C 1 2 D 3 2 log 2 3 + 6如图所示，在ABC中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直 线 分 别 交 直 线 AB ， AC 于 不 同 的 两 点 M ， N ， 若 ,ABmAM ACnAN=，则mn+= A1 B 3 2 C2 D3 7现有一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水 面的高度正好为棱长的一半 若将该正方体绕下底面(底面与水平面平 行)的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为 A1 B2 C3 D2 2 8抛物线() 2 20ypx p=的焦点为 F，准线为, ,l A B是抛物线上的两个动点，且满足 2 3
4、 AFB =设线段 AB 的中点 M 在l上的投影为 N，则 MN AB 的最大值是 A3 B 3 2 C 3 3 D 3 4 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状 图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是 注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989年之间出生。80前指1979年及以前出生 A互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三
5、成以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20 C互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 10下列说法正确的是 A “c=5”是“点(2，1)到直线340xyc+=的距离为 3”的充要条件 B直线sin10xy+ =的倾斜角的取值范围为 3 0, 44 C直线25yx= +与直线210xy+ =平行，且与圆 22 5xy+=相切 D离心率为3的双曲线的渐近线方程为2yx= 11已知, 是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是 A若, /mn mn，则 B若, /mnmn，则 C若/
6、,/mm ，则 D若/ ,/mnm，则 与所成的角和n与所成的角相等 12已知函( )sin x f xex=，则下列结论正确的是 A( )f x是周期为2的奇函数 B( ) 3 44 f x 在，上为增函数 C( )()10 10f x在，内有 21 个极值点 D( )0 4 f xax 在，上恒成立的充要条件是1a 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知() 3312 ,sinsin,cos= 454134 += =+ ，则 14一个房间的地面是由 12 个正方形所组成，如右图所示今 想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块 相邻的正方形，即
7、，则用 6 块瓷砖铺满房间地面的方 法有 种 15 易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、 坤、 巽、 震、 坎、 离、 艮、 兑八卦)， 每一卦由三根线组成( “” 表示一根阳线， “”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦， 这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 16过点()(),00Mmm的直线l与直线330xy+ =垂直， 直线l与双曲线() 22 22 :10,0 xy Cab ab =的两条渐近线分别 交于点 A，B，若点(),0P m满足PAPB=，则双曲线 C 的渐近线方程为 ，离心率 为 (本题第一空 2 分，第二空 3 分) 四、解答题：本题共 6 小题，共
8、 70 分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤 17(10 分) 在 53 AB=， 22 1 114 aaB =， 5 35B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 并解答 已知等差数列 n a的公差为()0d d ，等差数列 n b的公差为 2d设, nn A B分别是数列 , nn ab的前 n 项和，且 12 3,3bA=，_ (1)求数列 , nn ab的通项公式； (2)设 1 3 2 n a n nn c b b + =+，求数列 n c的前 n 项和 n S 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18(12 分) 在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为,
9、 ,a b c，且 2 8cos2cos23 2 BC A + = (1)求 A； (2)若 a=2，且ABC 面积的最大值为3，求ABC 周长的取值范围 19(12 分) 在四边形 ABCP 中，2,2 3 ABBCPPAPC =；如图，将PAC 沿 AC 边折 起，连结 PB，使 PB=PA，求证： (1)平面ABC 平面 PAC； (2)若 F 为棱 AB 上一点， 且 AP 与平面 PCF 所成角的正弦 值为 3 4 ，求二面角FPCA的大小 20(12 分) 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从 甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某
10、月(30 天)的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，整理如下： 甲公司员工 A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工 B：360， 420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件 0.65 元， 乙公司规定每天 350 件以内(含 350 件)的部分每件 0.6 元。 超出 350 件的部分每件 0.9 元 (1)根据题中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快件个数的平均数和众数； (2)为了解乙公司员工 B 每天所得劳务费的情况，从
11、这 10 天中随机抽取 1 天，他所得的劳务 费记为 (单位：元)，求的分布列和数学期望； (3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费 21(12 分) 已知椭圆() 22 22 :10 xy Cab ab +=的左，右焦点分别为 12 FF，直线: l ykxm=+与椭 圆 C 相交于 P，Q 两点；当直线l经过椭圆 C 的下顶点 A 和右焦点 2 F时， 1 FPQ的周长为 4 2，且l与椭圆 C 的另一个交点的横坐标为 4 3 (1)求椭圆 C 的方程； (2)点 M 为POQ 内一点，O 为坐标原点，满足0MPMOMQ+=，若点 M 恰好在圆 O: 22 4 9 xy+=
12、，求实数 m 的取值范围 22(12 分) 已知函数( ) ln , x xax f xaR e + = (1)若函数( )() 00 ln2ln3yf xxxx=在处取得极值1， 证明： 11 23 ln2ln3 a； (2)若( ) 1 x f xx e 恒成立，求实数a的取值范围 高三一轮检测 数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A B A C B C 二、多项选择题： 题号 9 10 11 12 答案 ABC BC BCD BD 三、填空题： 13. 56 65 14.11 15. 3 14 16. 15 , 22 yx= 四
13、、解答题： 17.（10 分） 解：方案一： （1） , nn ab数列都是等差数列，且 253 3,AAB=， 1 1 23 51096 ad add += +=+ ，解得 1 1 1 a d = = 3 分 () () 1 1 1, 1 221. n n aandn bbndn =+= =+=+ 综上，,21 nn an bn=+.5 分 （2）由（1）得： ()() 3311 22 21 232 2123 nn n c nnnn =+=+ + ，7 分 () 2 3111111 222 235572123 n n S nn =+ + () 2 1 2 3 11 , 1 22 323 n
14、n = + () 1 32 2 23 n n n + + = + 10 分 方案二： （1） , nn ab数列都是等差数列，且 2 122 114 3,A aaB =， ()() 1 1 11 23=1 4621 ada a adddd += +=+= ，解得3 分 () 1 1 n aandn=+=， () 1 1 221 n bbndn=+=+. 综上，,21 nn an bn=+.6 分 （2）同方案一 方案三： （1） , nn ab数列都是等差数列，且 25 3,35AB=， 1 1 23 1 5 4 13 5235 2 ad a dd += = = += ，解得3 分 () 1
15、1 n aandn=+=， () 1 1 221 n bbndn=+=+. 综上，,21 nn an bn=+.5 分 （2）同方案一 18.（12 分） 解： （1） 2 8cos2cos23 2 BC A + = ()()4 1 cos2cos23BCA+= 整理得 2 4cos4cos30AA+ =4 分 解得 13 coscos 22 AA= 或（舍去） 又()0,A 3 A =6 分 （2）由题意知 13 sin3 24 ABC SbcAbc = 4bc 又 222 2cos ,2bcabcA a+=， 22 4bcbc+=+， () 2 4316bcbc+=+9 分 又2bc+ 2
16、4 46 bc abc + + + ABC周长的取值范围是(4,612 分 19.（12 分） 证明： （1）在2, 3 PACPAPCP =中， PAC为正三角形，且2AC = 在2ABCABBC=中， ABC为等腰直角三角形，且ABBC2 分 取 AC 的中点 O，连接 OB,OP , 1,3,2 OBAC OPAC OBOPPBPA = OPOB4 分 ,OPACO AC OP=平面 PAC OB平面 PAC OB平面 ABC ABC平面平面 PAC6 分 （2）以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则 ()()()()0, 1,0 ,1,0,0 ,0,1,0 ,0,
17、0, 3ABCP， ()()1,1,0 ,0,1, 3ABAP=， ()() 0, 1, 3 ,0, 2,0CPCA=， 设()01AFmABm=，则 (),2,0CFCAAFm m=+=8 分 设平面 PFC 的一个法向量为(), ,nx y z=，则 0 0 n CF n CP = = ()20 30 mxy m yz += += 令 2 3 3 1 m x ym z = = = ，解得 2 3, 3,1 m n m = AP 与平面 PFC 所成角的正弦值为 3 4 ， () 2 2 2 2 33 4 2 33 1 n AP nAP m m = + + 10 分 整理得 2 440mm+
18、=3 解得 2 2 3 mm= 或（舍去） () 2 3, 3,1n = 又OB为平面 PAC 的一个法向量 3 cos, 2 , 6 n OB n OB n OB n OB = = 二面角FPA C的大小为 6 12 分 20.（12 分） 解： （1）由题意知 甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数为 () 1 410390330360320400330340370350360 10 +=， 众数为 330.2 分 （2）设乙公司员工 B 1 天的投递件数为 X，则 当 X=340 时，() 1 340 0.6204,204 10 P=， 当 X=360 时，()() 3 3
19、50 0.63603500.9219,219 10 P=+=， 当 X=370 时，()() 1 350 0.63703500.9228,228 5 P=+=， 当 X=420 时，()() 3 350 0.64203500.9273,273 10 P=+=， 当 X=440 时，()() 1 350 0.64403500.9291,291 10 P=+=，7 分 的分布列为 ( ) 13131 204219228273291242.7 101051010 E=+=9 分 （3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为 360300.65=7020（元） 由（2）估计乙公司被抽取员工在
20、该月所得的劳务费为 242.730=7281（元）12 分 21.（12 分） 解： （1）由题意知44 2a =， 2a =， 直线 2 AF的方程为() b yxc c =， 直线 2 AF与椭圆 C 的另一个交点的横坐标为 4 3 ， 2 2 2 4 3 12 4 3 1 2 b yc c cc y b = = += ，解得或（舍去） 2 1b=， 椭圆 C 的方程为 2 2 1 2 x y+=4 分 （2）设()() 1122 ,P x yQ xy 0MPMOMQ+=, 点 M 为POQ的重心， 1212 , 33 xxyy M + ， 点 M 在 22 4 : 9 O xy+=上，
21、()() 22 1212 4xxyy+=，6 分 由 () 222 2 2 1 24220 1 2 ykxm kxkmxm x y =+ += += 得 2 1212 22 422 , 1 21 2 kmm xxx x kk += = + ，8 分 ()() 2 2 22 1212 22 44 24 1 21 2 kmkm xxyykm kk += += + ， 即 () () 222 22 2 22 2 16 1 16 44 1 2 1 2 kk m k m m k k + += + + () 2 2 2 2 1 2 41 k m k + = + ，10 分 由 22 01 2km +得，
22、() 2 2 2 2 1 2 1 2 41 k k k + + + ， 解得0k ， () 2 2 4 2 22 24 1 2 44 111 41 4141 k k m kk kk + = += + + + ， 1mm或12 分 22.（12 分） 解： （1）( ) () 1 ln x axax x fx e + =. 函数( )yf x=在 0 xx=处取得极值 1， () () () 00 00 000 00 1 ln ln 01 xx axax xxax fxf x ee + + =，且， 0 00 0 1 ln x axaxe x +=+=， 0 0 1 x ae x =，4 分 令
23、( )()( ) 2 11 00 xx r xexrxe xx =+，则， ( )r x为增函数， ()() 0 0ln2ln3 ln2ln3 , x rar 即 11 23 lnln3 a.6 分 （2）不等式( ) 1 x f xx e 恒成立， 即不等式ln1 x xexax恒成立，即 ln1 x x ae xx 恒成立. 令( )( ) 22 222 ln11 ln1ln xx xxx ex g xegxe xxxxx + =+=，则.8 分 令( )( ) () 22 1 ln2 xx h xx exxxx e x =+=+，则h. 0x ， ( )0h x . ( )()0h x+
24、在，上单调递增，且( ) 1 10,ln20 24 e heh = . ( )h x有唯一零点 11 1 1 2 xx，且. 当()( )( )( ) 1 0,0,0,xxh xgxg x时，单调递减； 当()( )( )( ) 1, 0,0,xxh xgxg x+时，单调递增. ( )( ) 1 min g xg x=.10 分 1 1 11 ln1 x x ae xx . 由( ) 1 0h x=整理得 1 1 1 1 ln x x xe x = ， 11 1 1, ln0 2 xx 令( )()0 x k xxex=，则方程 1 1 1 1 ln x x xe x = 等价于( )() 11 lnk xkx=， 而( )()1 x kxxe=+在()0,+上恒大于零， ( )k x在()0,+上单调递增， ( )() 11 lnk xkx=， 11 ln,xx= 1 1 1 , x e x = ( ) () 1 1 1 1 11111 ln111 1. x xx g xe xxxxx = 1.a 实数a的取值范围为(,1.12 分。
