1、2020届浙江省百校高三联考数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】求函数的定义域求得集合，再求得其与集合的交集，由此得出正确选项.【详解】由解得或，故. 故选：C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查函数定义域的求法，属于基础题.2已知i是虚数单位，若复数z满足，则（ ）AB2CD3【答案】A【解析】化简为的形式，由此求得，从而得出正确选项.【详解】依题意，故.故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数模的概念和运算，属于基础题.3若x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）A-5B1C2D4【答案】D【解析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边
2、界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值为.故选：D.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4已知平面，和直线，且，则“”是“且”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将“”与“且”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.【详解】当“”时，可能在或内，不能推出“且”.当“且”时，由于，故“”.所以“”是“且”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置
3、关系，属于基础题.5若二项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（ ）A1B5C10D20【答案】C【解析】对令，结合展开式中各项的系数和为列方程，由此求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得含项的系数.【详解】对令得，解得.二项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故选：C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查求二项式展开式指定项的系数，属于基础题.6函数的大致图象为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，判断出正确选项.【详解】函数的定义域为，且，故函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除C,D两个选
4、项.由于，故排除B选项.所以A选项正确.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.7已知双曲线，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B，交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且满足点C位于A，B之间.已知O为原点，且，则（ ）ABCD【答案】A【解析】设出直线的方程，联立直线方程和渐近线方程，由此求得两点的坐标，以及求得点的坐标，根据列方程，求得的关系，由此求得的值.【详解】由于双曲线渐近线为，不妨设直线的斜率为，故直线的方程为.令，得.由解得，.由解得，由得，化简得，解得或.由于位于之间，故舍去，所以，即.故.故选：A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程
5、，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8已知内接于半径为2的，内角A，B，C的角平分线分别与相交于D，E，F三点，若，则（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】分别求得、，结合已知条件，求得的值.【详解】连接，在三角形中，由正弦定理得，故.同理可得、，故，故.故选D.【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9如图，在中，将绕边AB翻转至，使面面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角
6、取得最小值时，线段AQ的长度为（ ）ABCD【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，计算，利用夹角公式列式，根据取得最大值，也即与所成角取得最小值，求出的长度.【详解】由余弦定理得，所以为钝角.由于平面平面，且交线为，过作的垂线，交的延长线于，连接，则平面，所以，根据折叠前后的关系可知，故两两垂直.以为空间直角坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示，在等腰直角三角形和中，故,，设，且，则，所以.，设直线与直线所成角为，则，令，则，则，当且仅当，即时取得最大值，也即与所成角取得最小值.此时.所以.故选B.【点睛】本小题主要考查利用空间向量求解空间异面直线所成角最值有关问题，考查空间想象能力
7、，考查运算求解能力，属于中档题.10设无穷数列满足，若为周期数列，则pq的值为（ ）AB1C2D4【答案】C【解析】先求得的表达式，再根据周期确定，即得的值.【详解】，因为数列是周期数列，所以存在故的值为.故选C.【点睛】本小题主要考查周期数列，考查分析与解决问题的能力，考查观察与思考的能力，属于基础题.二、双空题11若函数为奇函数，则实数a的值为_，且当时，的最大值为_.【答案】 【解析】先根据求得的值，然后根据在上的单调性，求得的最大值.【详解】由于函数为奇函数，故，即，即，故.所以.当时，注意到在上单调递增，故，所以，故当时，的最大值为.故填：（1）；（2）.【点睛】本小题主要考查已知函
8、数的奇偶性求函数解析式，考查函数的单调性和最值的求法，属于中档题.12已知随机变量的分布列如下表，若，则a=_，_.012Pab【答案】 【解析】根据分布列概率之和为以及期望值列方程组，解方程组求得的值，进而求得方差.【详解】依题意 ，故.所以.故填：（1）；（2）.【点睛】本小题主要考查分布列中概率的计算，考查分布列的期望和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.13已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示则该几何体的体积为_，表面积为_.【答案】 【解析】画出三视图对应的原图，由此计算出几何体的体积和表面积.【详解】画出三视图对应的原图如下图所示几何体，也即长方体切掉一个三棱锥.故
9、几何体的体积为，表面积为，在中，所以，故表面积为.故填：（1）；（2）.【点睛】本小题主要考查根据三视图还原为原图，考查几何体体积和表面积的计算，属于基础题.14已知、分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为_；若过且斜率为的直线与椭圆相交于AB两点，且，则_.【答案】 【解析】根据对称性和中位线判断为等腰直角三角形，根据椭圆的定义求得离心率.设根据得到，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，根据根与系数关系列方程，解方程求得的值.【详解】由于点关于直线对称的点Q在椭圆上，由于的倾斜角为,画出图像如下图所示，由于是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知为等腰直
10、角三角形，且为短轴的端点，故离心率.不妨设，则椭圆方程化为，设直线的方程为，代入椭圆方程并化简得.设，则，.由于，故.解由组成的方程组得，即.故填：（1）；（2）.【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查直线和椭圆相交的交点坐标有关计算，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，运算能力要求较强，属于中档题.三、填空题15某学校要安排2名高二的同学，2名高一的同学和名初三的同学去参加电视节目变形记，有五个乡村小镇A、B、C、D，E（每名同学选择一个小镇）由于某种原因高二的同学不去小镇A，高一的同学不去小镇B，初三的同学不去小镇D和E，则共有_种不同的安排方法（用数字作）【答案】【解析】
11、按照初三学生去三个小镇分成类，用分步计数原理计算出每一类的方法数，然后相加，得到总的方法数.【详解】如果初三学生去，则高二学生选人去，另外三人去，故方法数有种；如果初三学生去，则高一学生选人去，另外三人去，故方法数有种；如果初三学生去，则高二学生选人去，高一学生选人去，另外两人去，故方法数有种.故总的方法数有种.故填：.【点睛】本小题主要考查分类加法计算原理，考查分步乘法计数原理，考查排列数和组合数的计算，属于基础题.16已知向量满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】化简，根据化简的结果化简所求，由此求得最终的取值范围.【详解】由得，化简得，且，故.而，由于，故.故填：.【点睛】本小题主要考
12、查平面向量数量积的运算，考查平面向量模的运算，考查绝对值不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17在平面直角坐标系xOy中，已知圆.过原点的动直线l与圆M交于A，B两点若以线段AB为直径的圆与以M为圆心MO为半径的始终无公共点，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】先求得圆的圆心和半径.根据两个圆内含的条件列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】圆的圆心为，半径.设以线段为直径的圆的圆心为，要使“以线段为直径的圆与以为圆心为半径的始终无公共点”，则两圆内含.即，即恒成立，即，由基本不等式有，故，所以，即，也即，解得.故填：.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆和圆的
13、位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查恒成立问题的求解策略，属于中档题.四、解答题18已知函数（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）利用降次公式和辅助角公式化简，由此求得的值.（2）根据绝对值符号对三角函数单调性的影响列不等式，解不等式求得的单调递增区间.【详解】解：（1）化简得，所以（2）由于，故，解得函数的单调递增区间为，.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数单调区间的求法，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.19如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等腰直角三
14、角形，点E，F分别为BC，PD的中点，直线PC与平面AEF交于点Q.（1）若平面平面，求证：.（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）根据线面平行的判定定理证得平面，然后根据线面平行的性质定理证得.（2）先根据四点共面，结合向量的线性运算，求得，也即求得位置.建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，求得线面角的正弦值.【详解】（1）证明：因为，平面PC，平面PCD，所以平面PCD.又因为平面PAB，平面平面，所以.（2）解：连接PE.因为，所以，则设，则.因为A，E，Q，F四点共面，所以，解得，则.取AD的中点O，连接OC，OP，
15、由题意可得OC，OD，OP两两垂直如图，建立空间直角坐标系，设，则，.所以，.设平面PCD的一个法向量为，则，令，得，即，所以，所以.【点睛】本小题主要考查线面平行的判定定理和性质定理的运用，考查空间向量法求线面角的正弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20已知各项为正数的数列，其前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用与的关系求出数列的通项公式；（2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.【详解】（1）由平方，得，所以，将以上两式相减，可得，则，所以，由于数列的各项均为正数，所以，又，所以；（2）由题意可得，则
16、，将以上两式相减，可得，设，则，将以上两式相减，可得，由此可得，则.【点睛】本题考查与的关系的应用，考查数列求和的方法，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型.21如图，过抛物线上的一点作抛物线的切线，分别交x轴于点D交y轴于点B，点Q在抛物线上，点E，F分别在线段AQ，BQ上，且满足，线段QD与交于点P.（1）当点P在抛物线C上，且时，求直线的方程；（2）当时，求的值.【答案】（1）或.（2）.【解析】（1）先求得切线的方程，由此求得两点的坐标，确定是的中点.根据三角形重心坐标公式列式，求得点的坐标，再根据点斜式求得的方程.（2）利用列方程，证得是的重心，由此求得的值.【详解】解：（1
17、）过抛物线上点A的切线斜率为，切线AB的方程为，则B，D的坐标分别为，故D是线段AB的中点.设，显然P是的重心.由重心坐标公式得，所以，则，故或因为，所以，所以直线EF的方程为或.（2）由解（1）知，AB的方程为，D是线段AB的中点令，因为QD为的中线，所以而，所以，即，所以P是的重心，.【点睛】本小题主要考查抛物线的切线方程的求法，考查重心坐标公式，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22已知函数，.（1）若，求证：当时，（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）求得函数的导函数，利用分析法，结合取对数运算，证得不等式成立.（2）构造函数，利用导数求得的最小值，利用最小值为非负数列不等式，由此求得的取值范围.【详解】（1）证明：当时，则欲证，即，故只需证明，两边取对数，即证，该不等式显然成立，从而当时，.（2）解：恒成立，即恒成立设，则，只需讨论函数，因为，所以单调递增，欲取一点，使得，因此，取因此在之间存在唯一零点，得，则，故在上单调递减，在上单调递增，所以，设，则只需，即，此时，由此可得实数a的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分析法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.
