1、合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第卷 (60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( ). A. B. C. D.2.设复数满足(为虚数单位)，在复平面内对应的点为(，)，则( ).A. B. C. D.3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年，我国对“一带一
2、路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ).A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，2017年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是( ).A. B.C. D. 5.已知等差数列的前项和为，则的值等于( ).A.21 B.1 C.-42 D.06.若执行右图的程序框图，则输出的值等于( ).A.2 B.3 C.4 D.57.函数的图象大致为( ).8.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是( ).A.的图象关于对称 B.在上有2个零点C.在区间上单调递减 D.在上的值域为9.已知双曲线
3、()的左右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线相切，是圆与双曲线的一个交点.若，则双曲线的离心率等于( ).A. B.2 C. D.10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ).(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，结果精确到0.001)A. B. C. D.11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：平面分正方体所得两部分的体积相等；四
4、边形一定是平行四边形；平面与平面不可能垂直；四边形的面积有最大值.其中所有正确结论的序号为( ).A. B. C. D. 12.已知函数，则函数的零点个数为( ) (是自然对数的底数).A.6 B.5 C.4 D.3第卷 (90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知向量(1，1)，且，则的值等于 .14.直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于 .15.“学习强国”是由中宣部
5、主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有 种.16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，则球的体积等于 ，球的表面积等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)在中，内角所对的边分别为，
6、若，.(1)求；(2)若边的中线长为，求的面积.18.(本小题满分12分)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概
7、率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.19.(本小题满分12分)如图，已知三棱柱中，平面平面，.(1)证明：；(2)设，求二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)设椭圆()的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.21.(本小题满分12
8、分)已知函数(为自然对数的底数).(1)求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；(2)设方程()有两个实数根，求证：.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.(1)求曲线的直角坐标方程；(2)设曲线与直线交于点，点的坐标为(3，1)，求.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()，不等式的解集为.(1)求
9、的值；(2)若，且，求的最大值.合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案ABCDDBABACCB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.-2 14.或 15.72 16.，(第一空2分，第二空3分)三、解答题：大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)在中，且，又，.是三角形的内角， . 5分(2)在中，由余弦定理得，.在中，的面积. 12分18.(本小题满分12分)(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为
10、，若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：. 5分(2)可能取值为0，1，2，3.则，的分布列为0123. 12分或解：随机变量服从，. 12分 19.(本小题满分12分)(1)连结.，四边形为菱形，.平面平面，平面平面，平面，平面.又，平面，.，平面，而平面，. 5分(2)取的中点为，连结.，四边形为菱形，.又，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图.设，(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，).由(1)知，平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，.，.令，得，即 .，二面角的余弦值为. 12分2
11、0.(本小题满分12分)(1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，.设圆的半径为，则，解得，椭圆的方程为. 5分(2)关于原点对称，.设，.当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由直线和椭圆方程联立得，即，.，圆的圆心O到直线的距离为，直线与圆相切.当直线的斜率不存在时，依题意得，.由得，结合得，直线到原点O的距离都是，直线与圆也相切.同理可得，直线与圆也相切.直线、与圆相切. 12分21.(本小题满分12分)(1)由，得，函数的零点.，.曲线在处的切线方程为.，曲线在处的切线方程为.5分(2).当时，；当时，.的单调递增区间为，单调递减区间为.由(1)知，当或时，；当时，.下面证明：当时，.当时，.易知，在上单调递增，而，对恒成立，当时，.由得.记.不妨设，则，.要证，只要证，即证.又，只要证，即.，即证.令.当时，为单调递减函数；当时，为单调递增函数.，. 12分22.(本小题满分10分)(1)曲线的方程，即曲线的直角坐标方程为：. 5分(2)把直线代入曲线得，整理得，.，设为方程的两个实数根，则，为异号，又点(3，1)在直线上，.10分23.(本小题满分10分)解：(1)，的解集为，解得，即. 5分(2)，.又，当且仅当，结合解得，时，等号成立，的最大值为32. 10分
