2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解.doc

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1、 2020年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题(本题满分42分,每小题7分) (本题共有6个小题,每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.)1.用表示不超过的最大整数,把称为的小数部分.已知,是的小数部分,是的小数部分,则 ( ) 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书30本,那么不同的购书方案有 ( ) 种 种 种 种 3(A). 如果一个

2、正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如: 和均为“和谐数”.那么,不超过的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( ) 3(B).已知二次函数的图象的顶点在第二象限,且过点.当为整数时, ( ) 4.已知的半径垂直于弦,交于点,连接并延长交于点,若,则的面积为 ( ) 5.如图,在四边形中,,对角线的交点为,则 ( ) 6.设实数满足 则的最大值为 ( ) 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.) 1.【1(A)、2(B)】 已知的顶点、在反比例函数()的图象上,,轴,点在点的上方,且则点的坐标为 .1(B).已知的最大

3、边上的高线和中线恰好把三等分,,则 . 2(A).在四边形中,,平分,为对角线的交点,则 .3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是 . 3(B).若质数、满足:则的最大值为 .4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为,则的最大值为 . 第二试 (3月20日上午9:50 11:20) 一、(本题满分20分)已知为正整数,求能取到的最小正整数值. 二、(本题满

4、分25分)(A).如图,点在以为直径的上,于点,点在上,四边形是正方形,的延长线与交于点.证明:. (B).已知: 求的值.三、(本题满分25分)(A).已知正实数满足: ,且 .(1) 求的值.(2) 证明:.(B).如图,在等腰中,为边上异于中点的点,点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点 求的值. 2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题(本题满分42分,每小题7分) (本题共有6个小题,每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不

5、选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.)1.用表示不超过的最大整数,把称为的小数部分.已知,是的小数部分,是的小数部分,则 ( ) 【答案】. 【解析】 即 又 故选A. 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书30本,那么不同的购书方案有 ( ) 种 种 种 种 【答案】C. 【解析】设购买三种图书的数量分别为则,即,解得 依题意得,为自然数(非负整数),故有种可能的取值(分别为,对于每一个值,和都有唯一的值(自然数)相对应. 即不同的购书方案共有11种,故选C. 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方

6、差,则称这个正整数为“和谐数”.如: 和均为“和谐数”.那么,不超过的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( ) 【答案】B. 【解析】 (其中为非负整数),由得, ,即得所有不超过2016的“和谐数”,它们的和为故选B.3(B).已知二次函数的图象的顶点在第二象限,且过点.当为整数时, ( ) 【答案】B. 【解析】依题意知 故 且,于是 又为整数, 故,故选B.4.已知的半径垂直于弦,交于点,连接并延长交于点,若,则的面积为( ) 【解析】设则于在中, 即解得,即 (第4题答案图) 为的中位线, 是的直径, 故选A. 5.如图,在四边形中,,对角线的交点为,则 ( ) (第5题答案图) 【答

7、案】D. 【解析】过点作于点则 设 则 在中, 则 显然,化简整理得解得(不符合题意,舍去),故在中,,故选D. 6.设实数满足 则的最大值为 ( ) 【答案】C. 【解析】 当且仅当时,取等号,故,故选C. 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.) 1.【1(A)、2(B)】 已知的顶点、在反比例函数()的图象上,,轴,点在点的上方,且则点的坐标为 .【答案】. 【解析】如图,过点作于点.在中, 在中, (第1题答案图) ,设,依题意知故,于是 解得,故点的坐标为.1(B).已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分,,则 .【答案】. 【解析】

8、(第1题答案图1 ) ( 第1题答案图2) 依题意得, 故. (1)若时,如答案图1所示, 又平分 在中,即 从而.在中, 在中,. (2)若时,如答案图2所示.同理可得.综上所述,. 2(A).在四边形中,,平分,为对角线的交点,则 . 【答案】. 【解析】设, 平分, (第2题答案图), 解得,,故.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是 .【答案】.【解析】设两个三位数分别为,则,故是的正整数倍,不妨设(为正整数),代入得是三位数,解得为正整数,的可能取值为验证可知,只有符合,此时 故所求的六

9、位数为. 3(B).若质数、满足:则的最大值为 .【答案】. 【解析】由得,因为质数,故的值随着质数的增大而增大,当且仅当取得最大值时,取得最大值. 又,因为质数,故的可能取值为,但时,不是质数,舍去.当时,恰为质数.故. 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为,则的最大值为 .【答案】 【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定的最大值.(1)若5个1分布在同一列,则;(2)若5个1分布在两列中,则由题意知这两列中出现的最大数至多为3

10、,故,故;(3) 若5个1分布在三列中,则由题意知这三列中出现的最大数至多为3,故,故; (4) 若5个1分布在至少四列中,则其中某一列至少有一个数大于3,这与已知矛盾. 综上所述, 另一方面,如下表的例子说明可以取到10.故的最大值为1114511245222453324533345 第二试 (3月20日上午9:50 11:20) 一、(本题满分20分)已知为正整数,求能取到的最小正整数值.【解析】解:因为正整数,要使得的值为正整数,则有.当时,只能为1,此时故能取到的最小正整数值不超过4.当时,只能为1或2.若;若,则.当时,只能为1或2或3.若;若;若则.(下面考虑:的值能否为1?)(反

11、证法)假设,则,即, 因为正整数,故为奇数,从而为奇数,为偶数,不妨设,其中均为正整数,则 即被除所得余数为3,而被4除所得余数为1,故式不可能成立,故.因此,能取到的最小正整数值为2. 二、(本题满分25分)(A).如图,点在以为直径的上,于点,点在上,四边形是正方形,的延长线与交于点.证明:. (第2(A)题答案图)【证明】:连接、为的直径,于点由四边形是正方形及于点可知:点在上,以点为圆心、为半径作与直线交于另一点,则与切于点,即是的切线,直线是的割线,故由切割线定理得,即点与点重合,点在上,. (注:上述最后一段得证明用了“同一法”)(B).已知: 求的值.【解析】由已知得 由恒等式得

12、, 又 同理可得 原式=【注:恒等式】三、(本题满分25分)(A).已知正实数满足: ,且 .(3) 求的值.(4) 证明:.【解析】(1)解:由等式,去分母得, , ,原式= (2)证明:由(1)得计算过程知,又为正实数,.【注:】(B).如图,在等腰中,为边上异于中点的点,点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点 求的值.(第3(B)题答案图)【解析】如图,连接,则点关于直线的对称点为点,四点共圆,(同弧所对得圆周角相等),四点共圆, (注:若共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆,也可以说成:若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆)

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