1、多边形与平行四边形一.选择题1.（2019湖北省咸宁市3分）若正多边形的内角和是540，则该正多边形的一个外角为（）A45B60C72D90【分析】根据多边形的内角和公式（n2）180求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360，依此可以求出多边形的一个外角【解答】解：正多边形的内角和是540，多边形的边数为540180+25，多边形的外角和都是360，多边形的每个外角360572故选：C【点评】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中2.（2019云南4分）一个十二边形的内角和等于A.2160B.2080C.1980D.1800【
2、解析】多边形内角和公式为，其中为多边形的边的条数.十二边形内角和为，故选D3. （2019甘肃庆阳3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A180B360C540D720【分析】根据多边形内角和公式（n2）180即可求出结果【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（52）180540，故选：C【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式4. （2019广东广州3分）如图，ABCD中，AB2，AD4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（）AEHHGB四边形EFGH是平行四边形CACBDDABO的面积
3、是EFO的面积的2倍【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决【解答】解：E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在ABCD中，AB2，AD4，EHAD2，HGAB1，EHHG，故选项A错误；E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，EH，四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；点E、F分别为OA和OB的中点，EF，EFAB，OEFOAB，即ABO的面积是EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选：B【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数
4、形结合的思想解答3.5. （2019贵州省铜仁市4分）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A360B540C630D720C【解答】解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是6306. （2019贵州省铜仁市4分）如图，D是ABC内一点，BDCD，AD7，BD4，CD3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（）A12B14C24D21A【解答】解：BDCD，BD4，
5、CD3，BC5，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，EHFGBC，EFGHAD，四边形EFGH的周长EH+GH+FG+EFAD+BC，又AD7，四边形EFGH的周长7+5127. （2019海南省3分）如图，在ABCD中，将ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处若B60，AB3，则ADE的周长为（）A12B15C18D21【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC2AB6，AD6，再根据ADE是等边三角形，即可得到ADE的周长为6318【解答】解：由折叠可得，ACDACE90，BAC90，又B60，ACB30，BC2AB6，AD6，由折叠可得，EDB
6、60，DAE60，ADE是等边三角形，ADE的周长为6318，故选：C【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等5.8（2019山东临沂3分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BMDN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）AOMACBMBMOCBDACDAMBCND【分析】由平行四边形的性质可知：OAOC，OBOD，再证明OMON即可证明四边形AMCN是平行四边形【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，O
7、AOC，OBOD对角线BD上的两点M、N满足BMDN，OBBMODDN，即OMON，四边形AMCN是平行四边形，OMAC，MNAC，四边形AMCN是矩形故选：A【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题9（2019山东威海3分）如图，E是ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）AABDDCEBDFCFCAEBBCDDAECCBD【分析】根据平行四边形的性质得到ADBC，ABCD，求得DEBC，ABDCDB，推出BDCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A正确；
8、根据平行线的性质得到DEFCBF，根据全等三角形的性质得到EFBF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质得到AEBCBF，求得CBFBCD，求得CFBF，同理，EFDF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；根据平行线的性质得到DEC+BCEEDB+DBC180，推出BDEBCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D正确【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DEBC，ABDCDB，ABDDCE，DCECDB，BDCE，BCED为平行四边形，故A正确；DEBC，DEFCBF，在DEF与CBF中，DEFCBF（AAS），EFBF，DFCF
9、，四边形BCED为平行四边形，故B正确；AEBC，AEBCBF，AEBBCD，CBFBCD，CFBF，同理，EFDF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；AEBC，DEC+BCEEDB+DBC180，AECCBD，BDEBCE，四边形BCED为平行四边形，故D正确，故选：C【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键10(2019云南4分)一个十二边形的内角和等于( )A2160 B2080 C1980 D1800【考点】多边形的内角和【分析】根据多边形的内角和公式即可求解【解答】解：多边形内角和公式为，其中为多边形的边的
10、条数.十二边形内角和为，故选D【点评】此题主要考查了多边形的内角和公式，多边形内角和等于二.填空题1.（2019四川省达州市3分）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，BEO的周长是8，则BCD的周长为16【分析】根据平行四边形的性质可得BODOBD，进而可得OE是ABC的中位线，由三角形中位线定理得出BC2OE，再根据平行四边形的性质可得ABCD，从而可得BCD的周长BEO的周长2【解答】解：ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BODOBD，BD2OB，O为BD中点，点E是AB的中点，AB2BE，BC2OE，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，CD2BEBEO的周
11、长为8，OB+OE+BE8，BD+BC+CD2OB+2OE+2BE2（OB+OE+BE）16，BCD的周长是16，故答案为16【点评】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义关键是掌握平行四边形的性质：边：平行四边形的对边平行且相等角：平行四边形的对角相等；对角线：平行四边形的对角线互相平分2.（2019四川省广安市3分）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则AFE72度【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可【解答】解：五边形ABCDE是正五边形，EABABC，BABC，BACBCA36，同理ABE36
12、，AFEABF+BAF36+3672故答案为：72【点评】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键3.（2019云南3分）在平行四边形ABCD中，A30，AD43，BD4，则平行四边形ABCD的面积等于.【解析】过点D作DEAB于E，A=30，DE=ADsin30=，AE=ADcos30=4，在RtDBE中，BE=，AB=AE+BE=6，或AB=AE-BE=2，平行四边形ABCD的面积为或，故答案为或4. （2019广西北部湾3分） 如图，AB与CD相交于点O，AB=CD，AOC=600，ACD+ABD=2100，则线段AB、AC、BD之间的
13、数量关系式为 【答案】AB2=AC2+BD2【解析】解：过点A作AECD，截取AE=CD，连接BE、DE，如图所示：则四边形ACDE是平行四边形，DE=AC，ACD=AED，AOC=60，AB=CD，EAB=60，CD=AE=AB，ABE为等边三角形，BE=AB，ACD+ABD=210，AED+ABD=210，BDE=360-（AED+ABD）-EAB=360-210-60=90，BE2=DE2+BD2，AB2=AC2+BD2；故答案为：AB2=AC2+BD2过点A作AECD，截取AE=CD，连接BE、DE，则四边形ACDE是平行四边形，得出DE=AC，ACD=AED，证明ABE为等边三角形得
14、出BE=AB，求得BDE=360-（AED+ABD）-EAB=90，由勾股定理得出BE2=DE2+BD2，即可得出结果本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质、通过作辅助线构建等边三角形与直角三角形是解题的关键5(2019湖南益阳4分)若一个多边形的内角和与外角和之和是900，则该多边形的边数是 【考点】多边形内角和与外角和【分析】本题需先根据已知条件以及多边形的外角和是360，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数【解答】解：多边形的内角和与外角和的总和为900，多边形的外角和是360，多
15、边形的内角和是900360540，多边形的边数是：540180+23+25故答案为：5【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可6(2019云南3分)在平行四边形ABCD中，A30，AD，BD4，则平行四边形ABCD的面积等于 【考点】平行四边形【分析】本题无图形，需分类讨论过点D作ABCD的高DE，分高DE在平行四边形的内部和外部两种情况，再根据勾股定理及平行四边形的面积公式即可求解【解答】解：过点D作DEAB于E，A=30，DE=ADsin30=，AE=ADcos30=6，在RtDBE中，BE=(1)如图(1)，当DE在ABCD内
16、部时，AB=AE+BE=6+2=8，SABCD=8=；(2)如图(2)，当DE在ABCD外部时，AB=AEBE=62=4，SABCD=4=故答案为或【点评】此题主要考查了求平行四边形的面积，由于几何题没有图形，无图则考虑要分类讨论三.解答题1.（2019四川省广安市6分）如图，点E是ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，CF3，CE2，求ABCD的周长【分析】先证明ADEFCE，得到ADCF3，DECE2，从而可求平行四边形的面积【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAEF，DECF又EDEC，ADEFCE（AAS）ADCF3，DECE2DC4平行四边形ABCD的周
17、长为2（AD+DC）14【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是借助全等转化线段2. （2019贵州贵阳10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DEAD，连接BD（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）若DADB2，cosA，求点B到点E的距离【分析】（1）根据平行四边形的性质得到ADBC，ADBC，等量代换得到DEBC，DEBC，于是得到四边形BCED是平行四边形；（2）连接BE，根据已知条件得到ADBDDE2，根据直角三角形的判定定理得到ABE90，AE4，解直角三角形即可得到结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
18、ADBC，ADBC，DEAD，DEBC，DEBC，四边形BCED是平行四边形；（2）解：连接BE，DADB2，DEAD，ADBDDE2，ABE90，AE4，cosA，AB1，BE【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得ABE90是解题的关键3（2019山东青岛8分）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EGAE，连接CG（1）求证：ABECDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由【分析】（1）由平行四边形的性质得出ABCD，ABCD，OBOD，OAOC，由
19、平行线的性质得出ABECDF，证出BEDF，由SAS证明ABECDF即可；（2）证出ABOA，由等腰三角形的性质得出AGOB，OEG90，同理：CFOD，得出EGCF，由三角形中位线定理得出OECG，EFCG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，OBOD，OAOC，ABECDF，点E，F分别为OB，OD的中点，BEOB，DFOD，BEDF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）；（2）解：当AC2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：AC2OA，AC2AB，ABOA，E是OB的中点，AGOB，OEG90，同理：C
20、FOD，AGCF，EGCF，EGAE，OAOC，OE是ACG的中位线，OECG，EFCG，四边形EGCF是平行四边形，OEG90，四边形EGCF是矩形【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型4（2019山东青岛8分）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EGAE，连接CG（1）求证：ABECDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由【分析】（1）由平行四边形的性质得出ABCD，ABCD，OBOD
21、，OAOC，由平行线的性质得出ABECDF，证出BEDF，由SAS证明ABECDF即可；（2）证出ABOA，由等腰三角形的性质得出AGOB，OEG90，同理：CFOD，得出EGCF，由三角形中位线定理得出OECG，EFCG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，OBOD，OAOC，ABECDF，点E，F分别为OB，OD的中点，BEOB，DFOD，BEDF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）；（2）解：当AC2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：AC2OA，AC2AB，ABOA，E是OB的中点，AGOB，OEG
22、90，同理：CFOD，AGCF，EGCF，EGAE，OAOC，OE是ACG的中位线，OECG，EFCG，四边形EGCF是平行四边形，OEG90，四边形EGCF是矩形【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型5. (2019湖北荆门)（9分）如图，已知平行四边形ABCD中，AB5，BC3，AC2（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求证：BDBC【分析】（1）作CEAB交AB的延长线于点E，设BEx，由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；（2）利用全等
23、三角形的判定与性质得出AFBE，BF5，DFCE，从而求出BD的长，在BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直【解答】解：（1）作CEAB交AB的延长线于点E，如图：设BEx，CEh在RtCEB中：x2+h29在RtCEA中：（5+x）2+h252联立解得：x，h平行四边形ABCD的面积ABh12；（2）作DFAB，垂足为FDFACEB90平行四边形ABCDADBC，ADBCDAFCBE又DFACEB90，ADBCADFBCE（AAS）AFBE，BF5，DFCE在RtDFB中：BD2DF2+BF2（）2+（）216BD4BC3，DC5CD2DB2+BC2BDBC【点评】本题主要考查了平行
24、四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强6. (2019湖北仙桃)（8分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BECF，过点E作EGBF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF求证：（1）AEBF；（2）四边形BEGF是平行四边形【分析】（1）由SAS证明ABEBCF得出AEBF，BAECBF，由平行线的性质得出CBFCEG，证出AEEG，即可得出结论；（2）延长AB至点P，使BPBE，连接EP，则APCE，EBP90，证明APEECG得出AEEG，证出EGBF，即可得出结论【解答】证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABBC，ABCB
25、CD90，ABEBCF90，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），AEBF，BAECBF，EGBF，CBFCEG，BAE+BEA90，CEG+BEA90，AEEG，AEBF；（2）延长AB至点P，使BPBE，连接EP，如图所示：则APCE，EBP90，P45，CG为正方形ABCD外角的平分线，ECG45，PECG，由（1）得BAECEG，在APE和ECG中，APEECG（ASA），AEEG，AEBF，EGBF，EGBF，四边形BEGF是平行四边形【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键7
26、(2019湖北咸宁市)（10分）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形理解：（1）如图1，点A，B，C在O上，ABC的平分线交O于点D，连接AD，CD求证：四边形ABCD是等补四边形；探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD中，ABAD，连接AC，AC是否平分BCD？请说明理由运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD中，ABAD，其外角EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD10，AF5，求DF的长【分析】（1）由圆内接四边形互补可知A+C180，ABC+ADC180，再证ADCD，即可根据等补四边形的定义得出结论；（2）过点A分别作AEBC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，证
27、ABEADF，得到AEAF，根据角平分线的判定可得出结论；（3）连接AC，先证EADBCD，推出FCAFAD，再证ACFDAF，利用相似三角形对应边的比相等可求出DF的长【解答】解：（1）证明：四边形ABCD为圆内接四边形，A+C180，ABC+ADC180，BD平分ABC，ABDCBD，ADCD，四边形ABCD是等补四边形；（2）AD平分BCD，理由如下：如图2，过点A分别作AEBC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，则AEBAFD90，四边形ABCD是等补四边形，B+ADC180，又ADC+ADF180，BADF，ABAD，ABEADF（AAS），AEAF，AC是BCF的平分线，即AC平分BCD；（3）如图3，连接AC，四边形ABCD是等补四边形，BAD+BCD180，又BAD+EAD180，EADBCD，AF平分EAD，FADEAD，由（2）知，AC平分BCD，FCABCD，FCAFAD，又AFCDFA，ACFDAF，即，DF55【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等
