1、2019北京市12区高三一模 数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（朝阳区2019届高三一模）双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是 2、（东城区2019届高三一模）已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点.若点是的中点，则线段的长为 (A) (B) (C) (D)3、（丰台区2019届高三一模）已知为椭圆和双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆和双曲线的离心率之积为（A）（B）（C）（D）4、（海淀区2019届高三一模）椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为(A) ， (B) ， (C) ， (D) ，5、（怀柔区2019届高三
2、一模）已知抛物线的准线方程为，则_6、（门头沟区2019届高三一模）双曲线的渐近线方程是 . 7、（石景山区2019届高三一模）13.过双曲线的一个焦点作其渐近线的平行线，直线与y轴交于点P，若线段OP的中点为双曲线的虚轴端点（O为坐标原点），则双曲线的离心率为_8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模）设双曲线经过点（4,0），且与双曲线具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 .9、（西城区2019届高三一模）设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为_ 10、（平谷区2019届高三一模）设双曲线C 经过点（4，3），且与具有相同渐近线，则C 的方程
3、为_；离心率为_.数学试题答案1、12、C3、B4、C5、26、7、28、 ，.9、310、依题意，设双曲线C 的方程为：，经过点（4,3），所以，解得：k3，所以，C的方程为：，离心率为：二、解答题1、（朝阳区2019届高三一模）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点（）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；（）求证：直线与椭圆相切；（）判断是否为定值，并说明理由2、（东城区2019届高三一模）已知椭圆与轴交于两点，与轴的一个交点为，的面积为2.（）求椭圆的方程及离心率；（）在轴右侧且平行于轴的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线交于点.以原点为圆心，以为半径的圆与轴交于两点（点
4、在点的左侧），求的值.3、（丰台区2019届高三一模）已知抛物线过点，是抛物线上不同两点，且（其中是坐标原点），直线与交于点，线段的中点为.（）求抛物线的准线方程；（）求证：直线与轴平行.4、（海淀区2019届高三一模）已知抛物线，其中点在的焦点的右侧，且M到的准线的距离是与距离的3倍经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线OA与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点. (I)求抛物线的方程和的坐标；()判断直线与直线的位置关系，并说明理由5、（怀柔区2019届高三一模）已知椭圆的右焦点为，点满足.（）求椭圆的方程；（）过点作直线交椭圆于两点，若与的面积之比为，求直线的方程. 6、（门头
5、沟区2019届高三一模）如图， 已知椭圆,分别为其左、右焦点，过的直线与此椭圆相交于两点，且的周长为,椭圆的离心率为. ()求椭圆C的方程；（）在平面直角坐标系中，已知点与点，过P的动直线（不与轴平行）与椭圆相交于两点，点是点关于轴的对称点.求证：（）三点共线.（）.7、（石景山区2019届高三一模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，右顶点在直线:上（）求椭圆的方程；（）设点是椭圆上异于，的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模）已知为抛物线上两点， 的纵坐标之和为4，为坐标原点.（I）求直线的斜率；（II）
6、若点满足，求此时直线的方程.9、（西城区2019届高三一模）已知椭圆: 的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.（）当，且直线轴时， 求四边形的面积； （）设，直线与直线相交于点，求证：三点共线.10、（延庆区2019届高三一模）已知椭圆G:，左、右焦点分别为、，若点在椭圆上.（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆交于两个不同的点，直线， 与轴分别交于，两点，求证：11、（房山区2019届高三一模）已知椭圆的离心率为左顶点为，右焦点为，且（）求椭圆的方程；（） 过点做互相垂直的两条直线，分别交直线于两点，直线分别交椭圆于两点，求证：三点共线.数学试题答
7、案1、解：（）由题意， 所以离心率，左焦点.4分（）当时直线方程为或，直线与椭圆相切当时，由得，由题知，即，所以 =故直线与椭圆相切.8分（）设，当时， 所以，即当时，由 得，则，因为 所以，即故为定值 .14分2、解：（）因为由椭圆方程知：，所以所以椭圆的方程为. 由，得，所以椭圆的离心率为. .5分（）设点,不妨设 设，由得即又，得， 化简得 因为，所以，即 所以点的轨迹为双曲线的右支，两点恰为其焦点，为双曲线的顶点，且，所以. .13分3、解：（）由题意得 ，解得所以抛物线C的准线方程为 （）设， 由得，则，所以所以线段中点的为纵坐标 直线AO方程为直线BM方程为联立解得 ，即点的为纵坐
8、标如果直线BM斜率不存在，结论也显然成立所以直线与轴平行 4、解：()抛物线的准线方程为，焦点坐标为 所以有，解得 所以抛物线方程为，焦点坐标为 ()直线 方法一：设，设直线的方程为 联立方程 消元得， 所以， 显然，直线的方程为 令，则，则 因为 ，所以 直线的方程为，令，则，则 当时，直线 的斜率不存在，可知 ，直线的斜率不存在，则 当时，则综上所述， 方法二：直线 (1) 若直线的斜率不存在，根据对称性，不妨设， 直线的方程为，则 直线的方程为，即， 令，则，则直线 的斜率不存在，因此 (2) 设，当直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程， 消元得， 整理得， 由韦达定理，可得， ，
9、因为，可得.显然，直线的方程为令，则，则 因为 ，所以 直线的方程为，令，则，则 ，则 综上所述， 5、解 （） 椭圆的右焦点为，点满足，则，解得. 由公式，得 所以 所以椭圆的方程为-5分 （）直线l的斜率不存在时，,不符合题意；设直线l的方程为y=k(x-1),由 得，（3+4）设M( 由，得， 即. 可得，即 由 得，代入 得，解得，所以，所求直线的方程为. -13分 6、解：（）由题意知：（）（）当直线的斜率不存在时，满足题意.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.联立得.8分所以，三点共线。（）由（）可知，7、解：（）依题可知， 因为 ，所以 故椭圆的方程为 （）
10、以为直径的圆与直线相切 证明如下：由题意可设直线的方程为则点坐标为，中点的坐标为， 由得 设点的坐标为，则所以， 因为点坐标为， 当时，点的坐标为，直线的方程为，点的坐标 为此时以为直径的圆与直线相切 当时，直线的斜率所以直线的方程为,即 故点到直线的距离 （或直线的方程为,故点到直线的距离）又因为 ，故以为直径的圆与直线相切综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切 解法二:（）以为直径的圆与直线相切 证明如下: 设点,则 当时,点的坐标为，直线的方程为， 点的坐标为， 此时以为直径的圆与直线相切， 当时直线的方程为， 点D的坐标为,中点的坐标为,故 直线的斜率为, 故直线的方程为,即, 所
11、以点到直线的距离 故以为直径的圆与直线相切综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切 8、 解：（I）设，则依题意可知：相减可得：即又，所以，即直线的斜率为1. -4分（II）由（I）知直线的斜率为1，所以可设直线的方程为讨论：当（1）在轴异侧时，由知，-6分又所以即 -7分又，所以化简得（1） -8分联立方程组消去得所以，-12分代入（1）式可得所以直线的方程为-13分（2）当在轴同侧时，由知即直线MN过点B，所以此时直线方程为，经验证，此时直线与抛物线无交点，故舍去 -14分综上可知：直线的方程为.9、解：（）由题意，得， 解得. 2分所以椭圆方程为. 3分当，及直线轴时，易得,. 且,.
12、所以，显然此时四边形为菱形，所以四边形的面积为. 5分（）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为， 代入椭圆的方程，得， 易得的方程为. 则, 所以，即三点共线. 7分 当直线的斜率存在时，设的方程为， 联立方程 消去y，得. 9分 由题意，得恒成立，故，. 10分 直线的方程为. 令，得. 11分 又因为， 则直线，的斜率分别为， 12分 所以. 上式中的分子 ， 所以. 所以三点共线. 14分10、解：（）在椭圆上 由 解得 3分所以，椭圆的标准方程为 4分 ()由得5分 因为直线与椭圆有两个交点，并注意到直线不过点， 所以解得或6分设，则，,8分，10分显然直线与的斜率存在，设直线与的斜率分别为，由（）可知则 11分因为，所以 13分 所以 14分11、（）设椭圆的半焦距为, 依题意：,解得： 所以 所以椭圆的方程是 4分（）证明：由题意可知，直线,的斜率均存在且不为0，设,的斜率分别为, 则 5分 则直线的方程为 则点坐标为, 设直线的方程为 由 得：因为是方程的根，所以, 同理可得 8分当，即时，可得 又的坐标为 所以 三点共线； 9分当，即， 时 所以 所以 三点共线 13分
