1、人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题1、如图，ABAC，BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D，过点D作DEAB于点E，DFAC于点F，求证：BE=CF2、如图，ABC中，ACB=90，AC=BC，将ABC绕点C逆时针旋转角（090）得到A1B1C1，连接BB1设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（ABC与A1B1C1全等除外）；（2）当BB1D是等腰三角形时，求3、如图，在ABC中，BAC=120，AD，BE分别为ABC的角平分线，连结DE（1）求证：点E到DA，DC的距离
2、相等；（2）求DEB的度数4、在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线，MN经过点C，且ADMN于点D，BEMN于点E（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=ADBE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明5、概念学习：规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果
3、分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”理解概念（1）如图1，在RtABC中，ACB90，CDAB，请写出图中两对“等角三角形”概念应用（2）如图2，在ABC中，CD为角平分线，A40，B60求证：CD为ABC的等角分割线（3）在ABC中，A42，CD是ABC的等角分割线，直接写出ACB的度数6、如图,ABC=BAD=90，点E，F分别是AC，BC的中点。(1)求证：EAF=EBF；(2)试判断直线EF与AB的位置关系，并说明理由。7、【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC中，若AB=12
4、，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围。小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到ADCEDB，依据是_.A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是_.解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。【初步运用】如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.若EF=3，EC=2，求线段BF的长。【灵活运用】如图3,在ABC中,A=90，D为BC中点，DEDF
5、，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论。8、在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，连接CE（1）如图1，当点D在线段BC上，如果BAC=90，则BCE= （2）设BAC=，BCE=如图2，当点D在线段BC上移动，则、之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，则、之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论 图1 图29、如图，已知长方形ABCD中，AD6cm，AB4cm，点E为AD的中点若点P在线段AB上以1cm
6、/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动 (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，AEP与BPQ是否全等，请说明理由，并直接写出此时线段PE和线段PQ的位置关系； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使AEP与BPQ全等？10、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AEBE），且EOF=90，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN（1）求证：OM=ON
7、（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长11、如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD12、如图，ABC中，AB=AC，BAC=90，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BECD于E，交直线AC于F（1）点D在边AB上时，证明：AB=FA+BD；（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请画出图形并直接写出正确结论13、在ABC中，CB，AE平分BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FDBC于D；（1）如果点F与点
8、A重合，且C=50，B=30，如图1，求EFD的度数；（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问EFD与CB有怎样的数量关系？并说明理由（3）如果点F在ABC外部，如图3，此时EFD与CB的数量关系是否会发生变化？请说明理由14、如图,在ABC中,AB=AC,BAC=90,点P是BC上的一动点,AP=AQ,PAQ=90,连接CQ.(1)求证:CQBC.(2)ACQ能否是直角三角形?若能,请直接写出此时点P的位置;若不能,请说明理由.(3)当点P在BC上什么位置时,ACQ是等腰三角形?请说明理由.15、如图，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且ACBC，EFP的边FP也在直线l上，
9、边EF与边AC重合，且EFFP.(1)在图中，请你通过观察、测量、猜想，写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2)将EFP沿直线l向左平移到图的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将EFP沿直线l向左平移到图的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系与位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由参考答案1、如图，ABAC，BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D，过点D作DEAB于点E，DFAC于点F，求证：BE=CF【解答】证明：连结B
10、D，CDAD平分BAC，DEAB，DFAC，AED=BED=AFD=90，DE=DFDG垂直平分BC，DB=DC在RtDEB和RtDFC中，RtDEBRtDFC（HL），BE=CF；2、如图，ABC中，ACB=90，AC=BC，将ABC绕点C逆时针旋转角（090）得到A1B1C1，连接BB1设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（ABC与A1B1C1全等除外）；（2）当BB1D是等腰三角形时，求解：（1）全等的三角形有：CBDCA1F或AEFB1ED或ACDB1CF；证明：ACB1+A1CF=ACB1+
11、BCD=90A1CF=BCDA1C=BCA1=CBD=45CBDCA1F；CF=CD，CA=CB1，AF=B1D，A=EB1D，AEF=B1ED，AEFB1ED，AC=B1C，ACD=B1CF，A=CB1F，ACDB1CF（2）在CBB1中CB=CB1CBB1=CB1B=（180）又ABC是等腰直角三角形ABC=45若B1B=B1D，则B1DB=B1BDB1DB=45+B1BD=CBB145=（180）45=45，45+=45，=0（舍去）；BB1C=B1BCB1BD，BDB1D，即BDB1D；若BB1=BD，则BDB1=BB1D，即45+=（180），=30由可知，当BB1D为等腰三角形时，
12、=30；3、如图，在ABC中，BAC=120，AD，BE分别为ABC的角平分线，连结DE（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；（2）求DEB的度数【解答】（1）证明：过E作EHAB于H，EFBC于F，EGAD于G，AD平分BAC，BAC=120，BAD=CAD=60，CAH=180120=60，AE平分HAD，EH=EG，BE平分ABC，EHAB，EFBC，EH=EF，EF=EG，点E到DA、DC的距离相等；（2）解：由（1）知：DE平分ADC，EDC=DEB+DBE，=DEB+ABC，DEB=（CDAABC）=BAD=304、在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD
13、MN于点D，BEMN于点E（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=ADBE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明【解答】（1）证明：ADMN，BEMN，ADC=CEB=90，DAC+ACD=90，ACB=90，BCE+ACD=90，DAC=BCE，在ADC和CEB，ADCCEB（AAS），CD=BE，AD=CE，DE=CE+CD=AD+BE；（2）证明：与（1）一样可证明ADCCEB，CD=BE，AD=CE，DE=CECD=
14、ADBE；（3）解：DE=BEAD5、概念学习：规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”理解概念（1）如图1，在RtABC中，ACB90，CDAB，请写出图中两对“等角三角形”概念应用（2）如图2，在ABC中，CD为角平分线，A40，B60求证：CD为ABC的等角分割线（3）在ABC中，A42，CD是ABC的等角
15、分割线，直接写出ACB的度数【解答】解：（1）ABC与ACD，ABC与BCD，ACD与BCD是“等角三角形”；（2）在ABC中，A40，B60ACB180AB80CD为角平分线，ACDDCBACB40，ACDA，DCBA，CDDA，在DBC中，DCB40，B60，BDC180DCBB80，BDCACB，CDDA，BDCACB，DCBA，BB，CD为ABC的等角分割线；（3）当ACD是等腰三角形，DADC时，ACDA42，ACBBDC42+4284，当ACD是等腰三角形，DAAC时，ACDADC69，BCDA42，ACB69+42111，当BCD是等腰三角形，DCBD时，ACDBCDB46，AC
16、B92，当BCD是等腰三角形，DBBC时，BDCBCD，设BDCBCDx，则B1802x，则ACDB1802x，由题意得，1802x+42x，解得，x74，ACD1802x32，ACB106，ACB的度数为111或84或106或926、如图,ABC=BAD=90，点E，F分别是AC，BC的中点。(1)求证：EAF=EBF；(2)试判断直线EF与AB的位置关系，并说明理由。(1)证明：如图，取AB的中点M，连接EM、FM；点E，F分别是AC，BC的中点，EMBC,FMAD；ABC=BAD=90，EMAB，FMAB，EM、FM重合，即E. F.M三点共线；EMAB，且平分AB，EA=EB，FA=F
17、B，EAB=EBA，FAB=FBA，EAF=EBF.(2)证明：E、F.M三点共线，且FMAB，EFAB.7、【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围。小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到ADCEDB，依据是_.A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是_.解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三
18、角形中。【初步运用】如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.若EF=3，EC=2，求线段BF的长。【灵活运用】如图3,在ABC中,A=90，D为BC中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论。解：(1)在ADC和EDB中,ADCEDB(SAS)，故选：B；(2)ABBEAEAB+BE，2AD10，故答案为：2AD10；【初步运用】延长AD到M，使AD=DM，连接BM，AE=EF.EF=3，AC=5，AD是ABC中线，CD=BD，在ADC和MDB中,BM=AC，CAD=M，AE=EF，C
19、AD=AFE，AFE=BFD，BFD=CAD=M，BF=BM=AC，即BF=5；【灵活运用】线段BE、CF、EF之间的等量关系为：证明：如图3，延长ED到点G，使DG=ED，连结GF，GC，EDDF，EF=GF，D是BC的中点，BD=CD，在BDE和CDG中，DBEDCG(SAS)，BE=CG，A=90，B+ACB=90，DBEDCG，EF=GF，BE=CG，B=GCD，GCD+ACB=90,即GCF=90，8、在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，连接CE（1）如图1，当点D在线段BC上，如果BAC=9
20、0，则BCE= （2）设BAC=，BCE=如图2，当点D在线段BC上移动，则、之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，则、之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论 图1 图2解答：（1）90（2）+=180，理由：BAC=DAE，BACDAC=DAEDAC即BAD=CAE在ABD与ACE中，AB=AC.BAD=CAE,AD=AEABDACE（SAS）B=ACEB+ACB=ACE+ACBB+ACB=，+B+ACB=180，+=180；当点D在射线BC上时，+=180，当点D在射线BC的反向延长线上时，= 9、如图，已知长方形ABCD中，AD6cm，AB4cm，点E为
21、AD的中点若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动 (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，AEP与BPQ是否全等，请说明理由，并直接写出此时线段PE和线段PQ的位置关系； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使AEP与BPQ全等？解：（1）全等。理由：当t=1时，AP=1，BQ=1，AP=BQE是AD的中点，AE=PB=AB=AP=41=3，AE=PB在RtEAP和RtPBQ中
22、，EAPRtPBQ（SAS）此时.（2）如图1所示连接QE 图1当t4时，AP=BQ=t，S梯形AEQB=2t+6=，=2tS=2t+6（）整理得：S=，如图2所示：当4t6时，点P与点B重合，S=2tS与t的函数关系式为S=；（3）如图3所示：AEPBQP，PABQ，AP=PB=2，AE=BQ=3t=AP=点Q运动的速度为=32=1.5cm/秒时，AEPBQP；10、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AEBE），且EOF=90，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN（1）求证：OM=ON（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点
23、，求MN的长解：（1）四边形ABCD是正方形，OA=OB，DAO=45，OBA=45，OAM=OBN=135，EOF=90，AOB=90，AOM=BON，OAMOBN（ASA），OM=ON；（2）如图，过点O作OHAD于点H，正方形的边长为4，OH=HA=2，E为OM的中点，HM=4，则OM=2，MN=OM=211、如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD【解答】证明：（1）ADBC（已知），ADC=ECF（两直线平行，内错角相等），E是CD的中点（已知），DE=EC（中点的定义）在
24、ADE与FCE中，ADEFCE（ASA），FC=AD（全等三角形的性质）（2）ADEFCE，AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），BE是线段AF的垂直平分线，AB=BF=BC+CF，AD=CF（已证），AB=BC+AD（等量代换）12、如图，ABC中，AB=AC，BAC=90，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BECD于E，交直线AC于F（1）点D在边AB上时，证明：AB=FA+BD；（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请画出图形并直接写出正确结论（1）证明：如图1，BECD，即BEC=90，BAC=90，F+FBA=90，F+FC
25、E=90FBA=FCEFAB=180DAC=90，FAB=DACAB=AC，FABDAC，FA=DAAB=AD+BD=FA+BD（2）如图2，当D在AB延长线上时，AF=AB+BD，理由是：同理得：FABDAC，AF=AD=AB+BD；如图3，当D在AB反向延长线上时，BD=AB+AF，理由是：同理得：FABDAC，AF=AD，BD=AB+AD=AB+AF13、在ABC中，CB，AE平分BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FDBC于D；（1）如果点F与点A重合，且C=50，B=30，如图1，求EFD的度数；（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问EFD与CB有怎样的数量
26、关系？并说明理由（3）如果点F在ABC外部，如图3，此时EFD与CB的数量关系是否会发生变化？请说明理由【解答】（1）解：C=50，B=30，BAC=1805030=100AE平分BAC，CAE=50在ACE中AEC=80，在RtADE中EFD=9080=10（2）EFD=（CB）证明：AE平分BAC，BAE=90（C+B）AEC为ABE的外角，AEC=B+90（C+B）=90+（BC）FDBC，FDE=90EFD=9090（BC）EFD=（CB）（3）EFD=（CB）如图，AE平分BAC，BAE=DEF为ABE的外角，DEF=B+=90+（BC），FDBC，FDE=90EFD=9090（BC
27、）EFD=（CB）14、如图,在ABC中,AB=AC,BAC=90,点P是BC上的一动点,AP=AQ,PAQ=90,连接CQ.(1)求证:CQBC.(2)ACQ能否是直角三角形?若能,请直接写出此时点P的位置;若不能,请说明理由.(3)当点P在BC上什么位置时,ACQ是等腰三角形?请说明理由.解:(1)BAP+CAP=BAC=90,CAQ+CAP=PAQ=90,BAP=CAQ,在ABP和ACQ中,AB=AC,BAP=CAQ,AP=AQ,ABPACQ(SAS),ACQ=B,AB=AC,BAC=90,B=ACB=45,BCQ=ACB+ACQ=45+45=90,CQBC.(2)当点P为BC的中点或与
28、点C重合时,ACQ是直角三角形.(3)当BP=AB时,ABP是等腰三角形;当AB=AP时,点P与点C重合;当AP=BP时,点P为BC的中点.ABPACQ,当点P为BC的中点或与点C重合或BP=AB时,ACQ是等腰三角形.15、如图，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且ACBC，EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP.(1)在图中，请你通过观察、测量、猜想，写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2)将EFP沿直线l向左平移到图的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将EFP沿直线l向左平移到图的
29、位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系与位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由解：(1)ABAP，ABAP(2)BQAP，BQAP.证明：由已知得EFFP，EFFP，EPF45.ACBC，CQPCPQ45，CQCP，由SAS可证BCQACP，BQAP.如图，延长BQ交AP于点M，BCQACP，12.在RtBCQ中，1390，又34，241390，QMA90，BQAP(3)成立证明：EPF45，CPQ45.又ACBC，CQPCPQ45，CQCP.由SAS可证BCQACP，BQAP.延长QB交AP于点N，则PBNCBQ.BCQACP，BQCAPC.在RtBCQ中，BQCCBQ90，APCPBN90，PNB90，BQAP
