1、数学试题（第 1 页 共 11 页） 2020 年福州市高中毕业班质量检测 数学（理科）参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算
2、每小题 5 分，满分 60 分 1A 2D 3C 4A 5B 6D 7A 8A 9D 10C 11B 12C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分 13 1 3 14 2 3 152,3 16 3 2 4 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17 【命题意图】本小题考查等差数列、等比数列等基础知识；考查运算求解能力、 推理论证能力； 考查化归转化思想； 考查数学运算、 逻辑推理等学科素养； 体现基础性 满 分 12 分 【解答】 （1）由 11 2 nn aaT ，得 211 2aab， 又
3、 1 2a ， 1 1b ，解得 2 4a . 1 分 因为数列 n a为等差数列，所以该数列的公差为 21 aa2， 2 分 所以 2 1 22 2 n n n Snnn 4 分 （2）当2n时， 11 2 nn aaT ， 因为 1nnn TTb ，所以 1 2 nnn aab ，即 1 2 nnn aab ， 5 分 数学试题（第 2 页 共 11 页） 同理可得： 1 2 nnn bba 6 分 则 11 3() nnnn abab ，所以 11 3 nn nn ab ab （2n） ， 7 分 又 211211 24,25aabbba， 所以 22 11 45 3 3 ab ab ，
4、 所以 11 3 nn nn ab ab （ * nN） ， 8 分 所以数列 nn ab是以 3 为首项，3 为公比的等比数列. 9 分 因为 11 () nnnn abab ，所以 11 1 nn nn ab ab （2n） ， 10 分 又 22 11 45 1 21 ab ab ，所以 11 1 nn nn ab ab （ * nN） ， 11 分 所以数列 nn ab是以1为首项，1为公比的等比数列 12 分 18 【命题意图】本小题考查直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行、平面 与平面平行的判定与性质，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算 求解能力； 考查化
5、归与转化思想、 函数与方程思想； 考查直观想象、 逻辑推理等核心素养， 体现基础性、综合性满分 12 分 【解析】解法一： （1）因为ABAD，平面ABCD 平面PAD， 平面ABCD平面PADAD，AB平面ABCD， 所以AB 平面PAD. 1 分 作AHAD交PD于H，则,AB AD AH三条直线两两垂 直 以A为坐标原点O， 分别以AHADAB，所在直线为, ,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 2 分 因为120PAD，1BC ，2ABADPA 所以 0,0,0 ,0,0,2 ,0,1,2 ,0,2,0 ,3, 1,0ABCDP， 3 分 设平面PBC的法向量为, ,x y
6、zn，因为 0,1,0 ,3, 1, 2BCBP ， 所以 0, 0, BC BP n n 所以 0, 320, y xyz 令2x ，所以 2,0, 3n， 4 分 ( )A O BC P x Dy z H 数学试题（第 3 页 共 11 页） 由z轴平面PAD知0,0,1m为平面PAD的一个法向量, 5 分 所以 33 cos, 717 n m n m nm ， 6 分 所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为 2 7 7 7 分 （2）因为E是棱PB的中点，由（1）可得 31 ,1 22 E . 假设棱CD上存在点F，使得EFPD， 8 分 设DFDC，01 ， 所以 3 53 5 ,
7、 10, 1,2, 12 2222 EFEDDF ， 9 分 因为EFPD，所以 3,3,0EFtPDt， 10 分 所以 3 3 , 2 5 3 , 2 120, t t 这个方程组无解， 11 分 所以假设不成立，所以对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行. 12 分 解法二： （1）如图，在平面PAD内，过点P作DA的垂线，垂足为M；在平面ABCD 内，过M作AD的垂线，交CB的延长线于点N连接PN 因为MNPMM，所以AD 平面PMN 1 分 因为ADBC，BC 平面PBC，AD 平面PBC， 所以AD平面PBC， 2 分 设平面PBC平面PADl，则ADl，故l 平面PMN 3
8、分 所以NPM为平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角 4 分 因为120PAD，2ABADPA，所以60MAP， 在RtPAM中，2sin603PM 5 分 又2MNAB，所以在RtPMN 中， 22 7PNPMMN 6 分 ( )A O BC P x Dy z H E F A BC D P N M 数学试题（第 4 页 共 11 页） 所以 22 7 sin 77 MN MPN PN ， 所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为 2 7 7 7 分 （2）假设棱CD上存在点F，使得EFPD，显然F与点D 不同， 8 分 所以, , ,P E F D四点共面， 记该平面为， 所以P，PE
9、， FD， 9 分 又BPE，CFD，所以B，C， 所以就是点, ,B C D确定的平面， 10 分 这与PABCD为四棱锥相矛盾，所以假设不成立， 所以对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行. 12 分 解法三： （1）同解法一 7 分 （2）假设棱CD上存在点F，使得EFPD 8 分 连接BD，取BD的中点M， 在BPD中，因为,E M分别为,BP BD的中点， 所以EMPD. 9 分 因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以 EM与EF重合. 10 分 又点F在线段CD上，所以FBDCD，又BDCDD， 所以F是BD与CD的交点D，即EF就是ED， 11 分 而ED与PD
10、相交，所以与EFPD相矛盾，所以假设不成立， 所以对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行 12 分 19 【命题意图】本题考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查 运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、数学运算等核心素 养，体现基础性、综合性满分 12 分 【解析】解法一： （1）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 由 2 2, 4 xmy yx ，消去x得， 2 480ymy ， 1 分 2 16320,m 且 1212 4 ,8yym y y . 2 分 A BC P C E F A BC P C E F M 数学试题（第 5 页
11、 共 11 页） 所以 2 1212 ()444.xxm yym 因为M为AB的中点， 所以M的坐标为 1212 (,) 22 xxyy ，即 2 (22,2 )mm, 3 分 又因为0m ，所以 22 2111 1 22121 2 OM mm k mm m m m m , 5 分 （当且仅当 1 m m ，即1m 等号成立.） 所以OM的斜率的最大值为 1 2 6 分 （2）由（1）知， 2 12 1|ABmyy 22 1212 1()4myyy y 22 11632mm 22 4 12mm， 8 分 由PMAB得 2222 |1() |22( 2)| 2(2) 1PMmmmm ， 9 分
12、因为PAB为等边三角形，所以 3 | 2 PMAB， 10 分 所以 2222 2(2) 12 312mmmm， 所以 2 23m ，所以 2 1m ，解得1,m 又0m，所以1m ， 11 分 则(4,2)M，直线MP的方程为2(4)yx ，即6yx ， 所以2x 时，8y ， 所以所求的点P的坐标为( 2,8) 12 分 解法二： （1）设 112200 ( ,), (,),(,)A x yB xyM xy， 因为M为AB的中点，且直线:2(0)l xmym， 所以 012 2,yyy 12 12 , xx m yy 1 分 数学试题（第 6 页 共 11 页） 由 2 11 2 22 4
13、 , 4, yx yx 得 22 1212 44,yyxx 所以 12 12 12 4 , xx yy yy 所以 0 24 ,ym即 0 2ym. 2 分 所以 2 00 222,xmym即 2 (22,2 )Mmm， 3 分 又因为0m ，所以 22 2111 1 22121 2 OM mm k mm m m m m , 5 分 （当且仅当 1 m m ，即1m 等号成立.） 所以OM的斜率的最大值为 1 2 6 分 （2）由 2 2, 4 xmy yx ，消去x得 2 480ymy ， 所以 2 16320,m 且 1212 4 ,8yym y y . 7 分 22 1212 ABxxy
14、y 2 2 1212 22mymyyy 22 1212 1()4myyy y 22 11632mm 22 4 12mm， 8 分 由（1）知，AB的中点M的坐标为 2 (22,2 )mm， 所以线段AB的垂直平分线方程为： 2 222ymm xm. 令2x ，得线段AB的垂直平分线与直线2x 交点坐标为 3 2,26,Pmm 所以 22 2322 24242(2) 1mMmmmPm 9 分 因为PAB为等边三角形，所以 3 | 2 PMAB， 10 分 所以 2222 2(2) 12 312mmmm， 数学试题（第 7 页 共 11 页） 所以 2 23m ，所以 2 1m ，解得 1,m 因
15、为0,m所以1m ， 11 分 则 (4,2)M ，直线MP的方程为 2(4)yx ，即 6yx ， 所以2x 时， 8y ， 所以所求的点P的坐标为( 2,8) 12 分 20 【命题意图】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括 能力、 运算求解能力、 推理论证能力与创新意识； 考查函数与方程思想、 分类与整合思想、 化归与转化、特殊与一般思想等思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等 核心素养，体现综合性、应用性、创新性满分 12 分. 【解析】 （1）因为 2 ( )2lnf xxaxx， 所以 2 22 ( )0 xax fxx x 1 分 令 2 22p
16、 xxax， 2 16a ， 当0即44a 时， ( ) 0p x ，即( ) 0fx， 所以函数 f x单调递增区间为0, 2 分 当0 即4a 或4a 时， 22 12 1616 , 44 aaaa xx . 若4a ，则 12 0xx，所以 0p x ，即( )0fx，所以函数 f x单调递增区 间为 0, 3 分 若4a ， 则 21 0xx， 由( )0fx， 即 0p x 得 1 0,xx或 2 xx； 由() 0fx ， 即 0p x 得 12 xxx 所以函数 f x的单调递增区间为 12 0,xx ；单调递减区间为 12 ,x x 5 分 综上，当a4时，函数 f x单调递增
17、区间为0,；当a 4时，函数 f x的单调 递增区间为 12 0,xx ，单调递减区间为 12 ,x x 6 分 （2）由（1）得 2 22 ( )0 xax fxx x ， 若 f x有两个极值点 12 ,x x，则 12 ,x x是方程 2 220xax的两个不等正实根， 由（1）知4a 则 1212 2,1 2 a xxx x，故 12 01xx ， 8 分 数学试题（第 8 页 共 11 页） 要使 12 f xmx 恒成立，只需 1 2 f x m x 恒成立 因为 222 31111111 1111 22 1 ()2ln222ln 22ln 1 f xxaxxxxx xxxx xx
18、 x ， 10 分 令 3 ( )22 lnh ttttt，则 2 ( )32lnh ttt， 当01t 时， 0h t，( )h t为减函数，所以( )(1)3h th . 11 分 由题意，要使 12 f xmx恒成立，只需满足3m 所以实数m的取值范围, 3 12 分 21 【命题意图】本题主要考查超几何分布、二项分布、正态分布的概念等基础知识； 考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查概率与统计思想；考查数学建模、数 据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与应用性 【解答】 （1）随机变量X的所有可能的取值为0,1,23， 1 分 根据条件得 03 55 3 10 101
19、 (0) 12012 C C P X C ， 12 55 3 10 505 (1) 12012 C C P X C ， 21 55 3 10 505 (2) 12012 C C P X C ， 30 55 3 10 101 (3) 12012 C C P X C ， 3 分 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 12 5 12 5 12 1 12 数学期望 15513 ()0123 121212122 E X 4 分 （2）设该划线分为m，由(75.8,36)YN得75.8,6， 令 75.8 6 YY ，则675.8Y， 5 分 依题意，0.85P Ym ，即 75.8 675
20、.80.85 6 m PmP ， 因为当(0,1)N时，(1.04)0.85P，所以(1.04)0.85P?， 6 分 数学试题（第 9 页 共 11 页） 所以 75.8 1.04 6 m ，故69.56m ，取69m 7 分 由讨论及参考数据得 71675.8710.80.80.788P YPPP， 即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788， 8 分 故(800,0.788)B， 800 800 ()0.788 (1 0.788) kkk PkC . 9 分 由 1 , 1 , PkPk PkPk 即 80011801 800800 80011799 800800 0.7
21、88 (10.788)0.788(10.788), 0.788 (10.788)0.788(10.788), kkkkkk kkkkkk CC CC 10 分 解得630.188631.188k ， 又k N，所以631k ， 11 分 所以当631k 时()Pk取得最大值. 12 分 22 【命题意图】本题主要考查参数方程、曲线与方程等基础知识；考查运算求解能 力、逻辑推理能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查数学运算、直观想象等核 心素养，体现基础性满分 10 分 【解答】解法一： （1）消去参数t得 1 l的普通方程为33xky， 1 分 消去参数m得 2 l的普通方程为33k xy 2 分 联立 33, 33 xky k xy 消去k得 2 339xxy ，
