1、 温馨提示：温馨提示： 此题库为此题库为 WordWord 版版, , 请按住请按住 Ctrl, Ctrl, 滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴, , 调节调节 合适的观看比例合适的观看比例, , 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点 30 30 数学归纳法数学归纳法 一、解答题 1.(2019北京高考理科T20)已知数列an,从中选取第i1项、 第i2项、 、 第im项(i1i2 im),若 ,则称新数列 , , , 为an的长度为m的递增子列.规定:数列an的任意一项都是an的长度 为 1 的递增子列. (1)写出数列 1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为 4
2、的递增子列. (2)已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为 ,长度为q的递增子列的末项的最小值为 . 若pq,求证: . (3)设无穷数列an的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若an的长度为s的递增子列末项的最小值为 2s-1,且长度为s末项为 2s-1 的递增子列恰有 2s-1个(s=1,2, ),求数列an的通项公式. 【命题意图】考查集合、数列,逻辑推理的综合应用,意在考查知识的综合应用以及新概念的理解,培养学生 的知识整合能力与逻辑推理能力,体现了逻辑推理、数学运算、数据分析的数学素养. 【解析】(1)1,3,5,6.(或 1,3,5,9;或 1,5,6,9;或 3,5,
3、6,9.) (2)反证法:若 ,则 存在一个长度为q的递增数列bn,满足b1b2 bq=an, 又因为pq,取c1=b1,c2=b2, ,cp=bpbq= . 则cn是一个长度为p的递增数列,且cp= ,与假设矛盾, 所以 . (3)令s=1,则an长度为1的递增子列末项最小值为1,长度为1末项为1的递增子列有20=1个,所以an 中有 1; 令s=2,则an长度为2的递增子列末项最小值为3,所以an中有3,长度为2末项为3的递增子列有21=2 个,所以an中有 2,且 2 在 1 前,an为 2,1, ; 令s=3,则an长度为 3 的递增子列末项最小值为 5,所以an项中有 5,长度为 3 末项为 5 的递增子列有 22=4 个,所以an中有 4,且 4 在 3 前在 1 后,an为 2,1,4,3, ; 归纳可得数列an为:2,1,4,3,6,5, , 用数学归纳法可证明成立. 所以an通项公式为an= - -
