1、第三章 三角形一认识三角形1三角形的概念由不在同一直线上的 三条线段首尾顺次相接所组成的 图形叫做三角形。注意：组成三角形的 三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线上，三角形就不存在；三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角形的 顶点。2、三角形分类按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。3、关于三角形三条边的关系根据公理“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的 一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。三角形三边关系的 另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。设三角形三边的 长分别为a、b、c则：一般地，对
2、于三角形的 某一条边a来说，一定有a成立；反之，只有a成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；特殊地，如果已知线段a最大，只要满足a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足a，那么这三条线段就能构成三角形。4、关于三角形的内角和三角形三个内角的 和为180直角三角形的 两个锐角互余；一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角中至少有两个内角是锐角。5、关于三角形的角平分线、高线和中线三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；任意一个三角形的 三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有
3、不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的 外部，如图3。一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。二、图形的全等能够完全重合的 图形称为全等形。全等图形的 形状和大小都相同。只是形状相同而大小不同，或者说只是满足面积相同但形状不同的 两个图形都不是全等的 图形。三、全等三角形1全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。所谓“完全重合”，就是
4、各条边对应相等，各个角也对应相等。因此也可以这样说，各条边对应相等，各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。应用：证明两条线段相等和两个角相等。3、三角形全等的条件（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“”（2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“”（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“”（4）两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“”4、直三角形全等的条件（1）斜边和一条直角边对应相等的 两个直角三角形全等。简称为“斜边、直角边”或“”。这只
5、对直角三角形成立。（2）直角三角形是三角形中的 一类，它具有一般三角形的 性质，因而也可用“”、“”、“”、“”来判定。直角三角形的 其他判定方法可以归纳如下：两条直角边对应相等的 两个直角三角形全等；有一个锐角和一条边对应相等的 两个直角三角形全等。三条边对应相等的 两个直角三角形全等。四作三角形1已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“”）来作图的 。2已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“”）来作图的 。3已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“”）来作图的 。五、利用三角形的全等测距离，即三角形全等的应用第三
6、章三角形经典练习一. 选择题：1. 下列四种图形中，一定是轴对称图形的有（ ） 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种2. 到三角形三边距离都相等的点是三角形（ ）的交点A. 三边中垂线 B. 三条中线 C. 三条高 D. 三条内角平分线3. 到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（ ）的交点A. 三边中垂线 B. 三条中线 C. 三条高 D. 三条内角平分线4.如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）A.1 B.2 C.3 D. 4（第4题）5.如图，已知12，则不一定能使的条件是（）A B CBC D 6、如图下
7、列条件中，不能证明的是（ ）.， B. C.C， D.C，第6题图7下列命题中，真命题是（ ）(A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等；(C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等8如图所示，结论：；其中正确的有A1个B2个C3个D4个 9.如图2所示，在中，,平分，交于点,且,则点到的距离是： （A）3 （B）4 （C）5 （D）610如图，给出下列四组条件：；其中，能使的条件共有（ ）A1组B2组C3组D4组11.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处若，则等于（ ）A B C D 12、如图，为估计池塘岸
8、边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是 （ ）A5米B10米C15米D20米13、下列命题中，错误的是（ ）A三角形两边之和大于第三边 B三角形的外角和等于360C三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形ADCEB14、如图，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点已知，则的度数为（ ）A B C D15、如图，则有（ ）A垂直平分B垂直平分C与互相垂直平分D平分16、如图，将(其中B34，C90）绕A点按顺时针方向旋转到1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）A.56 B.68
9、 C.124 D.18034B1CBAC117、如图，=30，则的度数为（ ）A20 B30C35 D40CAB18、尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）A B CD ODPCAB19、如图，为估计池塘岸边的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，=10米，间的距离不可能是（）A20米B15米C10米D5米OAB20、如图，平分，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（ ）A B平分C D垂直平分OBAP二. 填空题：1. 我国国旗上的每一个五角星的对称轴有 条2. 在中，边、的垂直平
10、分线相交于点P，则、的大小关系为 3. 如图，在中，是的垂直平分线，3，的周长为13，那么的周长为 4. 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在 5. 线段是 图形，它的对称轴是 6、已知中，作与只有一条公共边，且与全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.7.（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 三. 解答题：1. 如图，点E是的斜边的中点，且:5:2，则的度数是多少？2. 如图，的垂直平分线交延长线于E，交于F，50，6，则（1）的周长为多少？（2）E的度数为多少？3.已知：如图，、分别是、的平分线
11、求证：4 、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，AD，求证：5、两块完全相同的三角形纸板和，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边和的交点.不重叠的两部分与是否全等？为什么？6.在中,90为延长线上一点,点E在上,且. (1)求证;(2)若30,求度数.ABCEF第6题图7.如图6,于点,于点,交于点,且.求证.图68如图，在中，90，2，点D是的中点，将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结、试猜想线段和的数量及位置关系，并证明你的猜想ABCDE9.如图，D，E，分别是，上的点，且，求证C10.如图，在中，
12、是中线，分别过点B、C作及其延长线的垂线、，垂足分别为点E、F求证：ACBDFE(第11题图)11如图，在中，D是边上的点（不与B，C重合），F，E分别是及其延长线上的点，. 请你添加一个条件，使 (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明（1）你添加的条件是： ；（2）证明： 12如图，分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E、F求证： 13如图，B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线的两侧，求证：14已知：如图，点C是线段的中点，, 求证：题20图15已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，求证： 16如图，点A、E、B、D在同一条直线上，.请探索与有怎样的位置关系？并说明理由17如图，点B、D、C、F在一条直线上，且 = ， = .（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使，你添加的条件是 ；（2）添加了条件后，证明.FABCDE18如图4，已知，且.（1）请你只添加一个条件，使，你添加的条件是 ；（2）添加条件后，证明.19已知：点B、E、C、F在同一直线上，AD，求证：；17 / 17
