1、精品北师大版数学期末测试2020-2021学年第一学期期末测试八年级数学试题学校_ 班级_ 姓名_ 成绩_一、选择题1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是A. 3, 4,5B. 2,3,4C. 4,6,7D. 5,11,122.下列说法不正确的是（ ）A. 0.04的平方根是0.2B. 9是81的一个平方根C. 9的立方根是3D. 33.一组数据3,1,4,2,1,则这组数据的极差是（ ）A. 5B. 4C. 3D. 24.点M在第二象限,距离x轴5个单位长度,距离y轴3个单位长度,则M点的坐标为( )A. (5,3)B. (5,3)C. (3,5)D. (3,5)5.下列图形中,可以看作
2、是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 6.下列各点中,在函数y2x1图象上的点是（ ）A. (1,3)B. (2.5,4)C. (2.5,一4)D. (0,1)7.下列各式中正确的是（ ）A. 9B. C. D. (3.14)018.某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习,每人投篮10次,他们投中的次数统计如表：投中次数35678人数13222则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（）A 5,6,6B. 2,6,6C. 5,5,6D. 5,6,59.若是关于x、y的方程组的解,则ab的值为（ ）A. 3B. 3C. 2D. 210.如图,在RtABC中,ACB90,A35,以
3、C为旅转中心,将ABC旋转到ABC的位置,点B在边AB上,则BDC为（ ）A. 70B. 90C. 100D. 10511.已知等腰三角形周长是10,底边长y是腰长x的函数,则下列图象中,能正确反映y与x之间函数关系的图象是( )A. B. C. D12.如图,ABAC,CAB90,ADC=45,AD1,CD3,则BD的长为（ ）A 3B. C. 2D. 4二、填空题13.计算：的结果是_.14.如图,直线yxb与直线ykx6交于点P(3,5),则方程组的解是_.15.RtABC中,C90,AB15,则BC_.16.如图,A,B的坐标为（2,0）,（0,1）若将线段AB平移至A1B1,则a+b
4、的值为_17.如图,在直角坐标系中,已知点A（,0）、B（0,1）,对OAB连续作旋转变换,依次得到三角形（1）、三角形（2）、三角形（3）、三角形（4)则三角形(2020）的直角顶点的横坐标为_.18.在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点叫作整点,直线ykx3（k0）,与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点,则k的取值范围是_.三、解答题19.（1）计算：； （2）解方程组20.ABC的三个顶点的位置如图所示,现将ABC平移,使点A变换为点A1,点B1、C1分别是B、C的对应点（1）请画出平移后的A1B1C1（不写画法）；（2）将A1B1C1绕点C1顺时针旋转90,画出
5、旋转后的A2B2C1（不写画法）21.已知直线l1：yx2与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线l2：y2xb经过点B且与x轴交于点C（1）b_；(答案直接填写在答题卡的横线上）（2）画出直线l2的图象；（3）求ABC的面积 22.如图,在RtABC中,BAC=90,AB=4,AC=3,DE垂直平分AB,分别交AB、BC于点D、E,AP平分BAC,与DE的延长线交于点P（1）求PD的长度；（2）连结PC,求PC的长度23.现在要从甲、乙两名学生中选择一名学生去参加比赛,因甲乙两人的5次测试总成绩相同,所以根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表进行分析第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩90708
6、010060乙成绩709090a70 请同学们完成下列问题：（1）a_,_；（2）请在图中完成表示乙成绩变化情况的折线：（3）S2甲200,请你计算乙的方差；（4）可看出_将被选中参加比赛（第1问和第4问答案可直接填写在答题卡的横线上）24.某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱,矿泉水的成本价与销售价如表(二)所示：类别成本价(元/箱)销售价(元/箱)甲2535乙3548求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？(2)该商场售完这500箱矿泉水,可获利多少元？25.甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地,如图,线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x
7、（小时）之间的函数关系；折线OBCDA表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系请根据图象解答下列问题：（1）当轿车刚到乙地时,此时货车距离乙地 千米；（2）当轿车与货车相遇时,求此时x的值；（3）在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,求x的值26.如图1,直角三角形ABC中,C90,CB1,BAC30(1）求AB、AC的长；(2）如图2,将AB绕点A顺时针旋转60得到线段AE,将AC绕点A逆时针旋转60得到线段AD连接CE,BD求证：BDEC；连接DE交AB于F,请你作出符合题意图形并求出DE的长 27.如图,A(2,2）、ABx轴于点B,ADy轴于点D,C（2,1）
8、为AB的中点,直线CD交x轴于点F（1）求直线CD的函数关系式；（2）过点C作CEDF且交x轴于点E,求证：ADCEDC；（3）求点E坐标；（4）点P是直线CE上的一个动点,求PBPF的最小值答案与解析一、选择题1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是A. 3, 4,5B. 2,3,4C. 4,6,7D. 5,11,12【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形最长边所对的角为直角由此判定即可【详解】A、32+42=52,三条线段能组成直角三角形,故A选项正确；B、22+3242,三条线段不能组成直角三角形,故B选项
9、错误；C、42+6272,三条线段不能组成直角三角形,故C选项错误；D、52+112122,三条线段不能组成直角三角形,故D选项错误；故选A【点睛】考查勾股定理的逆定理,如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形2.下列说法不正确的是（ ）A. 0.04的平方根是0.2B. 9是81的一个平方根C. 9的立方根是3D. 3【答案】C【解析】【分析】根据平方根及立方根的定义进行计算判断即可.【详解】A.0.04的平方根是0.2,本选项正确；B.(9)2=81,所以9是81的一个平方根,本选项正确；C.9的立方根是,本选项错误；D.,本选项正确.故选：C.【点睛】本题考
10、查平方根和立方根,熟练掌握平方根及立方根的定义是解题的关键.3.一组数据3,1,4,2,1,则这组数据的极差是（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】根据极差的定义进行计算即可.【详解】这组数据的极差为：4(1)=5.故选A.【点睛】本题考查极差,掌握极差的定义：一组数据中最大数据与最小数据的差,是解题的关键.4.点M在第二象限,距离x轴5个单位长度,距离y轴3个单位长度,则M点的坐标为( )A. (5,3)B. (5,3)C. (3,5)D. (3,5)【答案】D【解析】【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号,再根据距坐标轴的距离确定点的坐标.【详解】点P位于第二象限,
11、点的横坐标为负数,纵坐标为正数,点距离x轴5个单位长度,距离y轴3个单位长度,点的坐标为(3,5).故选D.【点睛】此题考查点的坐标,解题关键在于确定点的横纵坐标的正负号.5.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据中心对称的定义,结合所给图形即可作出判断【详解】解：A、不是中心对称图形,故本选项不合题意；B、不是中心对称图形,故本选项不合题意；C、是中心对称图形,故本选项符合题意；D、不是中心对称图形,故本选项不合题意；故选C【点睛】本题考查了中心对称图形的特点,属于基础题,判断中心对称图形的关键是旋转180后能够重合6.下列各点中,在
12、函数y2x1图象上的点是（ ）A. (1,3)B. (2.5,4)C. (2.5,一4)D. (0,1)【答案】B【解析】【分析】分别代入各点的横坐标求出y值,与该点纵坐标比较后即可得出结论【详解】A.当x=1时,y=2x1=13,所以此点不在图象上；B.当x=2.5时,y=2x1=4,所以此点在图象上；C.当x=2.5时,y=2x1=64,所以此点不在图象上；D.当x=0时,y=2x1=11,所以此点不在图象上故选：B【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征,正确代入点的坐标进行计算是解题的关键.7.下列各式中正确的是（ ）A. 9B. C. D. (3.14)01【答案】D【解析】【分析
13、】根据二次根式的性质及零次幂进行化简计算即可判断.【详解】A.,故本选项错误；B.,故本选项错误；C.,故本选项错误；D. (3.14)01,故本选项正确.故选D.【点睛】本题考查二次根式及零次幂,掌握二次根式的性质是解题的关键.8.某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习,每人投篮10次,他们投中的次数统计如表：投中次数35678人数13222则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（）A. 5,6,6B. 2,6,6C. 5,5,6D. 5,6,5【答案】A【解析】【分析】根据众数、中位数、平均数的概念以及求解方法逐一进行求解即可.【详解】在这一组数据中5是出现次数最多的,故众数是5
14、；处于中间位置的两个数的平均数是,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是6；平均数是：,所以答案为：5、6、6,故选A.【点睛】本题考查了加权平均数、中位数和众数,熟练掌握相关定义以及求解方法是解题的关键.给定n个数据,按从小到大排序,如果n为奇数,位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数,位于中间两个数的平均数就是中位数任何一组数据,都一定存在中位数的,但中位数不一定是这组数据里的数给定一组数据,出现次数最多的那个数,称为这组数据的众数9.若是关于x、y的方程组的解,则ab的值为（ ）A. 3B. 3C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】先把x、y代入得到关于a、b的二元一次方程组,
15、然后再解二元一次方程组算出a、b代入计算即可.【详解】把代入方程组中,得,解得：,a+b=1+4=3.故选A【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解法,熟练掌握“消元法”解二元一次方程组是解题的关键.10.如图,在RtABC中,ACB90,A35,以C为旅转中心,将ABC旋转到ABC的位置,点B在边AB上,则BDC为（ ）A. 70B. 90C. 100D. 105【答案】D【解析】分析】根据三角形内角和定理求出ABC,再由旋转的性质可知BC=BC, ABC=B,从而求出BCB,根据旋转角相等求出ACA,最后根据外角定理即可求出BDC.【详解】在RtABC中,ACB90,A35,ABC=903
16、5=55,由旋转的性质可知BC=BC, ABC=B,BCB=ACA,ABC=B=BBC=55,BCB=180BBBC=1805555=70,ACA=70,BDC=A+ACA=35+70=105.故选D.【点睛】本题考查了旋转求角度,等腰三角形的性质,三角形外角定理,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.11.已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数,则下列图象中,能正确反映y与x之间函数关系的图象是( )A. B. C. D【答案】D【解析】【分析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式,再根据三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边求出x的取值范围,然后选择即可【详解
17、】由题意得,2x+y=10,所以,y=-2x+10,由三角形的三边关系得,解不等式得,x2.5,解不等式的,x5,所以,不等式组的解集是2.5x5,正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象故选：D12.如图,ABAC,CAB90,ADC=45,AD1,CD3,则BD的长为（ ）A. 3B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】过点A作AEAD交CD于E,连接BE,利用SAS可证明BAECAD,利用全等的性质证得BED=90,最后根据勾股定理即可求出BD.【详解】解：如图,过点A作AEAD交CD于E,连接BE.DAE=90,ADE=45,ADE=AED=45,AE=AD=1,在RtAD
18、E中,DE=,DAE=BAC=90,DAE+EAC=BAC+EAC,即CAD=BAE,又AB=AC,BAECAD(SAS),CD=BE=3,AEB=ADC=45,BED=90,在RtBED中, BD=.故选B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理等知识,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.二、填空题13.计算：的结果是_.【答案】【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简,再合并同类二次根式即可.【详解】解：原式=.【点睛】本题考查了二次根式的化简计算,掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键.14.如图,直线yxb与直线ykx6交于点P(3,5),则方程
19、组的解是_.【答案】【解析】【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系可知,方程组的解对应两个一次函数的交点坐标,从而可写出方程组的解.【详解】直线yxb与直线ykx6交于点P(3,5),方程组的解是.【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组,明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键.15.在RtABC中,C90,AB15,则BC_.【答案】9【解析】【分析】设BC=3x,AC=4x,然后利用勾股定理列方程计算即可【详解】解：设BC=3x,AC=4x,则在RtABC中,9x2+16x2=152,解得：x=3或3(舍去),BC=3x=9.故答案为：9.【点睛】本题考查了勾股定理,熟练掌握
20、勾股定理是解题的关键.16.如图,A,B的坐标为（2,0）,（0,1）若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为_【答案】2【解析】【分析】由图可得到点B的纵坐标是如何变化的,让A的纵坐标也做相应变化即可得到b的值；看点A的横坐标是如何变化的,让B的横坐标也做相应变化即可得到a的值,相加即可得到所求【详解】解：由题意可知：a0+（32）1；b0+（21）1；a+b2故答案为2.【点睛】本题考查了坐标平移,解决本题的关键是得到各点的平移规律17.如图,在直角坐标系中,已知点A（,0）、B（0,1）,对OAB连续作旋转变换,依次得到三角形（1）、三角形（2）、三角形（3）、三角形（4)则三角形(2
21、020）的直角顶点的横坐标为_.【答案】2019【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AB,从而得到AOB的周长为3,根据旋转变换可得OAB的旋转变换为每3次一个循环,且直角顶点的横坐标每个循环增加3,由于20203=6731,于是可判断三角形(2020)与三角形(1)位置一样,然后计算6733即可得到三角形(2020)的直角顶点横坐标【详解】A(,0),B(0,1),OA=,OB=1,在RtAOB中,AB=,AOB的周长=,由图可知,第4个三角形与第1个三角形的所处形状相同,即每三次旋转为一个循环,且直角顶点的横坐标每个循环增加3,20203=6731,三角形(2020)与三角形(1)的状态一
22、样,三角形(2020)的直角顶点的横坐标=6733=2019.故答案为2019.【点睛】本题考查了坐标与旋转变换,通过图形准确找出循环次数及规律是解题的关键.18.在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点叫作整点,直线ykx3（k0）,与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点,则k的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据表达式判断出图象,通过图象找出临界点,再进行计算即可.【详解】解：直线ykx3（k0）,图象一定经过（0,3）,且从左至右是上升的趋势,如图所示：通过图象可得,当直线经过（3,0）时,求出表达式为y=x3,此时直线恰好经过整点（2,1）,（1,2）,与坐标轴
23、围成的三角形内部（不包含边界）有1个整点；当直线经过（3,1）时,求出表达式为y=x3,此时与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）恰好有3个整点,当时,与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点.【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系,通过表达式画出图像,找出临界点是解题的关键.三、解答题19.（1）计算：； （2）解方程组【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先把二次根式化简,再合并同类二次根式即可；（2）利用加减消元法解方程组即可.【详解】解：（1）原式=；（2）3得2y=6,解得y=3,把y=3代入得x+2(3)=0,解得x=6,所以方程组的解为.【点睛】本题考查了二
24、次根式的计算及二元一次方程组的解法,熟练掌握二次根式的运算法则及“消元法”是解题的关键.20.ABC的三个顶点的位置如图所示,现将ABC平移,使点A变换为点A1,点B1、C1分别是B、C的对应点（1）请画出平移后的A1B1C1（不写画法）；（2）将A1B1C1绕点C1顺时针旋转90,画出旋转后的A2B2C1（不写画法）【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由图可判断出ABC向下平移了2格,又向左平移了5格,由此确定B1、C1,画出图形即可；（2）根据绕点C1顺时针旋转90,先确定C1A2、C1B2,再连接A2B2即可.【详解】解：（1）由图可知,ABC先向下平移了2格,又向
25、左平移了5格,按此平移规律将点B、C分别平移到点B1、C1,如图所示,连接A1B1、B1C1、A1C1,则A1B1C1即为所求；（2）先将C1A1、C1B1绕点C1顺时针旋转90得到C1A2、C1B2,如图所示,再连接A2B2,则A2B2C1即为所求.【点睛】本题考查了平移、旋转作图,掌握平移、旋转的作图步骤是解题的关键.21.已知直线l1：yx2与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线l2：y2xb经过点B且与x轴交于点C（1）b_；(答案直接填写在答题卡的横线上）（2）画出直线l2的图象；（3）求ABC的面积 【答案】（1）2；（2）见解析；（3）5.【解析】【分析】（1）先利用直线l1：yx
26、2求出点B的坐标,再把点B代入直线l2：y2xb计算出b即可；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）利用表达式求出点A的坐标,再根据三角形面积公式求面积即可.【详解】解：（1）把x=0代入yx2得：y=2,B（0,2）,把点B（0,2）代入y2xb得：b=2,直线l2：y2x2,故答案为2；（2）把y=0代入y2x2得：0=2x+2,解得x=1,C（1,0）,直线l2的图象经过点B、C,图象如图所示：（3）把y=0代入yx2得：0x2,解得x=4,A（4,0）,AC=5,SABC=52=5.【点睛】本题考查一次函数的表达式及图象,掌握一次函数图象上点的坐标特征及“描点法”画函数图象是解题的关
27、键.22.如图,在RtABC中,BAC=90,AB=4,AC=3,DE垂直平分AB,分别交AB、BC于点D、E,AP平分BAC,与DE的延长线交于点P（1）求PD的长度；（2）连结PC,求PC的长度【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AD=2,再证明APD=DAP=45,由等角对等边即可得出结论；（2）过点P作PFAC,垂足为点F由角平分线的性质定理得到PD =PF=2,进而得到AF、FC的长在RtCFP中,由勾股定理即可得出结论【详解】（1）AB=4,DE垂直平分AB,AD=AB =2又BAC=90,AP平分BAC,DAP=CAP=BAC=45,APD=
28、DAP=45,PD=AD=2（2）过点P作PFAC,垂足为点FAP平分BAC,PDAC,PD =PF=2CAP=45,APF=45,AF=PF=2又AC=3,FC=1在RtCFP中,PC=【点睛】本题考查了线段的垂直平分线定理、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定以及勾股定理熟练掌握有关的定理是解题的关键23.现在要从甲、乙两名学生中选择一名学生去参加比赛,因甲乙两人的5次测试总成绩相同,所以根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表进行分析第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩90708010060乙成绩709090a70 请同学们完成下列问题：（1）a_,_；（2）请在图中完成表示乙成绩变化情况
29、的折线：（3）S2甲200,请你计算乙的方差；（4）可看出_将被选中参加比赛（第1问和第4问答案可直接填写在答题卡的横线上）【答案】（1）80,80；（2）见解析；（3）S2乙=80；（4）乙.【解析】【分析】（1）根据总成绩相同和平均数的计算公式计算即可；（2）根据乙的成绩在图中描点连线即可；（3）根据方差的计算公式计算即可；（4）根据平均数和方差的性质进行判断即可.【详解】解：（1）甲、乙总成绩相同,90+70+80+100+60=70+90+90+a+70,解得a=80,=80,故答案为80,80；（2）如图所示：（3）S2乙=(7080)2+(9080)2+(9080)2+(8080)
30、2+(7080)2=80；（4）甲、乙总成绩相同,=,S2甲200,S2乙=80,S2甲 S2乙,乙的成绩比甲的成绩稳定,从平均数和方差的角度分析,乙将被选中.【点睛】本题考查了平均数,方差,折线统计图,熟练掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键.24.某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱,矿泉水的成本价与销售价如表(二)所示：类别成本价(元/箱)销售价(元/箱)甲2535乙3548求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？(2)该商场售完这500箱矿泉水,可获利多少元？【答案】(1)购进甲矿泉水300箱,购进乙矿泉水200箱；(2)该商场售完这500箱矿泉水,可获利5600元【解
31、析】【分析】（1）设购进甲矿泉水x箱,购进乙矿泉水y箱,根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论；（2）根据总利润=单箱利润销售数量,即可求出结论【详解】解：(1)设购进甲矿泉水x箱,购进乙矿泉水y箱,依题意,得：,解得：答：购进甲矿泉水300箱,购进乙矿泉水200箱(2)(元)答：该商场售完这500箱矿泉水,可获利5600元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键25.甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地,如图,线段OA表示货车离甲地距离y（千米）
32、与时间x（小时）之间的函数关系；折线OBCDA表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系请根据图象解答下列问题：（1）当轿车刚到乙地时,此时货车距离乙地 千米；（2）当轿车与货车相遇时,求此时x的值；（3）在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,求x的值【答案】（1）30；（2）当x3.9时,轿车与货车相遇；（3）在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,x的值为3.5或4.3小时【解析】【分析】（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米,由此求出货车的速度为60千米/时,再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地,由此求出轿车到达乙地时,货车行驶的路程为270千
33、米,而甲、乙两地相距300千米,则此时货车距乙地的路程为：30027030千米；（2）先求出线段CD对应的函数关系式,再根据两直线的交点即可解答；（3）分两种情形列出方程即可解决问题【详解】解：（1）根据图象信息：货车的速度V货,轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时,轿车到达乙地时,货车行驶的路程为：4.560270（千米）,此时,货车距乙地的路程为：30027030（千米）所以轿车到达乙地后,货车距乙地30千米故答案为30；（2）设CD段函数解析式为ykx+b（k0）（2.5x4.5）C（2.5,80）,D（4.5,300）在其图象上,解得,CD段函数解析式：y110x195（2.5x4
34、.5）；易得OA：y60x,解得,当x3.9时,轿车与货车相遇；（3）当x2.5时,y货150,两车相距150807020,由题意60x（110x195）20或110x19560x20,解得x3.5或4.3小时答：在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,x的值为3.5或4.3小时【点睛】本题考查了一次函数的应用,对一次函数图象的意义的理解,待定系数法求一次函数的解析式的运用,行程问题中路程速度时间的运用,本题有一定难度,其中求出货车与轿车的速度是解题的关键26.如图1,直角三角形ABC中,C90,CB1,BAC30(1）求AB、AC的长；(2）如图2,将AB绕点A顺时针旋转60得到线段A
35、E,将AC绕点A逆时针旋转60得到线段AD连接CE,BD求证：BDEC；连接DE交AB于F,请你作出符合题意的图形并求出DE的长 【答案】（1）AB=2,AC=；（2）证明见解析；图形见解析,DE=.【解析】【分析】（1）根据含30角的直角三角形的性质求出AB,再利用勾股定理求出AC即可；（2）根据旋转的性质得到AB=AE,AC=AD,BAE=CAD=60,再利用SAS证明AECABD,从而可得到结论；过点D作DMAE,交EA延长线于点M,可证明CAE=90,从而求得DAM=30,在RtADM中利用含30角的直角三角形的性质及勾股定理可求出DM、AM,最后在RtDME中利用勾股定理求出DE即可
36、.【详解】解：（1）C=90,BAC=30,且BC=1,AB=2BC=2,在RtABC中,AC=;（2）证明：如图所示：由旋转可得,AB=AE=2,AC=AD=,BAE=CAD=60,BAE+BAC=CAD+BAC,CAE=BAD,AECABD（SAS）,BD=EC；如图所示,过点D作DMAE,交EA的延长线于点M,由旋转可得,AB=AE=2,AC=AD=,BAE=CAD=60,BAC=30,CAE=BAE+BAC=90,CAM=90,DAM=30,在RtADM中,DM=AD=,AM=,EM=AE+AM=2+=,在RtDME中,DE=.【点睛】本题考查了含30角的直角三角形的性质,旋转的性质,
37、全等三角形的判定与性质,以及勾股定理等知识,熟练应用所学知识是解题的关键.27.如图,A(2,2）、ABx轴于点B,ADy轴于点D,C（2,1）为AB的中点,直线CD交x轴于点F（1）求直线CD的函数关系式；（2）过点C作CEDF且交x轴于点E,求证：ADCEDC；（3）求点E坐标；（4）点P是直线CE上的一个动点,求PBPF的最小值【答案】（1）y=x+2；（2）证明见解析；（3）E（,0）；（4）PB+PF的最小值为.【解析】【分析】（1）由题意先求出D的坐标,再利用待定系数法可求得直线CD的函数关系式；（2）可先证明ADCBFC,利用全等三角形的性质得CF=CD,BFC=ADC,从而可证
38、明DE=EF,最后利用等边对等角及等量代换即可证明ADC=EDC；（3）利用直线CD的函数关系式可求出点F坐标,从而得到OF=4,设OE=x,则EF=DE=4x,最后在RtDOE中利用勾股定理建立方程即可求出OE得到点E坐标；（4）由（2）可知点D与F关于直线CE对称,连接BD交直线CE于点P,则可知P点即为满足条件的动点,由勾股定理可求得BD的长,即PB+PF的最小值【详解】解：（1）A(2,2）,ADy轴于点D,D(0,2),设直线CD解析式为y=kx+b(k0),把点D(0,2),C(2,1),代入得：,解得,直线CD的函数关系式为y=x+2；（2）C是AB的中点,AC=BC,ADy轴于
39、点D,ADx轴,ABx轴于点B,A=CBF=90,在ACD和BCF中,ACDBCF(ASA),CF=CD,BFC=ADC,CEDF,CE垂直平分DF,DE=FE,EDC=EFC,ADC=EDC；（3）直线CD的函数关系式为y=x+2,把y=0代入得0=x+2,解得x=4,F（4,0）,OF=4,D（0,2）,OD=2,设OE=x,则EF=DE=4x,在RtDOE中,解得x=,即OE=,E（,0）；（4）如图,连接BD交直线CE于点P,由（2）可知点D与点F关于直线CE对称,PD=PF,PB+PF=PB+PDBD,A(2,2）,ABx轴于点B,B(2,0), BD=,PB+PF的最小值为.【点睛】本题考查是一次函数的综合应用,熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征,全等三角形的判定与性质,以及勾股定理是解题的关键.
