1、全等三角形判定一（SSS,ASA，AAS）（提高）【学习目标】1理解和掌握全等三角形判定方法1“边边边”，判定方法2“角边角”，判定方法3“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等2能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等【要点梳理】要点一、全等三角形判定1“边边边” 全等三角形判定1“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果AB，AC，BC，则ABC. 要点二、全等三角形判定2“角边角” 全等三角形判定2“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果A
2、，AB，B，则ABC. 要点三、全等三角形判定3“角角边”1.全等三角形判定3“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在ABC和ADE中，如果DEBC，那么ADEB，AEDC，又AA，但ABC和ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代
3、换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1“边边边”1、如图，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BDCE，求证：BADCAE.【答案与解析】证明：在ABD和ACE中，ABDACE（SSS）BADCAE（全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证BA
4、DCAE，先找出这两个角所在的三角形分别是BDA和CAE，然后证这两个三角形全等.举一反三：【变式】（2014秋双峰县校级期中）如图，已知AB=DC，若要用“SSS”判定ABCDCB，应添加条件是 【答案】AC=DB.类型二、全等三角形的判定2“角边角”2、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当ADBC，ADBC，ABC2ADG时，DEBF.【思路点拨】通过已知条件证明DACC，CBFADG，则可证DAEBCF【答案与解析】证明： ADBC，DACC BF平分ABC ABC2CBF ABC2ADG CBFADG在DAE与BCF中D
5、AEBCF（ASA）DEBF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等 举一反三：【变式】已知：如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.【答案】证明：MQ和NR是MPN的高， MQNMRN90， 又132490，34 12 在MPQ和NHQ中， MPQNHQ（ASA） PMHN类型三、全等三角形的判定3“角角边”3、（2016黄陂区模拟）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，过C点作直线l，点 D，E在直
6、线l上，连接AD，BE，ADC=CEB=90求证：ADCCEB【思路点拨】先证明DAC=ECB，根据AAS证ADCCEB【答案与解析】证明：DAC+DCA=ECB+DCA=90，DAC=ECB，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS）【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、ASA、AAS等注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角4、平面内有一等腰直角三角板（ACB90）和一直线MN过点C作CEMN于点E，过点B作BFMN于点F当点E与点A重合时（如图1），易证：AFB
7、F2CE当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明【思路点拨】过B作BHCE与点H，易证ACECBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AFBF2CE【答案与解析】解：图2，AFBF2CE仍成立，证明：过B作BHCE于点H，CBHBCHACEBCH90CBHACE 在ACE与CBH中， ACECBH（AAS）CHAE，BFHE，CEEF，AFBFAEEFBFCHEFHECEEF2EC【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键.举一反三：【变式】已知RtABC
8、中，ACBC，C90，D为AB边的中点，EDF90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证；当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.窗体底端【答案】图2ADBCEMNF解：图2成立； 证明图2： 过点作 则在AMD和DNB中，AMDDNB（AAS）DMDNMDEEDNNDFEDN90， MDENDF在DME与DNF中，DMEDNF（ASA）可知，类型四、全等三角形判定的实际应用5、（2015春龙岗区期末）小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼
9、之间选定一点P测得旗杆顶C视线PC与地面夹角DPC=36，测楼顶A视线PA与地面夹角APB=54，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？【思路点拨】根据题意可得CPDPAB（ASA），进而利用AB=DP=DBPB求出即可【答案与解析】解：CPD=36，APB=54，CDP=ABP=90，DCP=APB=54，在CPD和PAB中，CPDPAB（ASA），DP=AB，DB=36，PB=10，AB=3610=26（m），答：楼高AB是26米【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出CPDPAB是解题关键【
10、巩固练习】一、选择题1（2014秋西秀区校级期末）如图，ABC中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以判定（）AABDACD BABEACECBDECDE D以上答案都不对2. 如图，ABEF，DEAC，BDCF，则图中不是全等三角形的是（ ） A.BACFED B. BDAFCE C. DECCAD D. BACFCE3. 如图，ABBD，12，添加一个条件可使ABCDBE，则这个条件不可能是（ ） A.AEEC B.DA C.BEBC D.1DEA4. 下列判断中错误的是（ ） A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中
11、线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等5. ABC和中, 条件 AB , BC , AC, A , B , C , 则下列各组条件中, 不能保证ABC的是( ) A.B. C. D. 6如图，点A在DE上，ACCE，123，则DE的长等于（ ）ADCBBCCABDAEAC二、填空题7. 已知：如图，AEDF，AD，欲证ACEDBF，判定定理为AAS，需要添加条件_；或添加条件_，证明全等的理由是ASA. 8.（2014秋白云区期末）如图，已知1=2，B=C，若直接推得ABDACD，则其根据是_.9.（2016滨湖区一模）如图，点B、E、C、F在一条直线上，ABDE，且
12、AB=DE，请添加一个条件 ，使ABCDEF10. 如图，ABCD，ADBC，OEOF，图中全等三角形共有_对.11如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长是_12. 如图，ABCD，ACDB，ABD25，AOB82，则DCB_.三、解答题13（2016春会宁县期中）已知：如图，等腰三角形ABC中，AC=BC，ACB=90，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），ADl，BEl，垂足分别为D、E求证：ADCCEB14. 已知：如图，中，于，于，与相交于点求证：. 15.（2014秋杭州期末）如图，DCAB，BAD和ADC的角平分线相交于E，过E的
13、直线分别交DC、AB于C、B两点.求证：ADABDC.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D；3. 【答案】A； 【解析】D选项可证得DA，从而用ASA证全等.4. 【答案】B； 【解析】C选项和D选项都可以由SSS定理证全等.5. 【答案】C； 【解析】C选项是两边及一边的对角对应相等，不能保证全等.6. 【答案】C； 【解析】可证BACE，BCADCE，所以ABCEDC，DEAB.二、填空题7. 【答案】21；EF.8. 【答案】AAS；9. 【答案】A=D或ACB=F； 【解析】解：可添加条件为A=D或ACB=F理由如下：ABDE，B=DEF在ABC和DEF中，ABCD
14、EF（ASA）故答案是：A=D或ACB=F10.【答案】6； 【解析】ABOCDO，AFOCEO，DFOBEO，AODCOB，ABDCDB，ABCCDA.11【答案】3； 【解析】由AAS证ABFCBE，EFFBBECEAF213.12.【答案】66；【解析】可由SSS证明ABCDCB，OBCOCB，所以DCBABC254166三、解答题13.【解析】证明：DAC+DCA=ECB+DCA=90，DAC=ECB，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS）14.【解析】 证明： 在和中 （AAS） 15.【解析】证明：延长DE交AB的延长线于FCDEF, CDABAD180DE平分CDA,AE平分DABCDEADECDA, DAEEAFBADADEF,EDADAE90AEDAEF90在ADE与AFE中ADEAFE （AAS）DEEF,ADAF在DCE与FBE中DCEFBE （ASA）DCBFADABDC.
