1、初三数学专题复习 新概念型问题一、 选择题1.古希腊著名的毕达哥拉斯派1、3、6、10、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（ ） A.13=3+10B.25=9+16 C.36=15+21D.49=18+31【答案】C2小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示的方向经过B跑到 点C，共用时30秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翊跑步的时间为t（单位：秒），他与教练距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大
2、致如图2，刚这个固定位置可能是图1的（ ）A点MB点NC点PDQQNMPCBA O30t/秒y/米答案：D。3.如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个下列判断：5个出口的出水量相同；2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍其中正确的判断有（）个A1个B个C个D个答案：B4已知且满足
3、.则称抛物线互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（ ）A、y1,y2开口方向，开口大小不一定相同 B、因为y1,y2的对称轴相同C、如果y2的最值为m，则y1的最值为kmD、如果y2与x 轴的两交点间距离为d，则y1与x 轴的两交点间距离为答案：D二、填空题5.一个函数的图像关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”如果二次函数是“偶函数”，该函数的图像与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么ABP的面积是_答案：8；6.对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：. 根据这个规则，则方程9的解为_答案：3或7.定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数如：2的差倒数是，
4、的差倒数是已知，是的差倒数，是 的差倒数，是的差倒数，依此类推，则= 答案：8.现定义运算“”，对于任意实数a、b，都有aba23a+b，如：353233+5，若x26，则实数x的值是_ _答案： 1或4 9.数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，若x、y、2 (xy2且均为正整数)也是一组调和数则x、y的值分别为 答案：6、310.如图是瑞典人科赫（Koch）在1906年构造的能够描述雪花形状的科赫雪花图案图形的作法是，从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间长度为底边分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉反复进行这一
5、过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线这是一个极有特色的图形：在图形不断变换的过程中，它的周长趋于无穷大，而其面积却趋于定值如果假定原正三角形边长为，则可算出下图每步变换后科赫雪花的周长：=3，= ，= ，则= （第10题图）答案：=；=；=， 11.在矩形ABCD中，已知AD=2cm，BC=3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为_cm2.答案：.12若关于t的不等式组恰有三个整数解，则关于x的一次函数yxa的图象与反比例函数y的图象的公共点的个数为_【答案】0或1【解析】解不等
6、式组得at原不等式组恰有三个整数解，即1，0，1，2a1一次函数yxa的图象与反比例函数y的图象的交点坐标即是方程组的解消去方程组中的y得，xa即x24ax4(3a2)0其判别式(4a)216(3a2)16(a23a2)16(a1)(a2)当2a1时，(a1)(a2)0，即0两个图象的公共点的个数为0或1【方法指导】此题有一定的综合性，解答时涉及的知识点有：不等式组的解及解不等式组、函数的图象、一元二次方程根的判别式等三、 解答题13.如图（1），凸四边形，如果点满足，且，则称点为四边形的一个半等角点（1）在图（3）正方形内画一个半等角点，且满足（2）在图（4）四边形中画出一个半等角点，保留画
7、图痕迹（不需写出画法）（3）若四边形有两个半等角点（如图（2），证明线段上任一点也是它的半等角点图（1）图（2）解：（1）所画的点在上且不是的中点和的端点，即给2分（2）画点关于的对称点，延长交于点，点为所求（不写文字说明不扣分）给6分（说明：画出的点大约是四边形的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）（3）连和，根据题意，在上，同理，也在上8分在和中，公共，10分所以，于是关于对称设是上任一点，连结，由对称性，得，所以点是四边形的半等角点12分第2题答案图14阅读下面材料：小明同学遇到这样一个问题：定义：如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度a (0 a 360) 后所得的图形与原图形重合，则
8、称此图形是旋转对称图形如等边三角形就是一个旋转角为120的旋转对称图形如图1，点O是等边三角形ABC的中心，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，请你将ABC分割并拼补成一个与ABC面积相等的新的旋转对称图形小明利用旋转解决了这个问题（如图2所示）图2中阴影部分所示的图形即是与ABC面积相等的新的旋转对称图形图3ABCE1E2E3P2P1N1N3M1M2FGH图2图1 请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：如图3，在等边ABC中， E1、E2、E3分别为AB、BC、CA 的中点，P 1、P2，M 1、M2，N1、N2分别为AB、BC、CA的三等分点 （1）在图3中画个和A
9、BC面积相等的新的旋转对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；（2）若ABC的边长为6，则图3中ABM1的面积为 （3）若ABC的面积为，则图3中FGH的面积为 解：（1）画图如下：(答案不唯) 3分 (2)36分 （3）面积为9分15. 我们把三角形内部的一个点到这个三角形三边所在直线距离的最小值叫做这个点到这个三角形的距离如图1，PDBC于D，PEAC于E，PFAB于F，如果PEPFPD，则称PD的长度为点P到ABC的距离.在图2、图3中，已知A（6，0），B（0，8）.（1）若图2中点P的坐标为（2，4），求 P到AOB的距离；（2）若点R是图3中AOB内一点，且点R到AOB的距离为1，
10、请在图3中画出满足条件的点R所构成的封闭图形，并求出这个图形的周长.（ 图1） （图2） （图3）解： (1) A（6，0），B（0，8）OA=6,OB=8,在RtAOB中，AB=10(1分) 过点P分别作PCOA、 PDOB、 PEAB，垂足分别为C、D、E SPOB +SPAB +SPOA =SABO PE=0.8 (3分) P到AOB的距离为0.8 (4分)（2）设点Q为AOB的内心，连接QA，QB，QO，分别取QA，QB，QO 的中点E，F，G，连接EF，FG，GE，则EFG即为所要画的图形. (6分)由画图可知，EFGABO，由上题及已知条件可知，EFG与ABO的相似比为，因为ABO
11、的周长为24，所以EFG的周长为12.（9分）16.已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形”例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数图像的其中一个“伴侣正方形”（1）如图1，若某函数是一次函数，求它的图像的所有“伴侣正方形”的边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD，点在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数的解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD，C、D中的一个点坐标为，请你直接写出该二次函
12、数的解析式（第16题图3）xy-2-1O1321234xyOBDAC（第16题图1）（第16题图2）xyO答案：解：（1）（I）如图1，当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：正方形ABCD的边长为（1分）（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a，易得，（1分）解得，此时正方形的边长为（1分）（第24题图2）xyO132132ABCDEFxyOBDAC（第24题图1）所求“伴侣正方形”的边长为或（2）如图2，作DEx轴，CFy轴，垂足分别为点E、F，易证ADEBAOCBF点D的坐标为，DE = OA = BF = m，OB = AE = CF = 2 - mOF =
13、 BF + OB = 2，点C的坐标为（1分），（1分）解得（1分）反比例函数的解析式为（1分）（3）或或或（5分）注：第（3）小题写对一个函数解析式得2分，之后每写对一个得1分17.在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形如图28-1，倍角ABC中，A=2B，A、B、C的对边分别记为a,b,c，倍角三角形的三边a,b,c有什么关系呢？让我们一起来探索（图28-1） （图28-2） （图28-3） （图28-4）（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空：三角形角的已知量图28-2A=2B=图28-3A=2B=（2）如图28-4，对于一般的倍角AB
14、C，若CAB=2CBA ，CAB、CBA、C的对边分别记为a、b、c，a、b、c三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图28-4给出的辅助线提示加以证明解：（1）三角形角的已知量图28-2A=2B=图28-3A=2B=每空1分共4分（2），（2分）证明正确（4分）18.如图，P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC和PAC中，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称P为ABC的自相似点如图，已知RtABC中，ACB=90，ACBA，CD是AB上的中线，过点B作BECD，垂足为E，试说明E是ABC的自相似点在ABC中，ABC如图，利用尺规作出ABC的自相似点P（写出作法并保留作图
15、痕迹）；若ABC的内心P恰是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数 答案：解在Rt ABC中，ACB90，CD是AB上的中线，CD=BDBCEABCBECD，BEC90，BECACBBCEABCE是ABC的自相似点 作图略 作法如下：（i）在ABC内，作CBDA；（ii）在ACB内，作BCEABC；BD交CE于点P则P为ABC的自相似点连接PB、PCP为ABC的内心，P为ABC的自相似点BCPABCPBCA，BCPABC=2PBC =2A，ACB2BCP=4AA+ABC+ACB180A+2A+4A180该三角形三个内角的度数分别为、19.定义为一次函数的特征数（1）若特征数是的一次函数为
16、正比例函数，求的值；（2）已知抛物线与轴交于点，其中，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且的面积为4，为原点，求图象过两点的一次函数的特征数（本小题满分5分） 解：(1) 由题意得 . . -1分 （2）由题意得 点A的坐标为（-n，0），点C的坐标为（0，-2n）. 2分 的面积为4， . 点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，-4）. 3分设直线AC的解析式为 . 4分 直线AC的解析式为 . 图象过两点的一次函数的特征数为. 5分20定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径（1）如图1，损矩形ABCD，ABC=ADC=90，则该损
17、矩形的直径是线段 （2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹图2（3）如图2，ABC中，ABC90，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由若此时AB3，BD，求BC的长图1解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径因此AC是该损矩形的直径；（2）作图如图：点P为AC中点，PA=PC=ACABC=A
18、DC=90，BP=DP=AC，PA=PB=PC=PD，点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上；（3）菱形ACEF，ADC=90，AE=2AD，CF=2CD，四边形ABCD为损矩形，由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上BD平分ABC，ABD=CBD=45，AD=CD，四边形ACEF为正方形BD平分ABC，BD=，点D到AB、BC的距离h为4，SABD=ABh=2AB=6SABC=ABBC=BC，SBDC=BCh=2BC，SACD=S正方形ACEF=AC2=（BC2+9），S四边形ABCD=SABC+SADC=SABD+SBCDBC+（BC2+9）=6+2BCBC=5或BC=-
19、3（舍去），BC=521一透明的敞口正方体容器ABCD -ABCD 装有一些 液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为 （CBE = ，如图17-1所示）探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB 交于 点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图17-2所示解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是_，BQ的长是_dm； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ高AB） （3）求的度数.(注：sin49cos41，tan37)拓展 在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面
20、与棱CC或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围. 温馨提示：下页还有题！延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NMBC.继续向右缓慢旋转，当 = 60时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.解析：探究 （1）CQBE 32分 （2）（dm3）4分 （3）在RtBCQ中，tanBCQ=BCQ=376分拓展 当容器向左旋转时，如图3,0377分 液体体积不变，9分当容器向右旋转时，如图4，同理得，
21、10分当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B重合时，如图5.由BB=4，且，得=3由tan=，得=37，=53此时375312分【注：本问的范围中，“”为“”不影响得分】延伸 当=60时，如图6所示，设FNEB，EB过点G作GH于点H在Rt中，GH=MB=2，=30，= MG=BH= 4（dm3）溢出液体可以达到4dm3.14分22.如图1，已知抛物线C经过原点，对称轴与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且。（1）求抛物线C的解析式；（2）将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线，抛物线与x轴的另一交点为A，B为抛物线上横坐标为2的点。若P为线段AB上一动点，PDy轴于点D，求APD
22、面积的最大值；过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线OBA于E1、F1，再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边AE1E2、等边AF1F2，点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动，当AE1E2有一边与AF1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值。23如图，已知正方形OABC的两个顶点坐标分别是A(2,0)，B(2,2)抛物线yx2mx+m2(m0)的对称轴交x轴于点P，交反比例函数y(k0)图象于点Q，连接OQ （1）求抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示)；（2）当mk2时，求证：OPQ为等腰直角三角形；（3）设反比例函
23、数y（k0）图象交正方形OABC的边BC、BA于M、N两点，连接AQ、BQ，有SABQ4SAPQ当M为BC边的中点时，抛物线能经过点B吗？为什么？ 连接OM、ON、MN，试分析OMN有可能为等边三角形吗？若可能，试求m+2k的值；若不可能，请说明理由BACMNy=BAC1yxO（图1）1 1yxO（图2）128解：（1）顶点为(m,0) 1分（2）mk2，k4，yx22x2；y2分如图1，抛物线对称轴为x2，点P（2，0）Q（2，2）3分连结OQ，OPPQ2，OPQ是等腰直角三角形4分（3）如图2，正方形OABC，顶点A（2，0），B（2，2），OAABBC2M为BC中点，CM1，M（1，2）
24、y SABQ4SAPQABAP4APPQ，即AB4PQ，PQAB2，点Q的纵坐标为或（负值舍去），5分P（4，0），代入yx2mx+m2解得：m4，6分抛物线解析式为yx24x+8将B（2，2）代入yx24x+8，成立当M为BC边的中点时，抛物线能经过点B7分（其它方法可酌情给分）有可能8分如图3所示，当OMN为等边三角形时，MON60，OMON，COMAON，COMAON，又COA90，COMAON30，COMAON15作线段ON的垂直平分线，交x轴于点D，连结DN，则DODNDNODON15，DNA30设N（2，t），则DODN2t，ADtOADODA2tt2，解得t42，N（2，42），
25、k2（42）84，反比例函数解析式为y9分由知，点Q的纵坐标为或当y时，如图4，解得x168，即m168，m2k1682（84）321610分当y时，如图5，解得x168，即m168，m2k1682（84）011分24如图，已知二次函数yax2bxc的图象交x轴的负半轴于点A（5，0），交y轴于点B，过点B作BCy轴交函数yax2bxc的图象于点C（2，4）（1）设函数yax2bxc的图象与x轴的另一个交点为D，求ABD的面积（2）若P为y轴上的一个动点，连接PA、PC，分别过A、C作PC、PA的平行线交于点Q，连接PQ试探究：xyD是否存在这样的点P，使得PQ2PA2PC2？为什么？是否存在
26、这样的点P，使得PQ取得最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（1）由题意知B（0，4），（1分）根据抛物线的对称性可知D（3，0） （2分） SABD8416 （3分）（2）不存在这样的点P，使得PQ2PA2PC2理由如下：AQPC，CQPA，四边形OAQC为平行四边形PCAQ若PQ2PA2PC2，则PQ2PA2AQ2，PAQ90APC90（4分） 不难证得：若APC90，则当点P在线段OB上时，可得PAOCPB设OPm，则，即m24m100这个方程没有实数根（5分）而当P点在y轴的负半轴上或在OB的延长线时，APC90显然不可能成立 （6分）综上所述，可得：不存在这样的点P，使得PQ2PA2PC2 （7分）xyDM连接AC交PQ于点M，如右图所示四边形PAQC为平行四边形，M为AC、PQ的中点（8分）PQ取得最小值时，MP必定取得最小值显然，当P为OB的中点时，由梯形中位线定理可得MOCB，MPy轴此时MP取得最小值，为(25)PQ的最小值为7（9分） PQ取得最小值时，P（0，2）（10分）26 / 26
