1、自动控制原理本科课堂整理笔记第一章：绪论一 反馈控制原理1 负反馈概念 典型系统框图2 闭环系统 主要问题 1.稳定2.性能 3 开环控制二. 控制系统的基本组成三. 控制系统的分类1从系统实现目标上分 伺服系统， 恒值系统2从输入输出变量的个数分 SISO,MISO 3从信号性质 连续， 离散，混合4数学描述 线性， 非线性5从控制方式上分1 按偏差控制2 复合控制3 先进的控制策略四控制系统的基本要求 稳定品质、性能 静态指标 动态指标第二章：控制系统的数学模型1.控制系统的微分方程描述）RLC电路 根据电路基本原理有:2）质量弹簧阻尼系统由牛顿定律：3） 电动机：电路方程：（）动力学方程
2、： （）（）（）得：（）（）（）得：整理并定义两个时间常数 机电时间常数 电磁时间常数电机方程如果忽略阻力矩 即，方程右边只有电枢回路的控制量，则电机方程是一典型二阶方程如果忽略（）电机方程就是一阶的 随动系统的例子：（图见教科书自动控制原理上册P20图2.11）1）电位器组. 2）放大器-发电机励磁 3）发电机-电动机组 4）传动机构 整理得： 开环比例系数解释k的物理意义解释跟踪无差2. 传递函数Laplace变换Lf(t)F(s) 从时域复域 定义： 举例： 常见函数的Laplace变换： 用Laplace变换解微分方程方程两边进行Laplace 变换（零初始条件） 反变换 当 反变换
3、，初值跳变问题！Laplace变换的初值定理 终值定理：定义传递函数零初始条件下把上面的随动系统用传递函数表示，并化成框图，什么是零初始条件？如何从该框图求得与之间的关系？3. 框图及其变换一. 框图的几种连接方式串联 传递函数相乘 并联 传递函数相加 反馈 G(s)：前馈通道的传递函数H(s)：反馈通道的传递函数G(s)H(s)：开环传递函数同理可得正反馈下：前面随动系统的例子自己推导出 （1）传递函数 （2）微分方程二框图变换1）交叉反馈此例说明交叉点左右移动对传递函数的影响，跨越点，求和点要注意2）有扰动输入的情况a)求 （f=0） b)求 （r=0）c)为使y不受扰动f的影响应如何选？
4、a) b) 当 即，y不受f影响3）顺馈的例子： 变换框图：也可把它看成是双输入系统+补充题：4. 信号流图l 节点表示变量 (框图表示) (信号流图表示)l 两节点之间的传递函数叫传输（增益）,用直线加箭头表示 l 支路：两节点之间的定向线段l 回路：闭合的通路l 不接触回路：没有公共节点的回路前面补充题1用信号流图表示如下：计算信号流图中的两节点之间的传递函数用梅逊公式第i条前向通路传递函数的乘积流图的特征式= 1 - 所有回路传递函数乘积之和+每两个互不接触回路传递函数乘积之和-每三个. =1-此例，有前向通路三条回路四个互不接触回路 互不接触2顺馈的例子前向通路 回路： 无不接触回路
5、补充题2.前向通路：回路： ， ， ，不接触回路：L1L3, L1L4, L2L3, L2L4, L5L3, L5L4(作业：2.1 a. b. c. 2.5a(提示：用复数阻抗法) 2.50 2.51 补充二题.两种方法解：框图变换法和信号流图法5控制系统的基本单元1） 比例：2） 惰性（惯性）：，T.时间常数 阶跃响应特征3） 二阶振荡环节 T时间常数，阻尼系数特征方程的根 ，一对共轭复根（实部为负） 其响应表现为 衰减振荡 ，一对共轭虚根 等幅振荡 ， 两个相等负实根 单调衰减，两个不相等的负实根,可分解为两个惰性单元 单调衰减说明：系统动态响应的性质取决于其特征根的性质4） 积分 5）
6、延迟环节 6）微分环节 以上三个环节2）.3）.4）.的倒数分别称为一阶微分，二阶微分，纯微分 这些环节不能单独存在，只能与其它环节配合使用6线性化问题以放大器为例：在一定范围内输出与输入是线性关系y=kx，但是当放大器饱和时，y与x就不是线性关系了。 微偏线性化在工作点附近的小邻域内，将y与x之间的关系展成台劳级数设在附近可以表示成对相当多的，当足够小，且在点f(x)高阶导数不是时，忽略的高阶项，得即 ，这说明y的增量与x的增量之间的关系变成了线性关系举例：工作点设在等于0处，有：于是：电流按指数规律下降!第三章：线性系统的时域分析方法1稳定性前面讲的随动系统是一个四阶微分方程，代入参数得特
7、征方程特征根（为特解）A.B.C.D由初始条件求出分析 当，前三项，现将（为开环比例系数）增大10倍，再解特征方程得于是得可见取决于特征根。组成的分量诸如，叫运动模态由这个例子我们可以得到下面的结论：线性系统稳定的充分必要条件是特征方程的根部必须具有负的实部，或说特征根都在s平面的左半平面。但是，对于非线性方程，在有些初始条件下，解能达到一种确定的状态，称为稳定的运动，而在另一些初始条件下的解表现为不稳定的运动。所以，对一个非线性系统，不能笼统地称系统稳定与否，而只能说哪些解是稳定的，哪些是不稳定的。见书上p107图3.3例2稳定的Liapunov定义一 定义 如果一个关于X的微分方程组，在初
8、始条件下有解X(t)，且对于任意给定的正数0，总存在一个正数()，当初始条件变为时，只要|，其相应解在t的任何时刻都满足|,则称解是稳定的。如果不存在这样的正数，则称解是不稳定的。定义的几何解释见P.111图3.7 大范围稳定 任意大 渐进稳定 稳定，存在工程上希望的系统是大范围渐进稳定的。补充说明：一个高阶方程可以化成一个一阶微分方程组设： 有： 二.Liapunov第一方法（见书P.111112）1若线性化后系统特征方程的所有根均为负实数或实部为负的复数，则原系统的运动不但是稳定的而且是渐近稳定的。现性化过程中被忽略的高于一阶的项也不会使运动变成不稳定。2若线性化后系统特征方程的诸根中，只
9、要有一个为正实数或实部为正的复数，则原系统的运动就是不稳定的。现性化过程中被忽略的高于一阶的项也不会使运动变成稳定。3若线性化后系统特征方程的诸根中，有一些是实部为零的，而其余均具有负实部，则实际系统运的稳定与否与被忽略的高阶项有关。这种情况下不可能按照线性化后的方程来判断原系统的运动稳定性。若要分析原系统的运动稳定性必须分析原系统的非线性数学模型。3Routh判据 Routh-Hurwitz判据根据微分方程特征方程的系数，不解方程来判断是否有右半平面的根这就是Routh和Hurwitz分别独立提出来的稳定性判据，其功能是判断一个代数多项式有几个零点位于复数平面的右半面例1,特征方程构造Rou
10、th表23675414 -11 77看第一列：一次变号又一次变号第一列系数全为正，是系统稳定的充分必要条件出现负号说明有右半平面的根，有几个？看变号的次数此例有两个右半平面的根例2110245206240（）24第一列系数出现0，用一个小正数代替，如果上下元素相同，表示有一对纯虚根存在，如果相反，则认为有一次变号此例解得根为：例3 1-3一次变号0（） 2二次变号（负数）2这说明有两个根在右半平面+1，+1,-2例4 124-25248-500（8）0（96）24-50一次变号112.7-50出现全零行时构造一辅助多项式求导得： 用此行代替全0行 一次变号说明有一个正的实根0上下同号说明有一对
11、纯虚根全0行说明有一对大小相等关于原点对称的根。这一对根可以从辅助多项式构成的方程解出。0 解得：，-2 关于稳定的必要条件设想方程全部为负实根或实部为负的共轭复数则一定可以分解成下面一些因式的乘积 可见全部系数必为正 用Routh判据来分析一.二.三.阶系统可得判断一.二.三.阶系数稳定的充要条件作业：3.5 ,3.6,3.7,3.8, 3.9, 3.10, 3.12 关于Hurwitz判据不讲，可自己练习（作业可不做）4参数对稳定性的影响，参数稳定域系统的参数集中体现在k(开环比例系数)和诸T, 它们是影响系统稳定的主要因素 一般情况下，k过大不利于稳定（有些特殊情况，条件稳定） 增大时间
12、常数，不利于稳定 增多时间常数，不利于稳定参数稳定域（单参数，双参数稳定域）设一个系统得开环传递函数，试找出k的稳定范围首先列出特征方程：即 根据Routh判据 是k的稳定范围双参数稳定域特征方程：5静态误差一.引言 1）静差 表示系统的静态精度，只有稳定系统才谈得上静差2）静差与输入信号有关，衡量标准是用一些典型输入信号作为标准阶跃斜坡 加速度 二.定义基本定义 表现在框图上反映y的实际值，r体现对y的要求值对于有些复杂情况，从框图上找不到e 要求e=r-y是否可以把它变换成1） 先求出2） 求出对应的，即求出对应于闭环传递函数（y/r）的单位反馈的开环传递函数即：所以：三.静态误差的计算针
13、对一般情况（如前图）可见误差与和输入有关用Laplace变换的终值定理求系统在三种典型输入信号下的误差定义误差系数 位置误差系数 速度误差系数 加速度误差系数对三种典型输入的静态误差为四.系统类型与静差的关系以上我们定义了误差系数，导出了在特定输入信号的作用下，静差与误差系数的关系，而误差系数与系统的开环传递函数有关，也就是说与系统的参数和结构有关。设（1型，2型系统），注意的定义！对0型系统：对1型系统对2型系统总结如下表：五关于静差的物理解释初始条件：平衡位置，阀门开度，进水，出水当M增大，水位h降低，l变大，从而Q变大，h回升，当达到新的平衡，此时如果要保证这是一个有差系统现变成：l初始
14、状态：当M升为，h下降，电动机动作，提高直到达到新平衡此时试想：只要电动机就转，阀门就动作（不是开大就是关小）直到达到新平衡这是一个无静差系统。两者不同，前者是0型，后者是型，多了一个电动机，在把速度信号变为位置信号时多了一个积分环节。六对扰动的误差1扰动（P(t)）也是一种输入，系统静差由两部分组成，由r(t)引起的和由p(t)引起的代数和 1） 由r(t)引起的误差，可根据r(t)的性质和，求得， 此时p(t)=02） 由p(t)引起的误差，令r(t)=0，做框图变换，求在已知p(t)下，求出试分析 K(s)含积分和K(s)不含积分两种情况下的静差 K(s)含积分 解释，扰动作用点之前（左
15、）含积分，对阶跃扰动无静差 K(s)不含积分 自测题：求以下3题的静差1）第一种情况：r(t)=1(t), f(t)=1(t) 第二种情况：r(t)=t, f(t)=1(t)2）第一种情况：r(t)=1(t), f(t)=1(t) 第二种情况：r(t)=t, f(t)=1(t)3）第一种情况：r(t)=1(t), f(t)=1(t) 第二种情况：r(t)=t, f(t)=1(t)答案： r(t)=1(t), f(t)=1(t) r(t)=t, f(t)=1(t)1） -1/ 1/-1/2） 0 0 3） 0 0作业：3.14,15,16,17,18,21,23,246动态性能指标，二阶系统的运
16、动y(t)t1）超调 2）过渡过程时间y(t)达到的时间上升时间，y(t)第一次达到的时间延迟时间，y(t)达到一半的时间3）峰值时间，y(t)达到时的4）振荡次数5）爬行现象6）误差积分指标在阶跃函数作用下，误差的某个函数的积分值，无论哪一种都希望越小越好典型二阶系统另一种形式：在零初始条件下，解此方程有以下情况1）（是阻尼振荡频率）两个共轭虚根曲线如图3.26， y(t)衰减振荡趋近于1。2），两个相等的负实根，3），两个不相等的负实根， y(t)单调趋近于1分析：1） 看的作用：2）总在一起，T是个时间尺度，曲线展宽或压缩3）看两个根在s平面的分布，随着看根位置的变化 性能指标：1),2
17、）,令，得3）求4）近似估计值， 解释图3.21课堂练习：分析k,T,不同参数下的y(t)试画出曲线作业：3.19, 20 21 23 24 27 小结： 1）二阶系统对动态性能的影响 2） 能根据主要特征绘制阶跃响应曲线7高阶系统的二阶近似一个高阶系统的闭环传递函数，可以写成如下的形式-(i=1,n)系统的闭环极点-(j=1,m)系统的闭环零点在单位阶跃输入，零初始条件下，且假设这些零极点都是单极点（零点）、实数且互不相同。于是有：有 1）设一极点-远离原点，此极点处的留数为很小这表示远离原点的极点所对应的运动成分对于阶跃响应的影响很小2）设一零点-和一极点-很靠近，即很小 这一对零极点称为
18、偶极子此极点的留数 可见很小这表明如果有一零点与一极点相近，则这个极点所对应的运动成分在阶跃响应中所占的比重很小因此我们在分析高阶系统时，就可以把上述两种情况的极点化为次要因素而忽略。如果一稳定系统有一对左半平面的共轭复极点，而在它们附近又没有零点，则这一对共轭复极点称之为主导极点，这个系统就可以近似化为一个二阶系统，其动态特性是由这一对主导极点决定。8控制系统的校正问题介绍两种常用的校正方式，串联校正，局部反馈校正，以及两者的结合一.串联校正yr1. 当 特征方程为：当 当变大，变小，系统的响应快，但是也变小，振荡加剧。2（积分校正）设特征方程： 显然系统不稳定如果，特征方程 可以通过调整，
19、使系统具有希望的特征， 与不加积分比较，系统响应变慢不加积分的特征方程为：可见加积分 缺点-系统变慢，甚至于不稳定 优点-对克服静差有利3将上述两者结合起来，比例加积分， 设 比例加积分控制：1）有积分对克服静态误差有利 2）使响应可达到非振荡状态且不长， （不加比例积分：）4比例加微分控制信号无微分作用只要y(t)0,就产生使y(t)增大的控制作用，当时，y(t)还在增加，会出现过头现象，加了微分作用在t=时为零，在这段时间内，抑制的增加，好像在车辆到达目标之前，提前制动一样。微分作用只在信号发生变化时才起作用。5比例加积分加微分 PID综合了比例积分加微分的优点。二.局部反馈校正通常用局部
20、反馈改善局部特性，再配以串联校正设， 小闭环等效为 当时当中较大时，采用局部反馈可减少惰性。本章小结1 稳定问题 充要条件 稳定判据 2静差 系统类型 对典型信号的误差 对扰动的误差2 二阶系统的动态特性第四章频率响应法1引言从电路对正弦信号的响应，引出频率特性由电路知识可知，也是同频率的正弦信号，只不过幅值和相位发生变化，它们之间的关系满足我们称之为频率特性，它是一个复变函数（是将中的）。提出问题 1这种分析方法是否适合于一般系统，即如果已知传递函数，那它的频率特性是不是。 2如果输入不是正弦，而是一般周期函数，通过变换分解成一系列正弦函数之和。 3 如果是非周期函数，这种关系还成立吗？2变
21、换与非周期函数的频谱满足（狄里赫利）条件的周期函数，都可以用变换，表示为一系列的谐波（正余弦）之和其中： ，为的周期可以看出，周期函数的频谱是离散的，即只在，2，3等频率下有谱线。当是非周期函数，可以看成的周期函数这时基波，各次谐波之间的差趋向于无穷小，即无限接近，谐波的幅值非周期函数的频谱含有一切频率成分，即是由无穷多个无穷小的谐波组成，所以它的频谱是连续的。变换的数学描述 t举例：其图像为称为截止角频率从图中可以看到中含有一切频率成分，从代表频率为的那项谐波的幅值（除以一个无穷小量）代表频率为的那项谐波在时刻的初相角频带：通常指截止角频率的10倍。试想当越小时，f(t)越尖的频带越宽，由此
22、可知，变化越剧烈的函数，它的频带越宽，含有的高频成分越多。3频率特性现在我们来回答引言中的第一个问题，一个正弦信号加到一对象上，其输出与输入之间的关系，是不是可以用频率特性来表示，而频率特性是不是？ 其中: 同理可求 输出的模与输入的模之比等于G(j)的模y(t)与x(t)的相位差（就是的角）：频率特性，就是将G(s)中的是个复变函数，它的模表示的模。 它的角表示输出与输入的相位差现在我们将上述结论拓宽 如果输入信号不是正弦函数，而是一非周期函数，通过Fourier变换可以表示为一系列的正弦函数之和，对于每一项正弦函数都有上述关系。我们把频率特性定义为输出的Fourier变换与输入的Fouri
23、er变换之比。4频率特性的图像：1） 极坐标图：在复平面，把频率特性的模和角同时表示出来的图就是极坐标图。看一个惰性环节的频率特性 可以证明它的图像是一个半圆，令有2）对数坐标图横坐标为轴，以对数刻度表示之，十倍频程纵坐标为贝尔lg （分贝20 lg）对数分度： 画惰性环节的对数频率特性令，每增大十倍，下降20分贝相频： 对数频率特性优点：1） 展宽频率范围2）2） 几个频率特性相乘，对数幅、相曲线相加 4）两个频率特性互为倒数，幅、相特性反号，关于轴对称 5基本环节的频率特性1比例 ， 2积分 ， ， 3惰性 ，, 4二阶振荡 显然幅相特性都与有关，见p182-183,从 可以证明：峰值频率
24、峰值5微分（2.3.4的幅相反号）6延时环节， ， 7不稳定单元 ， ， 以上三者的模都是半圆 图像分别为： 6复杂频率特性的绘制1）相频特性：讨论（剪切频率）求法，作图法，计算法 讨论极坐标图大致形状： 2由图可知： 解得 小结：对最小相位系统、幅频特性与相频特性的关系如果幅频特性的斜率为如果幅频特性的斜率为的定义，开环幅频特性曲线（折线）过0分贝的频率。也叫剪切频率或穿越频率。3非最小相位系统的例子 非最小相位系统的幅相之间的关系没有象最小相位系统那样有确定的规律，必须根据具体对象具体分析。7闭环频率特性如果从开环频率特性求闭环频率特性 （设单位反馈）在任一下，开环频率特性的模角可表示为所
25、以闭环 如图所示可以看出求闭环频率特性很费事，人们提出：能否根据开环频率特性来判断闭环系统的一些性质呢？分析闭环（1）在低频段 （2）在高频段 （3）在中频段 （指在剪切频率的附近） 如果出现（模为1，角）这时，这种情况要尽可能避免可见闭环频率特性具有如下形状 这里再解释截止角频率与开环近似一致8Nyquist稳定判据映射定理 设W(s)在复平面一个封闭曲线内具有P个极点和Z个零点，当s向量沿封闭曲线顺钟向旋转一圈，所有向量也都顺钟旋转一周 W(s)顺钟向旋转的圈数N=Z-P设系统的开环传递函数：开环分母闭环分母构造一个函数做一封闭曲线D包围整个右半平面，且已知有p个极点在其中，现在我们关心是
26、这其中是否有闭环极点？按映射定理，当s沿D形围线顺钟向旋转一圈（1）什么是1+Q(s)旋转的圈数当s沿D形围线顺旋一圈 即当s沿无穷大半圆旋转时，Q(s)在原点处蠕动。我们只看从-+ ,旋转的周数按映射定理，若闭环系统稳定 在右半平面有0个极点 在右半平面有P个极点稳定的充要条件是：应顺钟向转-P圈 即逆钟向转P圈什么是？ 从-1点指向的向量举例：1K=20由可知，=0，其极坐标图如例所示。（从）当从 旋转0圈，例即N=0又知=0，。闭环稳定2同例，但100其极坐标图如例所示。例 可以判断出：N=2,又P=0, 闭环有两个根在右半平面从以上两例总结出规律：稳定与否看其极坐标图包不包-1点3 K
27、=2前面已说过D形围线不能通过的零点，现在已知开环有一个极点在虚轴上即在D形围线上，要对D形围线加以改造，如图例3.1。例.例.这样就把的极点归到左半平面仍认为， 从映射到平面沿无穷大半径从 如图例3.2 可以判断 N=0 Z=04同例3，但=20，其极坐标图如例所示。 可以判断N=2，所以 Z=2例小结：含有一个零极点的情况，闭环稳定与否可以从其开环极坐标图包不包-1来判断。5 对数坐标图和极坐标图如下所示。K变，相应于横轴上下移动 -1点的位置有四种情况（即点处于A，B，C，D四处），试判断哪几种情况稳定？（点位于A，C处闭环稳定，位于B，D处闭环不稳定）6非最小相位对象 其极坐标图如例6
28、所示例由图可以判断：N=-1（即逆钟向旋转一圈）N=Z-P，已知P=1，系统稳定。如果K增大，系统总是稳定的。当K减少至不包-1，系统就不稳定。非最小相位系统稳定与否不能看是否包-1点。用Routh判据可以得出：该系统稳定的范围是K3。7结构不稳定例子 P=0极坐标图如图例7所示可判断出N=2 由Z=N-P得Z=2 闭环不稳定例怎样使其稳定呢？加显然应该1）当 可以通过调整K使-1点处在B，可使系统稳定2）但3）可见2），3）的校正无济于事作业：4.21, 4.22, 4.24, 4.26, 4.28, 4.27（思）4.28（思） 4.31, 4.329、相对稳定性（稳定裕量）Routh判据
29、和Nyquist判据给出系统绝对稳定的信息，但稳定程度如何，离不稳定边缘还有多远？这是工程上最关心的由此引出稳定裕量 相角裕量当相角为时，开环模1,取其倒数，再用分贝表示 增益裕量Kg 增益裕量 1）上述定义是针对最小相位系统（都是正的） 这两个一正一负，正是非最小相位系统的特征2）工程上根据经验一般要求，之间，主要使用这一指标。10、从开环频率特性研究闭环系统的性能（针对最小相位） 1. 从开环对数幅频特性可以判断闭环稳定性及静态特性l 如果开环对数频率特性穿越0分贝时的斜率为-1，并且有一定宽度我们看如下频率特性-1段的宽度6.25， 可以看出这种结构和参数几乎是临界情况。如要求闭环系统稳定应以-1斜率穿越0分贝轴，且-1段的宽度为倍。l 该系统II型，K如何从图上求出？由K可知系统静特性 2. 如何从开环对数幅频特性来判断闭环系统的动态特能 主要看开环的中频段l 稳定裕量与动态性能（超调）的关系 有一些近似的关系 更粗略 （有一定范围）l 剪切频率与过渡过程时间的近似关系 让我们看 系统闭环以后 如果K，频带加宽 减小，说明频率尺度与时间尺度成反比关系 对于复杂系统也有类似关系 3. 高低频段特性与动态性能的关系 低频段主要影响静态特性 高频段要衰减得快些，抑制噪声4. 介绍几个经验公式作业：4.31, 4.32, 4.33
