1、图形操作问题 图形操作问题是当今中考命题的热点，是数形结合思想的拓展与升华，这类中考题，立足基础，突出创新与数学思想方法的考察.它有助于学生发展空间观念和创新能力的培养.解决这类题目，要求大家积极参与操作、实验、观察、猜想、探索、发现结论全过程，有效地提高解答操作题的能力.题型之一 折叠与翻折问题例1 如图，在ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 .【思路点拨】先根据翻折的性质确定D点的位置，然后再运用锐角三角函数、勾股定理以及中位线定理等知识可求出BD的长.【解答】如图，先规范地绘制出图形，如图
2、，取AC中点E，作线段BE的垂直平分线，那么该直线为直线l，与BC交于D点，连接DE，则DB=DE.作BC边的垂线AG、EF.AB=AC，BC=8，tanC=，GC=4，AG=6.易知EF为AGC的中位线，EF=3，CF=2.设BD=x，则DF=6-x.在RtEDF中，EFD=90，DF2+EF2=DE2，即(6-x)2+32=x2，解得x=.BD=.方法归纳：图形的折叠与翻折都属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件.另外折叠和翻折还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质.1.(2014宁波)用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是(
3、)2.(2014泰安)如图1是一直角三角形纸片，A=30，BC=4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD，如图2，再将图2沿DE折叠，使点A落在DC的延长线上的点A处，如图3，则折痕DE的长为( ) A. cm B.cm C.cm D.3 cm3.(2014德州)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB4，BC8，点E、F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：四边形CFHE是菱形；EC平分DCH；线段BF的取值范围为3BF4；当点H与点A重合时，EF2.以上结论中，你认为正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3
4、个 D.4个4.(2014潜江调考)如图，在RtABC中，C=90，AC=BC=6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动，将PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP为菱形，则t的值为( ) A. B.2 C.2 D.35.(2014襄阳)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：EF=2BE；PF=2PE；FQ=4EQ；PBF是等边三角形.其中正确的是( )
5、 A. B. C. D.6.(2014宜宾)如图，在RtABC中，B=90，AB=3，BC=4，将ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB= .7.(2014南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA=x，则x的取值范围是 .8.(2014随州)如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折B、D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕（如图2）.设AE=x（0xAC;当0x2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；当0x2时，六边形AEF
6、CHG周长的值不变.其中正确的是 .（写出所有正确判断的序号）题型之二 分割与剪拼问题例2 (2013淄博)矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4.(1)如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形，你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；(2)请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形.要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪纸，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图(使正方形的顶点都在网格的格点上).【思路点拨】(1)要在矩形纸片中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽；(2)先根据剪拼前后所得正方
7、形的面积和原长方形的面积相等求出正方形的边长为2，从而借助勾股定理在网格中确定4和2作为直角边构造直角三角形，将原长方形剪成4个直角边为4和2的直角三角形和4个边长为1的小正方形，然后把直角三角形的斜边作为新正方形的边长，通过旋转等图形变换拼出新正方形.【解答】(1)能.要在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽，即4，所以最大面积是16.(2)由剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等可知，剪拼成的面积最大的正方形的边长是=2.所以先将长方形的长边分为4和1两部分，然后将44的大正方形部分剪成4个斜边为2的直角三角形，将14的长方形剪
8、成4个边长为1的小正方形，具体剪法如下图：方法归纳：解决有关图形的裁剪和剪拼问题，关键是要分清裁剪和剪拼的区别，裁剪只包含“剪”的过程，而剪拼既包含“剪”的过程，又包含“拼”的过程，两者有着本质的区别，正确区分二者的意义是正确解决本题的关键.解决剪拼问题的突破口是剪拼前后的图形的面积不变.1.(2013广东)如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180，点E到了点E位置，则四边形ACEE的形状是 .2.(2013绵阳)对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪
9、出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”.若GOM的面积为1，则“飞机”的面积为 .3.(2014宁波)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角不再利用).A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面.现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？4.(2014宿迁)如图是两个全等的含30角的直角三角形.(1)将其相等边拼在一起，组成一个没有重叠部分的平面图形，请你画出所
10、有不同的拼接平面图形的示意图；(2)若将(1)中平面图形分别印制在质地、形状、大小完全相同的卡片上，洗匀后从中随机抽取一张，求取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率.5.(2014宁波)课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；(若两种方法分得的三角形成3对全等三
11、角形，则视为同一种)(2)ABC中，B=30，AD和DE是ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设C=x，试画出示意图，并求出x所有可能的值；(3)如图3，ABC中，AC=2，BC=3，C=2B，请画出ABC的三分线，并求出三分线的长.题型之三 学具操作问题例3 (2013广东)有一副直角三角板，在三角板ABC中，BAC=90,AB=AC=6.在三角板DEF中，FDE=90，DF=4，DE=4.将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止
12、运动.(1)如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，求EMC的度数和BF的长；(2)如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求CF和BF的长；(3)在三角板DEF的运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x的取值范围.【思路点拨】(1)利用三角形的外角性质或者三角形的内角和即可求得答案；(2)解直角三角形AFC即可；(3)本题需要分类讨论，以点C在三角板DEF的上方、内部、下方三种情况来讨论，同时注意点C分别在DE、FE上时BF的长.【解答】(1)三角板ABC中，BAC=90，AB=AC，B=ACB=45，
13、E=30，EMC=15.三角板DEF中，FDE=90，DF=4，BF=AB-DF=2.(2)由平移可知：ACF=E=30.在RtACF中，cosACF=，tanACF=,CF=4.AF=ACtanACF=6tan30=2.BF=AB-AF=6-2.(3)如图，分三种情况讨论：过点M作MNAB于点N,则MNDEAC，NMB=B=45,NB=NM,NF=NB-FB=MN-x.FMNFED.=,即=.解得MN=x.当0x2时，如图4，设DE与BC相交于点G,则DG=DB=4+x.y=SBGD-SBMF=DBDG-BFMN=(4+x)2-xx.即y=-x2+4x+8;当2x6-2时，如图5.y=SBC
14、A-SBMF=AC2-BFMN=36-xx.即y=-x2+18;当6-2x6时，如图6，设AC与EF交于点H.AF=6-x，AHF=E=30，AH=AF=(6-x).y=SFHA=(6-x)(6-x)=(6-x)2.综上所述，当0x2时，y=-x2+4x+8;当2x6-2时，y=-x2+18;当6-2x6时，y=(6-x)2.方法归纳：本题属于“操作类”问题，解题的重要方法是“实际操作”，即在解题的时候，用三角板进行了实际操作，会很快就求得第(1)问的结论，对于第(3)问的结论，通过“操作”可确定只需分三种情况讨论.1.(2014泰安)将两个斜边长相等的一副三角板纸片如图1放置，其中ACB=C
15、ED=90，A=45，D=30.把DCE绕点C顺时针旋转15得到D1CE1，如图2，连接D1B，则E1D1B的度数为( ) A.10 B.20 C.7.5 D.152.(2014孝感调考)如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是 度.3.(2013娄底)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图1所示位置放置，现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角(090)，如图2，AE与
16、BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM=AN；(2)当旋转角=30时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.4.将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起，设较短的直角边长为3.(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由；(2)如图2，将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由；(3)在RtBCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为多少时四边形ABC1D1为矩形？5.(2014衡阳)将一副三角尺如图1摆放在RtABC中，ACB=90，B=60；在RtDEF中，ED
17、F=90，E=45，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.(1)求ADE的度数；(2)如图2，将DEF绕点D顺时针方向旋转角(060)，此时的等腰直角三角尺记为DEF，DE交AC于点M，DF交BC于点N，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由.参考答案题型之一 折叠与翻折问题1.D 2.A提示：由图形的操作可知：DBC=30,DCA=90,EDC=30,BC=4 cm,DC=DC=cm,DE=cm.3.C提示：易证四边形CFHE是平行四边形，对角线HC与EF垂直，故四边形CFHE是菱形，正确；DE的长度无法确定，只有当DE=时，EC才平分DCH.故不
18、正确；当H与A重合时，BF最小为3，当点E与点D重合时，BF最大为4.故正确；当点H与点A重合时，求出EF2.故正确.4.B提示：连接PP交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PPBC，CDCQ=（6-t），BD=6-（6-t）=3+t.在RtBPD中，PB=AB-AP=6-t，而PB=BD，6-t=(3+t)，解得t=2.故选B.5.D提示：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出APE=30，然后求出AEP=60，再根据翻折的性质求出BEF=60，根据直角三角形两锐角互余求出EFB=30，然后根据直角三角形30角所对的直角边等于
19、斜边的一半可得EF=2BE，判断出正确；利用30角的正切值求出PF=PE，判断出错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出错误；求出PFB=60，BF=PF，然后得到PBF是等边三角形，判断出正确.6.7.2x8提示：当折痕经过B点时，BA=BA=8,此时x最大；当折痕经过D点时，x=2，此时x最小.8.题型之二 分割与剪拼问题1.平行四边形 2.143.(1)裁剪出的侧面个数为：6x+4(19-x)=（2x+76）个，裁剪出的底面个数为：5(19-x)=（-5x+95）个；(2)由题意得=.解得x=7.=30.答：能做30个盒子.4.(1)如图：(2)其中轴对称图形有
20、4个，所以取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率为=.5.(1)如图：(2)其中轴对称图形有4个，所以取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率为=.题型之三 学具操作问题1.D 2.1443.(1)证明：+EAC=90，NAF+EAC=90，=NAF.又B=F,AB=AF，ABMAFN.AM=AN.(2)四边形ABPF是菱形.理由：=30，EAF=90,BAF=120.又B=F=60,B+BAF=60+120=180，F+BAF=60+120=180，AFBC，ABEF，四边形ABPF是平行四边形.又AB=AF,四边形ABPF是菱形.4.(1)是.理由：ABDCDB，AD=BC，AB=CD.四边
21、形ABCD是平行四边形.(2)是.理由:ABD=C1D1B1=30，ABC1D1.又AB=C1D1，四边形ABC1D1是平行四边形.(3)由(2)知四边形ABC1D1是平行四边形，只要使ABC1=90,四边形ABC1D1即为矩形.又ABD=30，B1BC1=60.BC1B1=30.设BB1=x，则BC1=2x.由勾股定理，得BC21-BB21=B1C21.即(2x)2-x2=32.解得x=.即当点B的移动距离为时,四边形ABC1D1为矩形.5.(1)由题意知：CD是RtABC中斜边AB上的中线，AD=BD=CD.在BCD中，BD=CD且B=60，BCD为等边三角形，BCD=BDC=60.ADE=180-BDC-EDF=180-60-90=30.(2)的值不会随着的变化而变化，理由如下：MPD=A+ADE=30+30=60，MPD=BCD=60.MPD=BCD=60，PDM=CDN=，MPDNCD，=.又由(1)知AD=CD，=.在APD中，A=ADE=30，在等腰APD中，=.=.
