1、利用空间向量证明平行与垂直关系基础训练1设a(x,4,3)，b(3,2，z)，且ab，则xz()A4 B9C9 D.答案：B解析：因为ab，所以，所以x6，z，所以xz9.2已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A. B.C. D.答案：D解析：(1,1,0)，(1,0,1)，设平面ABC的一个法向量n(x，y，z)，令x1，则y1，z1，n(1,1,1)单位法向量为：.3已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，下列结论正确的是()Aab，ac Bab，acCac，ab D以上都不对答案：C解析：因为ab0，c2a，所以a
2、c，ab.4若平面，的法向量分别为n1(2,4,5)，n2(8,1，4)，则()A BC，相交但不垂直 D以上均不正确答案：B5已知向量a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)若a，b，c三个向量共面，则实数()A. B. C. D.答案：D解析：由题意，得ctab(2t，t4，3t2)，所以解得故选D.62019山东泰安模拟已知长方体ABCDA1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是()A. B.C. D.答案：D解析：当侧面BCC1B1是正方形时，可得0，所以排除A.当底面ABCD是正方形时，AC垂直于对角面BD1，所以排除B.显然排除C.由图可得BD1与BC所成的角小于9
3、0.7已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15答案：B解析：，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，又(3,1,4)，则解得8在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件_时，就有MNA1C1；当N只需满足条件_时，就有MN平面B1D1C.答案：点N在EG上点N在EH上解析：以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间
4、直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M，N(x,0，z)，(1,1,0)，因此(1,1,0)1x0，即x，故点N在EG上，就有MNA1C1.设平面B1D1C的一个法向量为n(1,1,1)，若MN平面B1D1C，则n(1,1,1)1xz0，即xz0，故点N在EH上，就有MN平面B1D1C.9点B(，0,0)是点A(m,2,5)在x轴上的射影，则点A到原点的距离为_答案：4解析：点B(，0,0)是点A(m,2,5)在x轴上的射影，所以m，所以点A到原点的距离为d4.102019河南南阳模拟已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合
5、的两个平面与的位置关系是_答案：解析：设平面的法向量m(x，y，z)，由m0，得x0yz0yz，由m0，得xz0xz，取x1，所以m(1,1,1)，mn，所以mn，所以.11如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，设E，F分别为PC，BD的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PDC.证明：如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PAPD，所以POAD.因为侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OFAB.又ABCD是正方形，所以OFAD.因为
6、PAPDAD，所以PAPD，OPOA.以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间建立直角坐标系，则A，F，D，P，B，C.因为E为PC的中点，所以E.(1)易知平面PAD的一个法向量为，因为，且0，所以EF平面PAD.(2)因为，(0，a，0)，所以(0，a,0)0，所以，所以PACD.又PAPD，PDCDD，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.强化训练1在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于 ( )AAC BBD CA1D DA1A答案：B解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴
7、建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E，所以，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)显然00，所以，即CEBD.22019河北石家庄模拟 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACC EF与BD1相交DEF与BD1异面答案：B解题指南：建立空间直角坐标系，用向量法求解解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设
8、正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.32019广东清城区一模已知向量a(2m1,3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于()A. B2 C0 D.或2答案：B解析：向量a(2m1,3，m1)，b(2，m，m)，且ab.存在实数，使得(2m1,3，m1)(2，m，m)(2，m，m)，解得m2.4已知三点A(2,1,2)，B(1,2,3)，C(1,1,1)，O是坐标原点，点Q在直线OC上的运动，
9、则当取得最小值时，点Q的坐标是()A. B.C. D.答案：B解析：设(，)，则(2，1，2)(1，2，3)321110，当时取得最小值，点Q的坐标为.5已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1, 4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_答案：解析：因为0，0，所以ABAP，ADAP，则正确又与不平行，所以是平面ABCD的法向量，则正确因为(2,3,4)，(1,2，1)，所以与不平行，故错62019山东济南质检 如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，
10、PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.证明： (1)如图，以O为原点，以射线OD为y轴正半轴，以射线OP为z轴正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)(0,3,4)，(8,0,0)，由此可得0，所以，即APBC.(2)由(1)，知|AP|5，又|AM|3，且点M在线段AP上，又(4，5,0)，(0,3,4)0.，即APBM，又根据(1)的结论，知APBC，AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BMC.7
11、2019河南洛阳一模如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC4，ABAD2.(1)求证：ACBF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由(1)证明：平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，AFAD，AF平面ADEF，AF平面ABCD.AC平面ABCD，AFAC.过A作AHBC于H，则BH1，AH，CH3，AC2，AB2AC2BC2，ACAB，ABAFA，AC平面FAB，BF平面FAB，ACBF.(2)解：存在由(1)知，AF，AB，AC两两垂直以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(1，2)假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设，则0，P.设平面PAC的法向量为m(x，y，z)由，(0,2，0)，得即令x1，则z，所以m为平面PAC的一个法向量同理，可求得n为平面BCEF的一个法向量当mn0，即时，平面PAC平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时.
