1、函数的单调性与最值(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2013沈阳模拟)下列函数在(0,+)上是增函数的是()A.y=ln(x-2)B.y=-C.y=x-x-1D.y=【解析】选C.函数y=ln(x-2)在(2,+)上为增函数,y=-在0,+)上为减函数,y=x-x-1=x-在(0,+)上为增函数,y=在0,+)上为减函数,故C正确.2.(2014衢州模拟)下列函数中,值域为(-,0)的是()A.y=-x2B.y=3x-1C.y=D.y=-【解析】选B.函数y=-x2的值域为(-,0;y=3x-1的值域为y3-1=0,即y(-,0);y=的值域为(-,0)(0,+);y
2、=-(-,0.3.(2014珠海模拟)若函数y=ax与y=-在(0,+)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增【解析】选B.因为y=ax与y=-在(0,+)上都是减函数,所以a0,b0,所以y=ax2+bx的对称轴x=-0,则一定正确的是()A.f(4)f(-6)B.f(-4)f(-6)D.f(4)0知f(x)在(0,+)上递增,所以f(4)f(-6).5.(2014杭州模拟)设函数f(x)=-,x表示不超过x的最大整数,则函数y=f(x)的值域是()A.0,1B.0,-1C.-1,1D.1,1【思路点拨】先求f(x)的值域,再据x的规
3、定求f(x)的值域.【解析】选B.因为0f(1)的解集是()A.(-3,1)(3,+)B.(-3,1)(2,+)C.(-1,1)(3,+)D.(-,-3)(1,3)【解析】选A.当x0时,f(x)f(1)=3,即x2-4x+63,解得0x3;当xf(1)=3,即x+63,解得-3xf(1)的解集是(-3,1)(3,+).【加固训练】已知f(x)是定义在(0,+)上的单调递增函数,且满足f(3x-2)f(1),则实数x的取值范围是()A.(-,1)B.C.D.(1,+)【解析】选B.因为f(x)是定义在(0,+)上的单调递增函数,且满足f(3x-2)f(1),所以x,所以实数x的取值范围是,故选
4、B.7.(2014厦门模拟)定义在R上的函数f(x)在区间(-,2)上是增函数,且f(x+2)的图象关于x=0对称,则()A.f(-1)f(3)C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3)【思路点拨】由已知得到f(x)的对称性,进而作出图象大致形状,数形结合求解.【解析】选A.因为f(x+2)的图象关于x=0对称,所以f(x)的图象关于x=2对称,又f(x)在区间(-,2)上是增函数,则其在(2,+)上为减函数,作出其图象大致形状如图所示.由图象知,f(-1)f(3),故选A.8.(能力挑战题)(2013金华模拟)设函数g(x)=x2-2(xR), f(x)=则f(x)的值域是()A.(1,
5、+)B.0,+)C.D.(2,+)【思路点拨】明确自变量的取值范围,先求每一部分的函数值范围,再取并集求值域.【解析】选D.由x0,则x2.因此由xg(x)=x2-2得-1x2.于是f(x)=当x2时,f(x)=+2.当-1x2时,f(x)=-,且f(-1)=f(2)=0,所以-f(x)0.由以上可得f(x)的值域是(2,+).二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2014台州模拟)如果函数f(x)=ax2-3x+4在区间(-,6)上单调递减,则实数a的取值范围是.【解析】(1)当a=0时,f(x)=-3x+4,函数在定义域R上单调递减,故在区间(-,6)上单调递减.(2)当a0时,二次函数
6、f(x)的对称轴为直线x=.因为f(x)在区间(-,6)上单调递减,所以a0,且6,解得0a.综上所述,0a.答案:【误区警示】本题易忽视a=0的情况而失误.10.函数f(x)=在R上是减函数,则实数a的取值范围是.【思路点拨】由于f(x)为R上的减函数,所以当xf(-1),由此可求得a的取值范围.【解析】因为f(x)为R上的减函数,所以必有f(-1),即1+a-1,所以a-2.答案:a-2【加固训练】(2013保定模拟)已知函数f(x)=在R上单调递减,则实数a的取值范围是.【解析】因为函数f(x)=在R上单调递减,所以g(x)=x2+ax在(-,1上单调递减,且h(x)=ax2+x在(1,
7、+)上单调递减,且g(1)h(1),所以解得a-2.答案:a-211.(2014宁波模拟)规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算,即ab=+a+b,a,b是正实数,已知1k=3,则函数f(x)=kx的值域是.【解析】由题意知1k=+1+k=3,解得k=1,所以f(x)=kx=1x=+1+x=(+)2+,因为0,所以f(x)1.答案:(1,+)12.函数f(x)的定义域为A,若x1,x2A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(xR)是单函数,下列命题:函数f(x)=x2(xR)是单函数;指数函数f(x)=2x(xR)是单函数;若f(x)为
8、单函数,x1,x2A且x1x2,则f(x1)f(x2);在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是(写出所有真命题的编号).【解析】对于,x1=2,x2=-2时,f(x1)=f(x2),而x1x2,故函数f(x)=x2不为单函数,故错;对于,因为y=2x在定义域内为单调增函数,故正确;对于,假设f(x1)=f(x2),由f(x)为单函数,故x1=x2,这与x1x2矛盾,故原命题成立,故正确;对于,因函数在定义域上具有单调性,即满足f(x)为单函数的定义,故正确.答案:三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(2014温州模拟)已知函数f(x)=loga(1-x)+log
9、a(x+3)(0a1).(1)求函数f(x)的定义域.(2)若函数f(x)的最小值为-4,求实数a的值.【解析】(1)要使函数有意义:则有,解之得-3x1.所以函数的定义域为x|-3x1.(2)函数可化为f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga-(x+1)2+4.因为-3x1,所以0-(x+1)2+44.因为0a1,所以loga-(x+1)2+4loga4,即f(x)min=loga4.由loga4=-4,得a-4=4,所以a=.故实数a的值为.14.已知函数f(x)=a-.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+)上是增函数.(2)若f(x)2x在(1,+
10、)上恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当x(0,+)时,f(x)=a-,设0x10,x2-x10,f(x2)-f(x1)=-=-=0,所以f(x)在(0,+)上是增函数.(2)由题意a-2x在(1,+)上恒成立,设h(x)=2x+,则ah(x)在(1,+)上恒成立.任取x1,x2(1,+)且x1x2,h(x1)-h(x2)=(x1-x2).因为1x1x2,所以x1-x21,所以2-0,所以h(x1)h(x2),所以h(x)在(1,+)上单调递增.故ah(1)即a3,所以a的取值范围是(-,3.15.(能力挑战题)(2014绍兴模拟)已知函数f(x)的定义域是(0,+),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f=1,如果对于0xf(y).(1)求f(1).(2)解不等式f(-x)+f(3-x)-2.【解析】(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0.(2)由题意知f(x)为(0,+)上的减函数,且所以x0,因为f(xy)=f(x)+f(y),x,y(0,+)且f=1.所以f(-x)+f(3-x)-2,可化为f(-x)+f(3-x)-2f,f(-x)+f+f(3-x)+f0=f(1),f+ff(1),ff(1),则解得-1x0.所以不等式的解集为-1,0).
