1、压轴小题抢分练(三)压轴小题集训练,练就能力和速度,筑牢高考满分根基!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列an满足a1=1,an+1-an2(nN*),则()A.an2n+1B.Snn2C.an2n-1D.Sn2n-1【解析】选B.由题得a2-a12,a3-a22,a4-a32,an-an-12,所以a2-a1+ a3-a2+a4-a3+an-an-12(n-1),所以an-a12(n-1),所以an2n-1.所以a11,a23,a35,an2n-1,所以a1+a2+a3+an1+3+5+2n-1,所以Sn(1+
2、2n-1)=n2.2.如图,三棱锥P-ABC中,PAB,PBC均为正三角形,ABC为直角三角形,斜边为AC,M为PB的中点,则直线AM,PC所成角的余弦值为()A.-B.C.D.13【解析】选B.如图,取BC的中点N,连接MN,AN,易得MNPC,则MN,AM所成的角即为直线AM,PC所成的角.设AB=2,则AN=,MN=1,AM=.在AMN中,由余弦定理,得cosAMN=-,所以直线AM,PC所成角的余弦值为.3.把函数f(x)=log2(x+1)的图象向右平移一个单位,所得图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称;已知偶函数h(x)满足h(x-1)=h(-x-1),当x0,1时,h(x)
3、=g(x)-1;若函数y=kf(x)-h(x)有五个零点,则k的取值范围是()A.(log32,1)B.log32,1)C.D.【解析】选C.曲线f(x)=log2(x+1)右移一个单位,得y=f(x-1)=log2x,所以g(x)=2x,h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1),则函数h(x)的周期为2.当x0,1时,h(x)=2x-1,y=kf(x)-h(x)有五个零点,等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图象如图所示,由图象知kf(3)1,即klog241,求解不等式组可得:log62k12.即k的取值范围是 .4.已知点M是边长为2的正方形ABCD的
4、内切圆内(含边界)一动点,则的取值范围是()A.-1,0B.-1,2C.-1,3D.-1,4【解析】选C.如图所示,由题意可得:点M所在的区域为:(x-1)2+(y-1)21(0x2,0y2).可设点M(x,y),A(0,0),B(2,0).所以=(-x,-y)(2-x,-y)=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1,由(x-1)2+y20,2,所以-1,3.5.设函数f(x)=|ex-e2a|,若f(x)在区间(-1,3-a)内的图象上存在两点,在这两点处的切线相互垂直,则实数a的取值范围为()A.B.12,1C.-3,-12D.(-3,1)【解析】选A.f(x)=|ex-e2a|=f
5、(x)=若存在x1x2使得f(x1)f(x2)=-1,则必有-1x12ax23-a.由-12a3-a得-12a1,由-1x12ax23-a得2a-1x1+x2a+3,由f(x1)f(x2)=-1得x1+x2=0,所以2a-10a+3,得-3a12.综上可得-12a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,Q为双曲线C渐近线上一点,P,Q均位于第一象限,且2=,=0,则双曲线C的离心率为()A.-1B.+1C.13-2D.13+2【解析】选C.设Q(at,bt)(t0),P(m,n),注意到F1QF2=90,从而OQ=c,故b2t2+a2t2=c2,即t=1,故=(m-a,n-b
6、),=(c-m,-n).因为2=,所以解得m=c+2a3,n=2b3,代入双曲线方程,则有(c+2a)29a2-4b29b2=1,ca=13-2.7.已知函数y=x2的图象在点(x0,x02)处的切线为l,若l也与函数y=ln x,x(0,1)的图象相切,则x0必满足()A.0x012B.12x01C.x0D.x012,y=ln x的切线为y=1x1x-1+ln x1,l为y=2x0x-x02,故x02=1-ln ,x02-1-ln 2x0=0.令h(x)=x2-1-ln 2x,则h()=1-ln 20,由零点存在定理得x0(,),选D.8.已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,
7、当取最小值时,a+b-c的最大值为()A.2B.34C.38D.14【解析】选C.正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2,=a2-ab+4b2ab=ab+4ba-12-1=3.当且仅当a=2b时取得等号,则a=2b时,取得最小值,且c=6b2,所以a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6+38当b=14时,a+b-c有最大值为38.9.设实数m0,若对任意的xe,不等式x2ln x-m0恒成立,则m的最大值是()A.B.C.2eD.e【解析】选D.不等式x2ln x-m0 x2ln xmxln xmxemx ln xeln xmxemx,设f(x)
8、=xex(x0),则f(x)=(x+1)ex0,所以f(x)在(0,+)上是增函数.因为mx0,ln x0,所以mxln x,即mxln x对任意的xe恒成立,此时只需m(xln x)min.设g(x)=xln x (xe),g(x)=ln x+1 0(xe),所以g(x)在e,+)上为增函数,所以g(x)min=g(e)=e,所以me,即m的最大值为e.10.已知F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限内的点,延长PF2交椭圆于点Q,若PF1PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为()A.2-B.-C.-1D.-【解析】选D.由PF1P
9、Q且|PF1|=|PQ|,可得PQF1为等腰直角三角形,设|PF1|=t,|QF1|=t,即有2t+t=4a,则t=2(2-)a,在直角PF1F2中,可得t2+(2a-t)2=4c2,化为c2=(9-6)a2,可得e=ca=-.11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内有两个球O1,O2相外切,球O1与面ABB1A1、面ABCD、面ADD1A1相切,球O2与面BCC1B1、面CC1D1D、面B1C1D1A1相切,则两球表面积之和的最大值与最小值的差为()A.(2-)B.C.(3-)D.【解析】选A.设球O1,O2的半径分别为r1,r2,由题意得r1+r1+r2+r2=,所以r1+r2
10、=3-32,令a=3-32.表面积和为S,所以S=4+4,所以=+=+(a-r1)2=2r1-a22+a22,又r1最大时,球O1与正方体六个面相切,且(r1)max=12,(r1)min=3-32-12=2-32.所以r12-32,12.又2-3212,所以当r1=时,=a22,当r1=12或2-32时,=a2-a+12,所以-=a22-a+12=(a-1)22=2-34.所以两球表面积之和的最大值与最小值的差为(2-).12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,则a的取值范围是()A.-32e,1B.-32e,34C.D.【解析】选
11、D.设g(x)=ex(2x-1),h(x)=ax-a,由题意,知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线h(x)=ax-a的下方.因为g(x)=ex(2x+1),所以当x-12时,g(x)-12时,g(x)0,所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,作出g(x)与h(x)的大致图象,如图所示,故即所以a0可得:a1=1;当n=2时,2(a1+a2)=a2+1a2,结合a20可得:a2=-1;当n=3时,2(a1+a2+a3)=a3+1a3,结合a30可得:a3=-;猜想an=以下用数学归纳法进行证明:当n=1,n=2时,结论是成立的,假设当n2时,数列an的通项公式为:ak=k-,则Sk=k,
12、由题意可知:2Sk+1=ak+1+,结合假设有:2(+ak+1)=ak+1+,解得:ak+1=-k,综上可得数列an的通项公式是正确的.据此可知:Sn=n,=n,利用等差数列前n项和公式可得:Tn=,则Tn+55n=n10+,结合对勾函数的性质可知,当n=3或n=4时,Tn+55n取得最小值,当n=3时Tn+55n=n10+=1115,当n=4时Tn+55n=n10+=34,由于111534,据此可知Tn+55n的最小值为1115.答案:111515.如图,在ABC中,BC=2,ABC=,AC的垂直平分线DE与AB,AC分别交于D,E两点,且DE=,则BE2=_.【解析】由题意知DE垂直平分A
13、C,所以A=ACD,故BDC=2A,所以CDsin60掳=BCsin2A=2sin2A,故CD=.又DE=CDsinACD=CDsin A=,所以cos A=,而A(0,),故A=,因此ADE为等腰直角三角形,所以AE=DE=.在ABC中,ACB=,所以ABsin5蟺12=,故AB=3+1,在ABE中,BE2=(+1)2+622-2(+1)=52+.答案:52+16.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2.圆C2上存在点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点为A,B,ABP的面积为1,则正数m的取值范围是_.【解析】如图,由
14、圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2,得C1(1,0),C2(m,-m),设圆C2上点P,则PA2=PGPC1,而PA2=PC12-2,所以PC12-2=PGPC1,则PG=PC12-2PC1,AG=PA2-PG2=,所以SPAB=212PC12-2PC1=(PC12-2)2PC12-4PC12=1.令=t(t0),得t3-t2-4=0,解得:t=2.即=2,所以PC1=2.圆C2:(x-m)2-(y+m)2=m2上点P到C1距离的最小值为|C1C2|-m=-m,最大值为|C1C2|+m=+m,由-m2+m,得解得:3-2m3+2,解得:m-3或m1.取交集得:1m3+23.所以正数m的取值范围是1,3+2.答案:1,3+2
