1、2021年中考数学一轮复习：圆的综合 几何压轴练习题1如图，AB是O的直径，BM切O于点B，点P是O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQAP交BM于点Q，过点P作PEAB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE（1）求证：直线PQ为O的切线；（2）若直径AB的长为4当PE 时，四边形BOPQ为正方形；当PE 时，四边形AEOP为菱形2已知AB是O的直径，DA为O的切线，切点为A，过O上的点C作CDAB交AD于点D，连接BC、AC（1）如图，若DC为O的切线，切点为C，求ACD和DAC的大小（2）如图，当CD为O的割线且与O交于点E时，连接AE，若EAD30，
2、求ACD和DAC的大小3已知AB为O的直径，点C为O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC（）如图，OBBD，若DC与O相切，求D和A的大小；（）如图，CD与O交于点E，AFCD于点F连接AE，若EAB18，求FAC的大小4如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，以AC为直径的O分别交AB、BC于点M、N，过点C作O的切线交AB的延长线于点P（1）求证：CAB2BCP；（2）若O的直径为5，sinBCP，求ABC内切圆的半径；（3）在（2）的条件下，求ACP的周长5如图，ABC中，ACB90，AC3，BC4，延长BC到点D，使BDBA，P是BC边上一点点Q在射线BA上，PQBP，以点P为圆心，P
3、D长为半径作P，交AC于点E，连接PQ，设PCx（1）AB ，CD ，当点Q在P上时，求x的值；（2）x为何值时，P与AB相切？（3）当PCCD时，求阴影部分的面积；（4）若P与ABC的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围6如图1，以AB为直径作O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作ACB的平分线交O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E（1）如图1，连结AD，求证：ADCDEC（2）若O的半径为5，求CACE的最大值（3）如图2，连结AE，设tanABCx，tanAECy，求y关于x的函数解析式；若，求y的值7如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，CO的延
4、长线交O于点E，交BD的延长线于点F，连接FA，且恰好FACD，连接BE交CD于点P，延长BE交FA于点G，连接DE（1）求证：FA是O的切线；（2）求证：点G是FA的中点；（3）当O的半径为6时，求tanFBE的值8如图1，RtABC中，ABC90，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作O交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB3，BC6（1）求线段BE的长；（2）如图2，若BP平分ABC，求BDE的正切值；（3）是否存在点P，使得BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由9如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点（
5、不与点A、B重合），D是的中点，DEAB于点E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F（1）求证：FCDADE；（2）填空：当FCD的度数为 时，四边形OADC是菱形；若AB2，当CFAB时，DF的长为 10如图，在DAM内部做RtABC，AB平分DAM，ACB90，AB10，AC8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作O（1）判断AEF的形状为 ，并判断AD与O的位置关系为 ；（2）求t为何值时，EN与O相切？求出此时O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（
6、3）直接写出AEF的内心运动的路径长为 ；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与O有两个公共点时，t的取值范围为 （参考数据：sin37，tan37，tan74，sin74，cos74）参考答案1（1）证明：OQAP，EOCOAP，POQAPO，又OPOA，APOOAP，又BOQEOAOAP，POQBOQ，在BOQ与POQ中，POQBOQ（SAS），OPQOBQ90，点P在O上，PQ是O的切线；（2）解：POQBOQ，OBQOPQ90，当BOP90，四边形OPQB为矩形，而OBOP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PEPOAB2；PEAB，当OCA
7、C，PCEC，四边形AEOP为菱形，OCOA1，PC，PE2PC2故答案为：2；22解：（1）AB是O的直径，DA为O的切线，切点为A，DAAB，DAB90，DC为O的切线，切点为C，DCDA，CDAB，D+DAB180，D90，ACDDAC45；（2）AB是O的直径，DA为O的切线，切点为A，DAAB，DAB90，DEAEAB，ADC90，EAD30，DEA60，EAB60，BCE120，AB是O的直径，BCA90，ACD30，DAC603解：（）如图，连接OC，BC，AB为O的直径，ACB90，DC与O相切，OCD90，OBBD，BCODOBBD，BCOBOC，OBC是等边三角形，OBCO
8、CBCOB60，BCDOCA30，DA30；（）如图，连接BE，AB为O的直径，AEB90，AFCD，AFC90，ACF是圆内接四边形ACEB的外角，ACFABE，FACEAB18，答：FAC的大小为184解：（1）如图，连接AN，AC为直径，ANBC，ABAC，AN平分BAC，PC是圆的切线，ACP90，NAC+ACBPCB+ACB90，NACBCP，即BAC2BCP；（2）由（1）知，AN平分BAC，则NACBCP，故sinNACsinBCP，则tanNAC，在RtNAC中，AC5，NCACsinNAC5，同理AN2，则BC2NC2；SABCBCAN2210，设ABC内切圆的半径为r，则S
9、ABC（AB+AC+BC）r（5+5+2）r10，解得：r；故ABC内切圆的半径为；（3）在ABC中，设AC边长的高为h，则SABCACh5h10，解得：h4，sinBAC，在RtACP中，sinBAC，设PC4m，则AP5m，则AC3m5，解得m，ACP的周长3m+4m+5m12m205解：（1）ABC中，ACB90，AC3，BC4，AB5，BDBA，BD5，CD1故答案为：5，1；当点Q在P上时，如图1，PQPDBPPD，即4xx+1解得x（2）作PFAB于点F，当PFPD时，P与AB相切，如图2，则PFPDx+1，sinB，解得x经检验，x是分式方程的解，且满足题意x时，P与AB相切（3
10、）如图3，连接PE，RtPEC中，PCCD1，PEPD1+12，EPC60，ECS阴影S扇形PDESPCE1（4）由图2可知，当0x时，P与ABC的三边有两个公共点；由图1可知，当x4时，P与ABC的三边有两个公共点x的取值范围为：0x或x46（1）证明：ABDE，ABCE，ADCABC，ADCE；（2）解：CD平分ACB，ACDDCE，又ADCE，ADCDEC，即CD2CACE，又O的半径为5，CACECD2102100即CACE的最大值为100（3）解：连接AD，ADCDEC，ytanAEC，过点D作DFCE，不妨设EFa，CEDCBA，DCE45，CFDFax，CDax，y，9：4，即x
11、：y9：4，将yx代入y得，解得，x12，x2，当x2时，y，当x时，y，y或7（1）证明：AB是O的直径，CD是O的一条弦，ABCD，又FACD，FAAB，OA过O，FA是O的切线；（2）证明：连接AE，AB是O的直径，AEBG，又FAAB，GEABAG，又BGAEGA，GABGEA，GA2GBEG，FACD，CEFG，又CFBE，EFGFBE，又FGEBGF，FEGBFG，GF2GBGE，GFGA，G为AF的中点；（3）解：FACD，又GFGA，DPHP，又CE是O的直径，D在圆上，CDDE，又ABCD于点H，EOOC，点H是CD的中点，ABDE，又DPHP，DEBH，又点O是CE中点，点
12、H是CD的中点，OHDEBH，又O的半径为6，OH2，CH4，tanFBEtanC8解：（1）ABC90，AB3，BC6，AC3，BP为O的直径，BEP90，BEAC，SABCABAC，BE；（2）BP平分ABC，DBPABC45，连接DP，如图1，BP为O的直径，DBPDPB45，可设DPBDx，CDPABC90PDAB，CPDCAB，2，CD2x，CB3x6，x2，DPBD2，CD4，CP2，CE，tanBDEtanBPE3（3）解：存在这样的点P由DCPBCA，得，CPCD，若BDE是等腰三角形，可分三种情况：当BDBE时，BDBE，CDBCBD6，CP33当BDDE时，此时点D是RtC
13、BE斜边的中点，CDBC3，CP；当DEBE时，作EHBC于点H，则H是BD的中点，ABCEHC90，EHAB，又AEACCE3，BHDH，CD6，CP综上所述，BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为33或或9（1）证明：连接OC、AC如图1所示：D是的中点，DADC，DACDCAOAOC，OACOCADAC+OACDCA+OCA，即OADOCDCF是半圆O的切线，CFOC，FCD+OCD90，DEAB，ADE+OAD90，FCDADE（2）解：当FCD的度数为30时，四边形OADC是菱形；理由如下：连接OD，如图2所示：FCD30，ADE30，DEAB，OAD60，OAOD，OAD是等边三
14、角形，ADOA，AOD60，D是的中点，AODCOD60，OCOD，COD是等边三角形，CDODOC，OAADCDOC，四边形OADC是菱形；故答案为：30；连接OD，如图3所示：AB2，OAOD，CFAB，DEAB，CFEF，CFD90DEA，在ADE和DCF中，ADEDCF（AAS），AEDF，DECF，CF半圆O的切线，CFOC，四边形OCFE是矩形，CFOE，DEOE，ODE是等腰直角三角形，OEOD1，DFAEOAOE1；故答案为：110解：（1）过点E作EHAF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：ACB90，AB10，AC8，BC6，设运动时间为t，则AE5t，AF8t，AHE
15、ACB90，EAHBAC，EAHBAC，即：，AH4t，FHAFAH8t4t4t，AHFH，EHAF，AEF是等腰三角形，E为的中点，EAFEFA，AHFH，OHAC，E、H、O三点共线，OAF+AOE90，AB平分DAM，DAEEAFEFA，AOE2EFA，AOEDAE+EAFDAF，DAF+OAF90DAO，即OAAD，OA为O的半径，AD与O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：由（1）知：EHAC，EN与O相切，OEN90，ACB90，四边形EHCN为矩形，EHNC，在RtAHE中，EH3t，NC3t，点N为BC的中点，BC2NC6
16、t，BC6，6t6，t1，AH4，EH3，设O的半径为x，则OHx3，在RtAOH中，由勾股定理得：OA2OH2+AH2，即x2（x3）2+42，解得：x，O的半径为，OH，tanAOH，AOH74，AOH60时，AOE是等边三角形，AEOA，7460，AEOA，劣弧长度的大于半径；（3）当点E运动到B点时，t1052，AF2816，AEEFAB10，此时AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，AEF的内心运动的路径长为AG，作GPAE于P，GQEF于Q，连接AG、GF，则CGPGNQ，如图3所示：SAEFAFBC16648，设CGPGNQa，则SAEFSAGF+SAEB+SFEG
17、AFCG+AEPG+EFGQ（16+10+10）a48，解得：a，在RtAGC中，AC2+CG2AG2，即82+（）2AG，AG，故答案为：；（4）分别讨论两种极限位置，当EN与O相切时，由（2）知，t1；当N在O上，即ON为O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OKBC于K，如图4所示：则四边形OKCH为矩形，OAOEON，OHCK，AH4t，EH3t，设O的半径为x，则在RtAOH中，AH2+OH2OA2，即（4t）2+（x3t）2x2，解得：xt，OHCKt3tt，在RtOKN中，OK2+KN2ON2，即（84t）2+（3+t）2（t）2，解得：t，线段EN与O有两个公共点时，t的取值范围为：1t，故答案为：1t
