1、 第 1 页 苏州市 2018 届高三调研测试 数学试题 20181 命题指导思想 1.数学试卷坚持“原创为主，改编为辅”的命题方式，知识点不超纲，基本题不设障碍，原创题 能围绕考生熟悉的情境来设置，改编题基本来自于教材以及通用复习资料，体现平稳中有变化，平 和里有创新，坚持能力立意，尊重教学习惯。 2.强化“四基（基础知识、基本技能、基本思想、基本经验积累）”、“四能（发现问题、提出问 题、分析问题、解决问题的能力）”的新课标理念，彰显数学文化，体现考查学生必备知识与关键能 力（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析） 。 3.试题形式朴实大气，重本质而轻外形。在知识点、
2、思想方法和能力考查等方面科学搭配，落 实知识与能力并重、思想与方法同行的高三复习策略。 4.试题起点较低、知识覆盖全面、解题入口宽泛、题目从易到难，遵循考试心理规律，契合考 生考试习惯，符合“上手容易深入难”的常规命题思路。 参考公式：球的表面积公式 S=4r2，其中 r 为球的半径 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填 在答题卡相应位置上 1 已知 i 为虚数单位，复数 33 i 22 z 的模为 2 已知集合1,2 a A， 1,1,4B ，且AB，则正整数a 3 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 8yx 的焦点坐标为
3、4 苏州轨道交通 1 号线每 5 分钟一班，其中，列车在车站停留 0.5 分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台 立即能乘上车的概率为 5 已知42 a ，log2 ax a，则正实数x 6 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中 提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例若输入 n，x 的值分别 为 3，3，则输出 v 的值为 v1，in1 vvx+i ii1 输出 v N Y 开始 结束 输入 n,x i0 （第 6 题图） 第 2 页 7 已知变量 x，y 满足 03, 0, 30, x xy xy 则23zxy的
4、最大值为 8 已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S，且 6 3 19 8 S S ， 42 15 8 aa ，则 3 a的值为 9 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的 榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90榫卯 起来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为 1，现将该鲁 班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 （容器壁的厚度忽略不计， 结果保留 ） 10如图，两座建筑物 AB，CD 的高度分别是 9m 和 15m，从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角45CAD，则这两座
5、建筑物 AB 和 CD 的底部之间的距离BD m 11 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知过点(2, 1)A的圆C和直线 x y 1 相切， 且圆心在直线 y 2x 上，则圆 C 的标准方程为 12已知正实数 a，b，c 满足 11 1 ab ， 11 1 abc ，则c的取值范围是 D C B A （第 10 题图） （第 9 题图） 第 3 页 13如图，ABC 为等腰三角形，120BAC，4ABAC，以 A 为圆心，1 为半径的圆分别 交 AB，AC 与点 E，F，点 P 是劣弧EF上的一点，则PB PC的取值范围是 14已知直线 ya 分别与直线22yx，曲线2exyx交于点 A，B
6、，则线段 AB 长度的最小值 为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知函数 2 ( )( 3cossin )2 3sin2f xxxx （1）求函数( )f x的最小值，并写出( )f x取得最小值时自变量 x 的取值集合； （2）若, 2 2 x ，求函数( )f x的单调增区间 P F E C B A （第 13 题图） 第 4 页 16 （本小题满分 14 分） 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，已知 E，F，G，H 分别是 A1D1，B1C1，D1D，C1C
7、 的中 点 （1）求证：EF平面 ABHG； （2）求证：平面 ABHG平面 CFED 17. （本小题满分 14 分） 如图，B,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C 之间的距离为 100km， 海岛 A在城市 B的正东方50km处 从海岛 A到城市 C， 先乘船按北偏西 角 （ 2 ， 其中锐角的正切值为 1 2 ） 航行到海岸公路P处登陆， 再换乘汽车到城市C 已知船速为25km/h， 车速为 75km/h. （1）试建立由 A 经 P 到 C 所用时间与的函数解析式； （2）试确定登陆点 P 的位置，使所用时间最少，并说明理由 A1 B1 C1 D1 A
8、B C D E F G H B C P 东 北 A 第 5 页 18 （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，椭圆上动点P到一 个焦点的距离的最小值为3( 21) （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知过点(0, 1)M的动直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，试判断以 AB 为直径的圆是否恒 过定点，并说明理由 O y x B A M 第 6 页 19. （本小题满分 16 分） 已知各项是正数的数列 n a的前 n 项和为 n S （1）若 2 1 2 3 n nn a SS （nN*，n2）
9、，且 1 2a 求数列 n a的通项公式； 若 1 2n n S 对任意*nN恒成立，求实数的取值范围； （2）数列 n a是公比为 q（q0， q1）的等比数列，且an的前 n 项积 为10 n T 若存在正整 数 k，对任意 nN*，使得 (1)kn kn T T 为定值，求首项 1 a的值 第 7 页 20. （本小题满分 16 分） 已知函数 32, 0, ( ) e,0. x xxx f x axx （1）当2a 时，求函数( )f x的单调区间； （2）若方程()( )e3 x fxf x在区间(0,+)上有实数解，求实数 a 的取值范围； （3）若存在实数,0,2m n，且|1m
10、n，使得( )( )f mf n，求证：1e e 1 a 第 8 页 2018 届高三调研测试 数学（附加题） 20181 21 【 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题 ，并在相应的 答题区域 内作答 ， 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 4 1：几何证明选讲：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 如图，AB，AC与圆 O 分别切于点 B，C，点 P 为圆 O 上异于点 B，C 的任意一点，PDAB 于点 D，PEAC于点 E，PFBC于点 F. 求证： 2 PFPD PE. B选修选修 4 2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题
11、满分 10 分） 已知 12 21 M， 1 7 ，求 4 M C选修选修 4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1, 3 xt yt （t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2cos = sin ，若直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求AOB 的面积 D P F E O C B A 第 9 页 D选修选修 4 5：不等式：不等式选讲选讲（本小题满分 10 分） 已知 a，b，cR， 222 1abc，若 2 |1|1|()xxa bc
12、对一切实数 a，b，c 恒成立， 求实数 x 的取值范围 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面于直线 AB，且 ABBP2， AD=AE=1，AEAB，且 AEBP （1）求平面 PCD 与平面 ABPE 所成的二面角的余弦值； （2）线段 PD 上是否存在一点 N，使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 2 5 ？若存在， 试确定点 N 的位置；若不存在，请说明理由 P
13、N E D C B A z y x 第 10 页 23 （本小题满分 10 分） 在正整数集上定义函数 ( )yf n ，满足 ( ) (1) 122(1)f nf nf n ，且 (1)2f （1）求证： 9 (3)(2) 10 ff； （2）是否存在实数 a，b，使 1 ( )1 3 () 2 n f n ab ，对任意正整数 n 恒成立，并证明你的结论 第 11 页 苏州市苏州市 2018 届高三调研测试数学试卷参考答案届高三调研测试数学试卷参考答案 一、填空题（共 70 分） 13 22 3( 2,0) 4 1 10 5 1 2 648 79 8 9 4 930 1018 11 22
14、(1)(2)2xy 12 4 (1, 3 13 11, 9 14 3ln2 2 二、解答题（共 90 分） 15. 解（1） 2 ( )( 3cossin )2 3sin2f xxxx 22 3cos2 3sin cossin2 3sin2xxxxx 3(1cos2 )1 cos2 3sin2 22 xx x 2 分 cos23sin22xx2cos(2)2 3 x 4 分 当22 3 xk ，即() 3 xkk Z时，( )f x取得最小值 0 此时，( )f x取得最小值时自变量 x 的取值集合为, 3 x xkk Z 7 分 （注：结果不写集合形式扣 1 分） （2）因为( )2cos(
15、2)2 3 f xx ， 令2222() 3 kxkk Z， 8 分 解得() 36 kxkk Z ， 10 分 又, 2 2 x ，令1k ，, 26 x ，令0k ，, 3 2 x ， 所以函数在, 2 2 的单调增区间是, 26 和, 3 2 14 分 （注：如果写成两区间的并集，扣 1 分，其中写对一个区间给 2 分） 16. 证明： （1）因为 E，F 是 A1D1，B1C1的中点，所以 11 EFAB， 在正方体 1111 ABCDABC D中，A1B1AB， （注：缺少 A1B1AB 扣 1 分） 所以EFAB 3 分 又EF平面 ABHG，AB平面 ABHG， （注：缺少 AB
16、平面 ABHG 不扣分） 所以 EF平面 ABHG 6 分 （2）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，CD 平面 BB1C1C， 又BH 平面 11 BBC C，所以BHCD 8 分 设BHCFP，BCH 1 CC F，所以 1 HBCFCC ， 因为HBC+PHC=90，所以 1 FCC+PHC=90 所以90HPC，即BHCF 11 分 由，又DCCFC，DC，CF平面 CFED， 所以BH 平面 CFED A1 B1 C1 D1 A B C D E F G H P 第 12 页 又BH 平面 ABHG， 所以平面 ABHG平面 CFED 14 分 （注：缺少BH 平面 ABHG，此三分
17、段不给分） 17. 解（1）由题意，轮船航行的方位角为 ，所以90BAP，50AB ， 则 5050 cos(90)sin AP ， 50sin(90)50cos 50tan(90) cos(90)sin BP 50cos 100100 sin PCBP 4 分 （注：AP，BP 写对一个给 2 分） 由 A 到 P 所用的时间为 1 2 25sin AP t ， 由 P 到 C 所用的时间为 2 50cos 100 42cos sin 7533sin t ， 6 分 所以由 A 经 P 到 C 所用时间与 的函数关系为 12 242cos62cos4 ( ) sin33sin3sin3 tf
18、t 8 分 函数( )f的定义域为( , 2 ，其中锐角的正切值为 1 2 . （2）由（1） ， 6 2 c o s4 ( ) 3sin3 f ，( , 2 ， 2 (1 3cos ) ( ) 9si 6 n f ，令( )0f，解得 1 cos 3 ， 10 分 设 0(0,) 2 ，使 0 1 cos 3 0 ( ,) 0 0 (,) 2 ( )f 0 ( )f 减函数 极小值 增函数 12 分 所以，当 0 时函数 f()取得最小值，此时 BP= 0 0 50cos25 2 sin2 17.68 km， 答：在 BC 上选择距离 B 为 17.68 km 处为登陆点，所用时间最少 14
19、 分 （注：结果保留根号，不扣分） 18. 解（1）由题意 2 2 c a ，故2ac， 1 分 又椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3( 21)，所以3 23ac， 2 分 解得3c ，3 2a ，所以 222 9bac， 4 分 所以椭圆 C 的标准方程为 22 1 189 xy . 6 分 （2）当直线 l 的斜率为 0 时，令1y ，则4x ， 此时以 AB 为直径的圆的方程为 2 (1)16xy 7 分 当直线 l 的斜率不存在时，以 AB 为直径的圆的方程为 22 9xy， 8 分 第 13 页 联立 2 22 (1)16, 9, xy xy 解得0,3xy，即两圆过点(0,3
20、)T 猜想以 AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T 9 分 对一般情况证明如下： 设过点(0, 1)M的直线 l 的方程为1ykx与椭圆 C 交于 1122 ( ,), (,)A x yB xy, 则 22 1, 218, ykx xy 整理得 22 (1 2)4160kxkx， 所以 1212 22 416 , 1212 k xxx x kk 12 分 （注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给 3 分） 因为 1122121212 ( ,3) (,3)3()9TA TBx yxyx xy yyy 121212 (1)(1)3(11)9x xkxkxkxkx 2 1 212
21、 (1)4 () 16kx xk xx 222 222 16(1)1616(12) 16160 121212 kkk kkk ， 所以TATB 所以存在以AB 为直径的圆恒过定点 T，且定点 T 的坐标为(0,3) 16 分 19. 解（1）当2n时，由 2 1 2 , 3 n nn a SS 则 2 1 1 2 , 3 n nn a SS -得 22 11 1 () 3 nnnn aaaa ，即 1 3 nn aa ，2n 2 分 当2n 时，由知 2 2 121 2 3 a aaa ，即 2 22 3100aa， 解得 2 5a 或 2 2a （舍） ， 所以 21 3aa，即数列 n a
22、为等差数列，且首项 1 3a ， 所以数列 n a的通项公式为31 n an. 5 分 （注：不验证 21 3aa扣 1 分） 由知，31 n an，所以 2 (312)3 22 n nnnn S ， 由题意可得 2 12 3 22 n nn Snn 对一切*nN恒成立， 记 2 2 3 2 n n nn c ，则 2 1 1 3(1)(1) 2 n n nn c ，2n， 所以 2 1 2 3114 2 nn n nn cc ，2n， 8 分 当4n 时， 1nn cc ，当4n 时， 4 13 16 c ，且 3 15 16 c ， 2 7 8 c ， 1 1 2 c ， 所以当3n 时，
23、 2 2 3 2 n n nn c 取得最大值15 16 ， 第 14 页 所以实数的取值范围为 15 ,) 16 . 11 分 （2）由题意，设 1 1 n n aaq （0,1qq） ， 12 10 n T n aaa，两边取常用对数， 12 lglglg nn Taaa 令 1 lglglglg nn banqaq， 则数列 n b是以 1 lga为首项，lgq为公差的等差数列， 13 分 若 (1)kn kn T T 为定值，令 (1)kn kn T T ，则 1 1 (1) (1)1 (1) lglg 2 (1) lglg 2 kn kn knaq kn kn knaq ， 即 2
24、22 1 (1)lg (1)(lg)lg0 a kkq nkkq q 对*nN恒成立， 因为0,1qq，问题等价于 22 2 1 (1)0, (1)0. kk kkaq 或 将 1k k 代入(1)0kk，解得01或. 因为*kN，所以0,1， 所以 2 1 aq，又0, n a 故 1 aq. 16 分 20. 解（1）当2a 时， 32, 0, ( ) e +2 ,0, x xxx f x xx 当0x 时， 32 ( )f xxx，则 2 ( )32(32)fxxxxx， 令( )0fx，解得0x 或 2 3 x （舍） ，所以0x 时，( )0fx， 所以函数( )f x在区间(,0)
25、上为减函数. 2 分 当0x时，( )e2 x f xx，( )e2 x fx， 令( )0fx，解得ln2x ，当0ln2x时，( )0fx，当ln2x 时，( )0fx， 所以函数( )f x在区间(0,ln2)上为减函数，在区间(ln2,)上为增函数， 且(0)10f . 4 分 综上，函数( )f x的单调减区间为(,0)和(0,ln2)，单调增区间为(ln2,) 5 分 （注：将单调减区间为(,0)和(0,ln2)写出(,ln2)的扣 1 分） （2）设0x ，则0x ，所以 32 ()( )exfxf xxxax， 由题意， 32 ee3 xx xxax在区间(0,)上有解， 等价
26、于 2 3 axx x 在区间(0,)上有解. 6 分 记 2 3 ( )(0)g xxxx x ， 第 15 页 则 322 222 323(1)(233) ( )21 xxxxx g xx xxx ， 7 分 令( )0g x，因为0x ，所以 2 2330xx，故解得1x ， 当(0,1)x时，( )0g x，当(1,)x时，( )0g x， 所以函数( )g x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)上单调递增， 故函数( )g x在1x 处取得最小值(1)5g. 9 分 要使方程( )ag x在区间(0,)上有解，当且仅当 min ( )(1)5ag xg， 综上，满足题意的实数
27、a 的取值范围为5,). 10 分 （3）由题意，( )exfxa， 当0a时，( )0fx，此时函数( )f x在0,)上单调递增， 由( )( )f mf n，可得mn，与条件|1mn矛盾，所以0a . 11 分 令( )0fx，解得lnxa， 当(0,ln )xa时，( )0fx，当(ln ,)xa时，( )0fx， 所以函数( )f x在(0,ln )a上单调递减，在(ln ,)a 上单调递增. 若存在,0,2m n，( )( )f mf n，则lna介于 m，n 之间， 12 分 不妨设0ln2man， 因为( )f x在( ,ln )ma上单调递减，在(ln , )a n上单调递增
28、，且( )( )f mf n， 所以当mxn 时，( )( )( )f xf mf n， 由02mn，|1mn，可得1 , m n，故(1)( )( )ff mf n， 又( )f x在( ,ln )ma上单调递减，且0lnma，所以( )(0)f mf 所以(1)(0)ff，同理(1)(2)ff 14 分 即 2 e1, ee2 , a aa 解得 2 e 1eea ， 所以1e e 1 a . 16 分 2018 届高三调研测试数学附加题参考答案 21B 选修 42 矩阵与变换 解 矩阵M的特征多项式为 2 12 ( )23 21 f ， 2 分 令( )0f，解得 12 3,1 ，解得
29、属于1的一个特征向量为 1 1 1 ，属于2的一个特征向量为 2 1 1 5 分 令 12 mn，即 111 711 mn ，所以 1, 7, mn mn 解得4,3mn 7 分 所以 4444 1212 (43)4()3()MMMM 4444 1122 11321 4()3()433 ( 1) 11327 10 分 21C 选修 44 坐标系与参数方程 第 16 页 解 由曲线 C 的极坐标方程是 2 2cos = sin ，得 2sin2=2cos 所以曲线 C 的直角坐标方程是 y2=2x 2 分 由直线 l 的参数方程 1, 3 xt yt (t 为参数)，得40xy， 所以直线 l 的普通方程为40xy 4 分 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 y2=2
