1、第第23课时课时 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 （每年必考每年必考12道，道，310分分） 目 录 点对点点对点“过过”考点考点 1 典例典例“串串”考点考点 2 3 中考试题中的数学文化中考试题中的数学文化 4 陕西陕西5年真题、副题年真题、副题“明明”考法考法 点对点点对点“过过”考点考点 【对接教材】【对接教材】北师：九上第一章北师：九上第一章P1P29； 人教：八下第十八章人教：八下第十八章P52P69. 矩形 平行四边形、矩形、 菱形和正方形的关系 性质 判定 面积 性质 判定 面积 菱形 矩形、菱形、 正方形 正方形 性质 判定 面积 中点四边形 矩形的性质及判定矩形的性质
2、及判定 考点考点 1 定义定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 图形图形 性质性质 1边：对边边：对边_且相等且相等 2角：四个角都是角：四个角都是_ 3对角线：对角线互相平分且对角线：对角线互相平分且_ 4既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有_条对称轴条对称轴 平行平行 直角直角 相等相等 2 返回思维导图返回思维导图 判定判定 1.有一个角是有一个角是_的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形 2对角线对角线_的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形 3有三个角是有三个角是_的四边形是矩形的四边形是矩形 面积计算面积计算
3、 S_(a、b分别表示矩形的长和宽分别表示矩形的长和宽) 【提分要点】【提分要点】矩形、菱形、正方形均是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交矩形、菱形、正方形均是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交 点，过对称中心的任意一条直线平分图形的面积，且矩形、菱形、正方形均被其两点，过对称中心的任意一条直线平分图形的面积，且矩形、菱形、正方形均被其两 条对角线分成面积相等的四个三角形条对角线分成面积相等的四个三角形 直角直角 相等相等 直角直角 ab 返回思维导图返回思维导图 菱形的性质及判定菱形的性质及判定 考点考点 2 定义定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做
4、菱形 图形图形 性质性质 1边：对边平行，四边都边：对边平行，四边都_ 2角：对角角：对角_ 3对角线：对角线互相对角线：对角线互相_，每条对角线，每条对角线_一组对角一组对角 4既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有_条对称轴条对称轴 相等相等 相等相等 垂直平分垂直平分 平分平分 2 返回思维导图返回思维导图 判定判定 1有一组有一组_相等的相等的_是菱形是菱形 2对角线对角线_的平行四边形是菱形的平行四边形是菱形 3_条边都相等的四边形是菱形条边都相等的四边形是菱形 面积计算面积计算 S_(l1、l2表示两条对角线的长表示两条对角线的长) 邻边邻边
5、平行四边形平行四边形 互相垂直互相垂直 四四 1 2l1l2 返回思维导图返回思维导图 正方形的性质及判定正方形的性质及判定 考点考点 3 定义定义 有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫做正方形有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫做正方形 图形图形 性质性质 1边：对边平行，四边都边：对边平行，四边都_ 2角：四个角都是角：四个角都是_ 3对角线：对角线互相对角线：对角线互相_且相等，每条对角线平分一组对角且相等，每条对角线平分一组对角 4正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有_条对称轴条对称轴 相等相等 直角直角 垂直平分
6、垂直平分 4 返回思维导图返回思维导图 判定判定 1有一组邻边有一组邻边_，并且有一个角是，并且有一个角是_的平行四边形是正方形的平行四边形是正方形 2对角线互相对角线互相_的矩形是正方形的矩形是正方形 3有一个角是有一个角是_的菱形是正方形的菱形是正方形 4对角线对角线_的菱形是正方形的菱形是正方形 5有一组邻边有一组邻边_的矩形是正方形的矩形是正方形 6对角线互相垂直对角线互相垂直_的四边形是正方形的四边形是正方形 面积计算面积计算 S_(a表示边长表示边长)_(l表示对角线的长表示对角线的长) 相等相等 直角直角 垂直垂直 直角直角 相等相等 相等相等 平分且相等平分且相等 a2 1 2
7、l 2 返回思维导图返回思维导图 平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系 考点考点 4 矩形矩形 平行四边形平行四边形 菱形菱形 正方形正方形 一组邻边一组邻边_ 有一组邻边相等，一个直角有一组邻边相等，一个直角90 有一个角是有一个角是_ 有一个角是有一个角是_ 一组邻边一组邻边_ 相等相等 直角直角 直角直角 相等相等 返回思维导图返回思维导图 中点四边形中点四边形 考点考点 5 1. 定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 2. 常见结论：常见结论： 原图形原图
8、形 任意四边形任意四边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 对角线相对角线相 等的四边等的四边 形形 对角线垂对角线垂 直的四边直的四边 形形 对角线垂对角线垂 直且相等直且相等 的四边形的四边形 中点四边中点四边 形形状形形状 平行四边形平行四边形 菱形菱形 矩形矩形 正方形正方形 菱形菱形 矩形矩形 正方形正方形 返回思维导图返回思维导图 回归教材回归教材 证明：矩形的对角线相等证明：矩形的对角线相等 1. 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD是矩形，是矩形，ABC90，对角线，对角线AC与与DB相交于点相交于点O. 求证：求证：ACDB. 【自主解答】【自主解答】 第1题图 证明
9、证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形， ABDC(矩形的对边相等矩形的对边相等) 在在ABC和和DCB中，中， ABDC，ABCDCB，BCCB， ABCDCB，ACDB. 第2题图 证明：有三个角是直角的四边形是矩形证明：有三个角是直角的四边形是矩形 2. 已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，ABC90. 求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形是矩形 【自主解答】【自主解答】 证明：证明：ABC90， AB180，BC180， ADBC，ABCD， 四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， 四边形四边形ABCD是矩形是矩形 第3题图 证明：对角线互相垂直的平行
10、四边形是菱形证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3. 已知：如图，在已知：如图，在ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相交于点相交于点O，ACBD. 求证：求证：ABCD是菱形是菱形 【自主解答】【自主解答】 证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， OAOC， 又又ACBD， BD是线段是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线， BABC， 四边形四边形ABCD是菱形是菱形(菱形的定义菱形的定义) 第4题图 证明：四边都相等的四边形是菱形证明：四边都相等的四边形是菱形 4. 已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，ABBCCDDA. 求证：四边形求证：
11、四边形ABCD是菱形是菱形 【自主解答】【自主解答】 证明：证明：ADBC，ABCD， 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形)， ADAB， 四边形四边形ABCD是菱形是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形邻边相等的平行四边形是菱形) 典例典例“串串”考点考点 例例1 如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的对角线的对角线AC、BD交于点交于点O. 例1题图 (1)要使平行四边形要使平行四边形ABCD为矩形，可添加的条件为为矩形，可添加的条件为_； 【解题依据】此问所用的判定定理为【解题依据】此问所用的判定定理为_
12、. (2)已知四边形已知四边形ABCD为矩形为矩形 若若AB3，BC4，则，则AC的长为的长为_； ACBD 对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形 5 若若AOB60，AB4，则，则BD的长为的长为_； 若点若点E、F、G、H分别是线段分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形的中点，则四边形EFGH是是 _形；形； 过点过点A作作AEBD于点于点E，若，若AB5，tanBAE ，则，则AE的长为的长为_，矩形，矩形 ABCD的面积为的面积为_ 1 2 8 菱菱 2 5 50 例2题图 例例2 如图如图，已知四边形，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线为平行四边形，
13、对角线AC、BD相交于点相交于点O. (1)要使平行四边形要使平行四边形ABCD为菱形，则可添加的条件为为菱形，则可添加的条件为_； 【解题依据】此问所用的判定定理为【解题依据】此问所用的判定定理为_. (2)若四边形若四边形ABCD为菱形，为菱形，AB5. 四边形四边形ABCD的周长为的周长为_； 若若BAD100，则，则ACD_ ； ABAD 有一组邻边相等的平行四边形为菱形有一组邻边相等的平行四边形为菱形 20 50 若若ABC60，则对角线，则对角线AC的长为的长为_ ，BD的长为的长为_ ，菱形，菱形 ABCD的面积为的面积为_； 如图如图，点，点E、F分别是分别是BC、AD上的点，
14、若四边形上的点，若四边形AECF为矩形，且为矩形，且AE2AF， 则则AE的长为的长为_ 5 5 3 25 3 2 4 (1)若若ABC90，则要使平行四边形，则要使平行四边形ABCD为正方形，则需添加的条件为为正方形，则需添加的条件为_； 【解题依据】此问所用的判定定理为【解题依据】此问所用的判定定理为_ _ (2)连接连接AC，BD，若，若ACBD，则要使平行四边形，则要使平行四边形ABCD为正方形，则需添加的条件为正方形，则需添加的条件 为为_；【解题依据】此问所用的判定定理为；【解题依据】此问所用的判定定理为_ _. 例例3 如图，四边形如图，四边形ABCD为平行四边形为平行四边形 有
15、一有一 个角是直角的平行四边形是矩形，个角是直角的平行四边形是矩形， 有一组邻边相等的矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形 例3题图 ABBC ABC90 对角线互相垂直的平行四对角线互相垂直的平行四 边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形 (3)如图如图，若四边形，若四边形ABCD为正方形点为正方形点E是是CD上一点，连接上一点，连接BE，且，且AB4. 连接连接AC，则，则AC_，BAC_； 连接连接AC，若点，若点E是是CD的中点，的中点，BE交交AC于点于点P，则，则AP_， S ABP S CEP _； 过点过点A作作AFBE交交BC于点
16、于点F，交，交BE于点于点G， 求证：求证：AFBE. 4 245 8 2 3 41 证明：如解图证明：如解图，四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，AFBE， ABBC，ABC90，AGB90， ABGEBC90，ABGBAG90， EBCBAG. 在在ABF和和BCE中，中， BAFCBE ABBC ABFBCE90 ， ABFBCE(ASA) AFBE. 例3题解图 (4)如图如图，若四边形，若四边形ABCD为正方形，连接为正方形，连接AC，BD，交于点，交于点O. 点点H，K分别是分别是OB，OD上的点，连接上的点，连接AH，CH，CK，AK，若四边形，若四边形AHCK是是 菱形，且
17、菱形，且 ，则，则 _，S正方形 正方形ABCD S菱形 菱形AHCK _； 点点N是是OC的中点，点的中点，点M是是BC上一点，上一点，P为对角线为对角线BD上一点，若上一点，若AB4，BM 3，则，则PMPN的最小值为的最小值为_ 4 3 AB AH OA OH 2 22 2 13 陕西陕西5年真题、副题年真题、副题“明明”考法考法 矩形性质的相关计算矩形性质的相关计算（5年年2考考） 命题点命题点 1 1. (2017陕西陕西8题题3分分)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB2，BC3.若点若点E是边是边CD的中点，的中点， 连接连接AE，过点，过点B作作BFAE交交AE于点于点
18、F，则，则BF的长为的长为( ) 第1题图 A. B. C. D. 3 10 2 3 10 5 10 5 3 5 5 B 2. (2019陕西陕西8题题3分分)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB3，BC6.若点若点E，F分别在分别在AB、 CD上，且上，且BE2AE，DF2FC，G、H分别是分别是AC的三等分点，则四边形的三等分点，则四边形EHFG的的 面积为面积为( ) A. 1 B. C. 2 D. 4 3 2 第2题图 3. (2019陕西副题陕西副题8题题3分分)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB6，BC8，过矩形的对称，过矩形的对称 中心中心O的直线的直线EF，分
19、别与，分别与AD、BC交于点交于点E、F，且，且FC2.若若H为为OE的中点，连接的中点，连接 BH并延长，与并延长，与AD交于点交于点G，则，则BG的长为的长为( ) A. 8 B. C. D. 613 5 2 13 第3题图 C D 4. (2015陕西副题陕西副题9题题3分分)如图，如图，ABC和和DBC均为等腰三角形，均为等腰三角形，A60， D90，AB12.若点若点E、F、G、H分别为边分别为边AB、AC、CD、BD的中点，则的中点，则 四边形四边形EFGH的面积为的面积为( ) A. B. C. D. 第4题图 3631 1831 1231 931 B 菱形性质的相关证明与计算菱
20、形性质的相关证明与计算（5年年2考考） 命题点命题点 2 5. (2018陕西陕西8题题3分分)如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，点中，点E、F、G、H分别是边分别是边AB、BC、CD 和和DA的中点，连接的中点，连接EF、FG、GH和和HE.若若EH2EF，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是( ) A. AB EF B. AB2EF C. AB EF D. AB EF 235 第5题图 D 6. (2019陕西副题陕西副题14题题3分分)如图，如图，O为菱形为菱形ABCD的对称中心，的对称中心，AB4，BAD 120.若点若点E、F分别在分别在AB、BC边上，连接边上，连接OE、OF，
21、则，则OEOF的最小值为的最小值为_ 7. (2016陕西陕西14题题3分分)如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，ABC60，AB2，点，点P是这个菱是这个菱 形内部或边上的一点若以点形内部或边上的一点若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(P、 D两点不重合两点不重合)两点间的最短距离为两点间的最短距离为_ 第6题图 第7题图 2 3 2 32 8. (2016陕西副题陕西副题19题题7分分)如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，点中，点E是边是边AD上一点，延长上一点，延长AB至至 点点F，使，使BFAE，连接，连接BE、CF. 求证：求证：B
22、ECF. 第8题图 证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， ABBC，ADBC.(2分分) ACBF.(3分分) 又又AEBF， ABEBCF(SAS)，(5分分) BECF.(7分分) 正方形性质的相关证明与计算正方形性质的相关证明与计算（5年年3考考） 命题点命题点 3 9. (2015陕西陕西9题题3分分)在在 ABCD中，中，AB10，BC14，E、F分别为边分别为边BC、AD上上 的点若四边形的点若四边形AECF为正方形，则为正方形，则AE的长为的长为( ) A. 7 B. 4或或10 C. 5或或9 D. 6或或8 10. (2017陕西副题陕西副题8题题3分分)如图，在
23、正方形如图，在正方形ABCD中，中，AB2.若以若以CD边为底边向边为底边向 其形外作等腰直角其形外作等腰直角DCE，连接，连接BE，则，则BE的长为的长为( ) A. B. 2 C. D. 第10题图 52102 3 D C 11. (2018陕西副题陕西副题7题题3分分)如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，AC2，BD4，点，点E、F、G、 H分别在分别在AB、BC、CD和和DA上，且上，且EFAC. 若四边形若四边形EFGH是正方形，则是正方形，则EF的的 长为长为( ) A. B. 1 C. D. 2 12. (2019陕西陕西14题题3分分)如图，在正方形如图，在正方形ABCD中
24、，中，AB8，AC与与BD交于点交于点O，N 是是AO的中点，点的中点，点M在在BC边上，且边上，且BM6，P为对角线为对角线BD上一点，则上一点，则PMPN的的 最大值为最大值为_ 3 2 4 3 第11题图 第12题图 C 2 13. (2016陕西副题陕西副题14题题3分分)如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，AB4，E是是BC边的中点，边的中点， F是是CD边上的一点，且边上的一点，且DF1.若若M、N分别是线段分别是线段AD、AE上的动点，则上的动点，则MN MF的最小值为的最小值为_. 14. (2017陕西陕西19题题7分分)如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，E、F分别为边分别为边AD和和CD上的点，上的点， 且且AECF，连接，连接AF、CE交于点交于点G. 求证：求证：AGCG. 第14题图 9 5 5 证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形， ADFCDE90，AD CD. AECF， DEDF.(2分分) ADF CDE(SAS) DAFDCE.(4分分) 又又AGECGF， AGE CGF(AAS) AGCG.(7分分) 点击链接至练习册点击链接至练习册
