1、 咸阳市咸阳市 2020 年高考模拟检测（三）年高考模拟检测（三） 数学（理科）试题数学（理科）试题 一、选择题一、选择题 1若集合1,2,3,4,5A，集合04Bxx，则图中阴影部分表示（ ） A1,2,3,4 B1,2,3 C4,5 D1,4 2已知等比数列 n a的前n项和为 n S， 43 2aa， 1 1a ，则 4 S （ ） A31 B15 C8 D7 32020 年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战 场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A、B、C三名护士支援武汉第一医院与第二医院， 参加武汉疫情狙击战.其中选一名护士与
2、一名医生去第一医院， 其它都在第二医院工作， 则医生甲和护士A被 选为第一医院工作的概率为（ ） A 1 12 B 1 6 C 1 5 D 1 9 4已知非零向量, a b满足2ab，且abb，则a与b的夹角为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 5设复数z满足11zi ，z在复平面内对应的点为,P x y，则点P的轨迹方程为（ ） A 2 2 11xy B 2 2 11xy C 2 2 11xy D 22 111xy 6 “ 22 ”是“方程 22 1 2cos xy 表示双曲线”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 “牟合方盖”是我国古代数
3、学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体.它由完全相同 的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）. 其直观图如图所示，图中四边形是体现其直观性所做的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正 视图和俯视图分别是（ ） A, a b B, a c C, a d D, b d 8若数列 n a为等差数列， n b为等比数列，且满足： 12020 27aa， 12020 2b b，函数 f x满足 2f xf x ，且 x f xe，0,2x，则 10101011 1010 1011 1 aa f bb （ ） Ae B 2 e
4、C 1 e D 9 e 9函数 21 sin 21 x x yx 的图像大致为（ ） A B C D 10已知实数, x y满足不等式组 0 0 y yx xym ，且目标函数3zxy的最大值为180，则实数m的值为 （ ） A60 B70 C80 D90 11已知抛物线 2 :8C yx，点,P Q是抛物线上任意两点，M是PQ的中点，且10PQ ，则M到y轴 距离的最小值为（ ） A9 B8 C4 D3 12已知函数 xx f xeeax （a为常数）有两个不同极值点，则实数a的取值范围是（ ） A1, B2, C2, D1, 二、填空题二、填空题 13若 1 tan 3 ， 1 tan 2
5、 ，则tan_. 14已知在三棱锥ABCD中，,AB AC AD两两垂直，且1AB ，3AC ，2 2AD，则三棱锥 ABCD外接球的表面积为_. 15现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长是a的正方形，其中一个的某顶点在 另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 2 4 a .类比到空间，有两个村长均为a的正方体，其中一 个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_. 16给出以下四个命题： 数列 n a为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数； 在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于 4 S 的概率为 3 4 . 将多项式
6、5 6510 . n a xa xa xa分解因式得 5 22xx，则 5 8a . 若 0 b a f x dx ，那么由 yf x，xa，xb以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.其中正确命 题的序号为_.（把所有正确命题的序号都填上） 三、解答题三、解答题 17设, ,a b c分别为锐角ABC内角, ,A B C的对边，且满足3sincotcot2sinAABC，4b. （）求角B的大小； （）求ABC面积的最大值. 18已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab ， 1 F、 2 F分别是其左、右焦点，过 1 F的直线l与椭圆C交于,A B 两点，且椭圆C的离心率为 1 2 ，
7、2 AF B的内切圆面积为， 2 4 AF B S . （）求椭圆C的方程； （）若 24 7 AB 时，求直线l的方程. 192020 年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某 学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查， 其中男生与女生的人数之比为11:13， 抽取的学生中男生有 30人对线上教学满意，女生中有15名表示对线上教学不满意. （）完成2 2列联表，并回答能否有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关” ； 态度 性别 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 120 （） 从被调查的对线上教学满意的学生中， 利用分层抽样抽取8名学
8、生， 再在这8名学生中抽取3名学生， 作线上学习的经验介绍，求其中抽取男生的人数为，求出的分布列及数学期望. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd . 2 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20如图，在三棱锥ABCD中，ABC是边长为2的正三角形，ADC是等腰直角三角形， 90ADC，ABBD. （）证明：平面ADC 平面ABC； （）点E在BD上，若平面ACE把三棱锥ABCD分成体积相等的两部分，求二面角A CED的余 弦值. 21已知函
9、数 2 1 212ln 2 f xaxaxx. （）讨论函数 f x的单调性； （）当0a 时，证明： 24 x f xex （其中e为自然对数的底数）. 22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos 3sin x y （为参数）.以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l过,A B两点，且这两点的极坐标分别为 2 7,0A，2 7, 2 B . （）求C的普通方程和l的直角坐标方程； （）若M为曲线C上一动点，求点M到直线l的最小距离. 23已知0a ，0b，且2ab. （）若 14 21x ab 恒成立，求x的取值范围； （）证明： 22 11 4ab ab .
10、 咸阳市咸阳市 2020 年高考模拟检测（三）年高考模拟检测（三） 数学（理科）试题参考答案数学（理科）试题参考答案 一、选择题一、选择题 1C 2B 3D 4B 5D 6A 7A 8A 9D 10A 11D 12C 二、填空题二、填空题 13 1 7 144 3 15 3 8 a 16 三、解答题三、解答题 17解： （）由3sincotcot2sinAABC可得 coscos 3sin2sin sinsin AB AC AB ， 则 sincoscossin 3sin2sin sinsin BABA AC AB 即 sin 3sin2sin sinsin AB AC AB ， 所以有 3
11、sin 2 B ，又因B为锐角，则 3 B . （）由（）可知 3 B ，且有4b，由余弦定理可得： 22 2cosbcacB， 则 22 162acacacacac， 113 sin164 3 222 ABC SacB . 18解： （）由题可得， 1 2 c e a ， 2 AF B的内切圆面积为， 2 4 AF B S ，易得 2 AF B的周长为8，即48a 而 222 abc，解得2a ，3b ，1c， 则椭圆C的方程为： 22 1 43 xy . （）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，由（）可得 1 1,0F ， 当直线l的斜率不存在时3AB ，不符合题意， 当直线l的
12、斜率存在时，可设:1l yk x， 联立直线l与椭圆C可得： 2222 4384120kxk xk， 2 12 2 8 43 k xx k ， 2 12 2 412 43 k x x k ， 2 2 2 1212 2 121 24 14 437 k ABkxxx x k ，解得1k ， 所以直线l的方程为10xy 或10xy . 19解： （） 态度 性别 满意 不满意 合计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 2 2 120 30 1525 50 6.7136.635 55 65 80 40 K 这说明有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.
13、 （）依题意，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，其中男生3人，女生5 人，抽取男生的人数的取值为0,1,2,3.则 33 05 3 8 5 0 28 C C P C ， 12 35 3 8 15 1 28 C C P C ， 21 35 3 8 15 2 56 C C P C ， 30 35 3 8 1 3 56 C C P C . 则的分布列为： 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 所以 5151519 0123 282856568 E ， 即的期望值为 9 8 . 20解： （）取AC的中点O，连接,OD OB， 由题设可知，ACD是等
14、腰直角三角形，且90ADC，从而ADDC. 所以ODAC， 又由于ABC是正三角形，故BOAC. 所以DOB为二面角DACB的平面角. 在RtAOB中， 222 BOAOAB， 又ABBD，而ODAO， 所以 222222 BODOBOAOABBD， 故90DOB，所以平面ADC 平面ABC. （）由题设及（）知，,OA OB OD两两垂直， 以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA、OB、OD分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直 角坐标系Oxyz. 则1,0,0A， 0, 3,0B，1,0,0C ，0,0,1D. 由题设知，三棱锥A BCE的体积为三棱锥ABCD的体积的 1 2 ， 从
15、而E到平面ABC的距离为D到平面AC的距离的 1 2 ，即E为DB的中点，得 3 1 0, 22 E . 故1,0,1CD ，2,0,0CA， 3 1 1, 22 CE . 设, ,nx y z是平面ACE的法向量，则 0 0 n CA n CE 即 20, 31 0 22 x xyz 可取 0,1,3n . 设m是平面DCE的法向量，同理可取 3 1, 1 3 m . 则 7 cos, 7 m n n m n m .所以二面角A CED的余弦值为 7 7 . 21解： （）由题意，函数 f x的定义域为0,， 2 212122 210 axaxaxx fxaxax xxx ， 当0a 时，
16、2 0 x fxx x ， 020xfx ； 20xfx ； 当0a时， 1 2 0 a xx a fxx x ， 020xfx ； 20xfx ； 当 1 0 2 a时， 002fxx或 1 x a ； 1 02fxx a ； 当 1 2 a 时， 00fxfx； 当 1 2 a 时， 1 00fxx a 或2x； 1 02fxx a . 综上讨论知：当0a时， f x在0,2上单调递增，在2,上单调递减； 当 1 0 2 a时， f x在0,2， 1 , a 上单调递增，在 1 2, a 上单调递减； 当 1 2 a 时， f x在0,上单调递增； 当 1 2 a 时， f x在 1 0,
17、 a ，2,上单调递增，在 1 ,2 a 上单调递减. （）当0a 时，由 24 x f xex ，只需证明ln2 x ex. 令 ln20 x g xexx， 1 x gxe x ，设 0 0gx，则 0 0 0 1 01 x ex x . 当 0 0,xx时， 0g x， g x单调递减；当 0, xx时， 0g x， g x单调递增， 当 0 xx时， g x取得唯一的极小值，也是最小值， g x的最小值是 0 0 000 00 111 ln2ln220 x x g xexx xex 成立.故 24 x f xex 成 立. 22解： （）直线l的直角坐标方程为2 70xy. 曲线C的普通方程为 22 1 43 xy . （）设点 2cos , 3sinM，则点M到直线l的距离为 2cos3sin2 77sin2 772 7 14 2222 d . 所以点M到直线l的最小距离为 14 2 . 23解： （）由2ab，得 1 1 2 ab. 故 141 1414149 14142 2222 baba ab abababab . 所以 9 21 2 x. 解得， 711 44 x. （） 33 11 ab ab 33 22 ba ab ab 33 2 2 ba abab ab 33 22 224 ba ababab ab .
