1、2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（5）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知集合AxN|x1，Bx|x5，则AB（）Ax|1x5Bx|x1C2，3，4D1，2，3，4，52（5分）已知i是虚数单位，复数z满足zi3+2i=1-i，则z=（）A1+5iB15iC15iD1+5i3（5分）若椭圆E的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E的离心率等于（）A22B5-12C12或22D22或5-124（5分）某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清
2、楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为（）A9100B8800C8700D85005（5分）已知函数f(x)=2x，x0x+1，x0，若f（a2）+f（1）0，则实数a的值等于（）A6B3C3D66（5分）函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|2）对于任意x都有f(3+x)=f(3-x)，它的最小正周期为，则函数f（x）图象的一个对称中心是（）A(-12，0)B(3，1)C(512，0)D(12，0)7（5分）在ABC中，E是AC的中点，BC=3BF，若AB=a，AC=b，则EF=（）A23a-16bB13a+13bC12a+14bD13a-13b8（
3、5分）已知an是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若S46，S818，则S12（）A24B30C42D489（5分）已知点（1，2）在双曲线y2a2-x2b2=1的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A32B5C52D6210（5分）已知f（x）是在R上的奇函数，满足f（x）f（2x），且x0，1时，函数f（x）2x1，函数g（x）f（x）logax（a1）恰有3个零点，则a的取值范围是（）A(0，19)B(19，15)C（1，5）D（5，9）11（5分）我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角
4、形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为（）A6B9C18D2712（5分）已知函数f（x）满足f（x）f（x），且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立，若a（30.2）f（30.2），b（ln2）f（ln2），c=(log319)f(log319)，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDacb二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）如果x+x2+x3+x9+x10a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a9（1+x）9+a10（1+x）10，则a9 ，a10 14（5分）已知实数x，y满足约束条件y2x+y1y2
5、(x-2)，若zx+ty（t0）的最大值为11，则实数t 15（5分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，CACBCC1，ACBC，CE=13CB，CD=13CC1，则直线AC1与DE所成角的大小为 16（5分）已知等差数列an满足：a25，且数列an前4项和S428若bn（1）nan，则数列bn的前2n项和T2n 三解答题（共5小题）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA，ccosAacosB成等差数列（1）求角A；（2）若ABC的面积为3，a2，试判断ABC的形状，并说明理由18某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求
6、，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次方案二：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这时该组k个人的血总共需要化验k+1次假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立（1）设方案二中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列（2）设p0.
7、1，试比较方案二中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）19如图所示，在四棱锥ABCDE中，ABE是正三角形，四边形BCDE为直角梯形，点M为CD中点，且BCDE，BCBE，ABBC2，DE4，AM=23（1）求证：平面ABE平面BCDE；（2）求二面角BAME的余弦值20在平面直角坐标系xOy中，动点M在抛物线y236x上运动，点M在x轴上的射影为N，动点P满足PN=13MN（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F（1，0）作互相垂直的直线AB，DE，分别交曲线C于点A，B和D，E，记
8、OAB，ODE的面积分别为S1，S2，问：S12S22S12+S22是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由21已知函数f（x）（logax）2+xlnx（a1）（1）求证：f（x）在（1，+）上单调递增；（2）若关于x的方程|f（x）t|1在区间（0，+）上有三个零点，求实数t的值；（3）若对任意的x1，x2a1，a，|f（x1）f（x2）|e1恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围四解答题（共1小题）22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P(1，32)，其参数方程x=acosy=3sin（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线
9、E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A，B，且OAOB，求证：1|OA|2+1|OB|2为定值，并求出这个定值五解答题（共1小题）23已知函数f（x）x|xa|，aR（）当f（2）+f（2）4时，求a的取值范围；（）若a0，x，y（，a，不等式f（x）|y+3|+|ya|恒成立，求a的取值范围2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（5）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知集合AxN|x1，Bx|x5，则AB（）Ax|1x5Bx|x1C2，3，4D1，2，3，4，5【解答】解：集合AxN|x1，Bx|x5，ABxN|1x52，3，4故选：C2（
10、5分）已知i是虚数单位，复数z满足zi3+2i=1-i，则z=（）A1+5iB15iC15iD1+5i【解答】解：因为zi3+2i=1-i，所以zi（1i）（3+2i）5i，所以z=-1-5i，z-1+5i，故选：D3（5分）若椭圆E的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E的离心率等于（）A22B5-12C12或22D22或5-12【解答】解：由菱形的对称性垂直可知，在椭圆的顶点与焦点中，可以找出不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，有3种情况，如图：图1中，顶点D焦点B，为菱形的顶点，C为中心，则DCBC，由勾股定理可得（a2+b2）+a2（a+c）2，又a2b2+c2，化简可
11、c2+aca20，解e2+e10，得e=5-12在图2中，以焦点AB菱形的顶点，C为中心，则ACBC，所以OCB45，可得e=ca=22；如图3，以B为菱形的中心，C，E为菱形的顶点，则CDEB，可得 e=ca=22故选：D4（5分）某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为（）A9100B8800C8700D8500【解答】解：另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，若不考虑这2人，中位数为850
12、0+910017600，1760028800，若这两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，则中位数不变，若这两个人的工作位于8500与9100之间，且这两个数关于8800对称，8500与9100也是关于8800对称，所以中位数也是8800，此时这8位员工月工资的中位数取最大值为：8800，故选：B5（5分）已知函数f(x)=2x，x0x+1，x0，若f（a2）+f（1）0，则实数a的值等于（）A6B3C3D6【解答】解：因为f（1）2且f（1）+f（12a）0，所以f（12a）20，所以f（12a）1+12a=-2，解可得a6故选：A6（5分）函数f（x）Asin（x+）（A0，0，
13、|2）对于任意x都有f(3+x)=f(3-x)，它的最小正周期为，则函数f（x）图象的一个对称中心是（）A(-12，0)B(3，1)C(512，0)D(12，0)【解答】解：函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|2）对于任意x都有f(3+x)=f(3-x)，所以函数的图象关于3对称，由于它的最小正周期为，所以2，所以23+=k+2（kZ），由于|2，所以=-6，故f（x）Asin（2x-6），当x=12时，f（12）0故选：D7（5分）在ABC中，E是AC的中点，BC=3BF，若AB=a，AC=b，则EF=（）A23a-16bB13a+13bC12a+14bD13a-13b【解答】解：AB
14、C中，E是AC的中点，BC=3BF，若AB=a，AC=b，则：EF=EC+CF=12AC+23CB=12AC+23(AB-AC)=23AB-16AC=23a-16b故选：A8（5分）已知an是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若S46，S818，则S12（）A24B30C42D48【解答】解：根据题意，等比数列an中，S4、（S8S4）、（S12S8）成等比数列，若S46，S818，即6、12、（S1218）为等比数列，则有6（S1218）122144，解可得：S1242；故选：C9（5分）已知点（1，2）在双曲线y2a2-x2b2=1的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A32B5C
15、52D62【解答】解：点（1，2）在双曲线y2a2-x2b2=1的渐近线上，可得ab=2，所以a24b24c24a2，4c25a2，所以双曲线的离心率为：e=52故选：C10（5分）已知f（x）是在R上的奇函数，满足f（x）f（2x），且x0，1时，函数f（x）2x1，函数g（x）f（x）logax（a1）恰有3个零点，则a的取值范围是（）A(0，19)B(19，15)C（1，5）D（5，9）【解答】解：f（x）是在R上的奇函数，满足f（x）f（2x），函数关于x1对称，f（x）f（x2），可得f（x+4）f（x），函数的周期为4，且x0，1时，函数f（x）2x1，函数的图象如图：当a1时，函
16、数g（x）f（x）logax恰有3个零点，就是方程f（x）logax的解个数为3，可得yf（x）与ylogax由3个交点，两个函数的图象夹在蓝色与红色，之间满足条件，所以loga51，并且loga91，解得a（5，9）故选：D11（5分）我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为（）A6B9C18D27【解答】解：由题意，可知原图为一个底边为直角等腰三角形的直三棱锥，具体图形如下：则有：V=13S底h=13123346故选：
17、A12（5分）已知函数f（x）满足f（x）f（x），且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立，若a（30.2）f（30.2），b（ln2）f（ln2），c=(log319)f(log319)，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDacb【解答】解：令g（x）xf（x），xR，f（x）f（x），g（x）xf（x）xf（x）g（x），即g（x）为奇函数，g（x）f（x）+xf（x）0，g（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上也为单调递增，a（30.2）f（30.2）g（30.2），b（ln2）f（ln2）g（ln2），c（log319）f（log319）g（2），20ln2
18、30.2即log3190ln230.2abc故选：A二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）如果x+x2+x3+x9+x10a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a9（1+x）9+a10（1+x）10，则a99，a101【解答】解：由x+x2+x3+x9+x10a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a9（1+x）9+a10（1+x）10，左右两边相等可得：a10等式左边x10的系数1；a9+a10109=等式左边x9的系数1；a101；a9+a10109=a9+10a101a99；故答案为：9，114（5分）已知实数x，y满足约束条件y2x+y1y2(x-2)，若zx+ty
19、（t0）的最大值为11，则实数t4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由zx+ty得y=-1tx+zt，平移直线y=-1tx+zt，由图象知当直线y=-1tx+zt经过点A时，直线的截距最大此时z最大为11，由y=2y=2(x-2)得A（3，2），则3+2t11，得2t8，t4，故答案为：415（5分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，CACBCC1，ACBC，CE=13CB，CD=13CC1，则直线AC1与DE所成角的大小为60【解答】解：连接BC1因为CD=13CC1，CE=13CB，所以CDCC1=CECB由题意知DEBC1，所以AC1B就是直线AC1与DE所
20、成角设CACBCC1a，则AC1=BC1=AB=2a，则ABC1是正三角形，则AC1B60故直线AC1与DE所成角的大小为60故答案为：6016（5分）已知等差数列an满足：a25，且数列an前4项和S428若bn（1）nan，则数列bn的前2n项和T2n4n【解答】解：根据题意，设等差数列an的公差为d，首项为a1，又由an满足：a25，且数列an前4项和S428，则有a2=a1+d=5s4=2(5+5+d)=28，解可得a11，d4，则ana1+（n1）d4n3；bn（1）nan（1）n（4n3），T2n1+59+1317+（8n3）4n4n；故答案为：4n三解答题（共5小题）17在ABC
21、中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA，ccosAacosB成等差数列（1）求角A；（2）若ABC的面积为3，a2，试判断ABC的形状，并说明理由【解答】解：（1）bcosA，ccosA、acosB成等差数列，2ccosAbcosA+acosB，在ABC中，由正弦定理得，2sinCcosAsinBcosA+sinAcosB，2sinCcosAsin（A+B），由sinCsin（A+B）0得，cosA=12，0A，A=3；（2）ABC的面积为3，且A=3，12bcsinA=3，化简得bc4，又a2，由余弦定理得a2b2+c22bccosA化简得，b2+c28，联立得，bc2，又A
22、=3，ABC是等边三角形18某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次方案二：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这时该组k个人的血总共需要化验k+1次假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试
23、验反应相互独立（1）设方案二中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列（2）设p0.1，试比较方案二中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）【解答】解：（1）根据题意，每个人的血样化验呈阳性的概率为p，则呈阴性的概率q1p，所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为（1p）k，呈阳性反应的概率为1（1p）k，故X=1k，1+1k，P（X=1k）（1p）k，P（X=1+1k）1（1p）k，故X的分布列为： X 1k 1+1k P （1p）k 1（1p）k（2）根据（1）可得方案二的数学
24、期望E（X）=1k(1-p)k+(1+1k)1-(1-p)k=1+1k-(1-p)k，p0.1，当k2时，E（X）=1+12-092=0.69，此时669人需要化验总次数为462次；当k3时，E（X）=1+13-0930.6043，此时669人需要化验总次数为404次；当k4时，E（X）=1+14-094=0.5939，此时669人需要化验总次数为397次；故k4时，化验次数最少，根据方案一，化验次数为669次，故当k4时，化验次数最多可以平均减少669397272次19如图所示，在四棱锥ABCDE中，ABE是正三角形，四边形BCDE为直角梯形，点M为CD中点，且BCDE，BCBE，ABBC2
25、，DE4，AM=23（1）求证：平面ABE平面BCDE；（2）求二面角BAME的余弦值【解答】（1）证明：取BE的中点O，并连接OM则据题意可得：中位线OM的长为|OM|=BC+DE2=3，且OMBE，又因为ABE是正三角形，所以AOBE，故：AOM为二面角ABEM的平面角，而|AO|=32AB=3，|AM|=23，有AO2+OM2AM2，即AOM90，由定义可知：平面ABE平面BCDE（2）解：由（1）可得：OM平面ABE，AOBE，以点O为坐标原点，分别以OA、OB、OM为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B（0，1，0），E（0，1，0），M（0，0，3）AM=(-3，
26、0，3)，BM=(0，-1，3)，EM=(0，1，3)，设m=(x，y，z)为平面ABM的法向量，则有-3x+3z=0-y+3z=0，令x=3可得m=(3，3，1)；同理可得平面AEM的法向量：n=(3，-3，1)，cosm，n=3-9+13+9+13+9+1=-513二面角BAME的平面角是锐角，故二面角BAME的余弦值为51320在平面直角坐标系xOy中，动点M在抛物线y236x上运动，点M在x轴上的射影为N，动点P满足PN=13MN（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F（1，0）作互相垂直的直线AB，DE，分别交曲线C于点A，B和D，E，记OAB，ODE的面积分别为S1，S2，问：S
27、12S22S12+S22是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由【解答】解：（1）设点P（x，y），M（x0，y0），则y02=36x0，且N（x0，0），由PN=13MN，得x=x0y=13y0即x0=xy0=3y，代入y02=36x0，得9y236x，即y24x所以曲线C的方程为y24x（2）由（1）知曲线C为抛物线，点F（1，0）为抛物线C的焦点，当直线AB的斜率为0或不存在时，均不适合题意当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB：xmy+1（m0），与y24x联立消x得，y24my40由0得mR，且m0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y24m，y1y2
28、4所以|AB|=x1+x2+2=my1+my2+2+2=4m2+4原点到直线AB的距离d=11+m2，所以S1=1211+m24(m2+1)=21+m2同理可求得S2=21+(1m)2=21+m2m2所以1S12+1S22=14(1+m2)+m24(1+m2)=14所以S12S22S12+S22=11S12+1S12=4因此S12S22S12+S22为定值421已知函数f（x）（logax）2+xlnx（a1）（1）求证：f（x）在（1，+）上单调递增；（2）若关于x的方程|f（x）t|1在区间（0，+）上有三个零点，求实数t的值；（3）若对任意的x1，x2a1，a，|f（x1）f（x2）|e
29、1恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围【解答】解：（1）证明：f(x)=1-1x+2logax1xlna，a1，x1，f(x)=1-1x+2logax1xlna0，f（x）在（1，+）上单调递增；（2）0x1，分别有1-1x0，2logax1xlna0，f（x）0，结合（1）知，f（x）minf（1），t1f（1）1，t2；（3）由（2）可知，f（x）在a1，1单调递减，在1，a上单调递增，f(x)max=maxf(a-1)，f(a)，且f（a）f（a1）aa12lna，令g（x）xx12lnx，则g(x)=1+x-2-2x=(1x-1)20，g（a）g（1）0，g（x）maxf（
30、a），任意的x1，x2a1，a，|f（x1）f（x2）|f（a）f（1）alna，以下只需alnae1，由h（x）xlnx的单调性解得1ae四解答题（共1小题）22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P(1，32)，其参数方程x=acosy=3sin（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A，B，且OAOB，求证：1|OA|2+1|OB|2为定值，并求出这个定值【解答】解：（ I）将点P(1，32)代入曲线E的方程，得1=acos，32=3sin，解得a24，所以曲线E的普通方程为x24+y23=1，极坐标方程为2(14
31、cos2+13sin2)=1（）不妨设点A，B的极坐标分别为A(1，)，B(2，+2)，10，20，则(1412cos2+1312sin2)=1，(1422cos2(+2)+1322sin2(+2)=1，即112=14cos2+13sin2，122=14sin2+13cos2，112+122=14+13=712，即1|OA|2+1|OB|2=712五解答题（共1小题）23已知函数f（x）x|xa|，aR（）当f（2）+f（2）4时，求a的取值范围；（）若a0，x，y（，a，不等式f（x）|y+3|+|ya|恒成立，求a的取值范围【解答】解：（1）f（2）+f（2）4，可得2|2a|2|2+a|4，即|a2|a+2|2，则a-22-a+a+22或-2a22-a-a-22或a2a-2-a-22，解得a2或2a1或a，则a的范围是（，1）；（2）f（x）|y+3|+|ya|恒成立，等价为f（x）max（|y+3|+|ya|）min，其中当x，y（，a，|y+3|+|ya|y+3+ay|a+3|a+3，当且仅当3ya取得等号，而f（x）x（xa）（x-a2）2+a24a24，当且仅当x=12a时取得等号所以a24a+3，解得0a6
