1、2016-2017学年浙江省杭州市青春中学九年级（上）期中数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1若=，则的值是（）ABCD2已知点（2，y1），（4，y，2）在函数y=x24x+7的图象上，那么y1，y2的大小关系是（）Ay1y2By1=y2Cy1y2D不能确定3下列函数图象中，当x0时，y随x的增大而减小的是（）Ay=By=xCy=x2Dy=（x+1）24如图，直线l1l2l3，直线AC和直线DF在l1，l2，l3上的交点分别为：A，B，C，D，E，F已知AB=6，BC=4，DF=9，则DE=（）A5.4B5C4D3.65四边形ABCD内接于O，： =2：3：5，
2、BAD=120，则ABC的度数为（）A100B105C120D1256在同一坐标系中，函数y=ax2+bx与y=的图象大致是图中的（）ABCD7把1到9的自然数依次写在9张形状相同的卡片上，打乱次序放入袋中从中任意抽出一张卡片，则卡片上的数是2的倍数或3的倍数的概率是（）ABCD8下列有关圆的一些结论：与半径长相等的弦所对的圆周角是30；圆内接正六边形的边长与该圆半径相等；垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦的直径垂直于弦其中正确的是（）ABCD9如图，已知AB是O的直径，弦CDAB于点E，G是的中点，连结AD，AG，CD，则下列结论不一定成立的是（）ACE=DEBADG=GABCAGD=ADCD
3、GDC=BAD10二次函数y=（x1）2+5，当mxn且mn0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）AB2CD二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11如图，D是AB上的一点ABCACD，且AD=2，BD=4，ADC=65，B=43，则A=，AC=12如图，O是ABC的外接圆，AOB=70，则C为度13如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC=度14如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1，b24ac；4a2b+c0；不等式ax2+bx+c0的解集是x3；2a+b=0其中判断正确的是（只填写正确结论的序号）15如图，在平
4、面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是16如图，ABC内接于O，其外角平分线AD交O于D，DMAC于M，下列结论中正确的是DB=DC； AC+AB=2CM；ACAB=2AM； SABD=SABC三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）17二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）求出函数解析式；（2）当x为何值时，y018已知RtAEC中，E=90，请按如下要求进行操作和判断：（1）尺规作图：作AEC的外接圆O，并标出圆心O（不写画法）；（2）延长CE，在CE的延长线上取点B，使EB=EC，
5、连结AB，设AB与O的交点为D（标出字母B、D），判断：图中与相等吗？请说明理由19已知某道判断题的五个选项中有两个正确答案，该题满分为4分，得分规则是：选出两个正确答案且没有选错误答案得4分；只选出一个正确答案且没有选错误答案得2分；不选或所选答案中有错误答案得0分（1）任选一个答案，得到2分的概率是；（2）请利用树状图或表格求任选两个答案，得到4分的概率；（3）如果小明只能确认其中一个答案是正确的，此时的最佳答题策略是A只选确认的那一个正确答案B除了选择确认的那一个正确答案，再任选一个C干脆空着都不选了20已知：如图，AB为O的直径，点C、D在O上，且BC=6cm，AC=8cm，ABD=4
6、5（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积21某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：抛物线型，圆弧型已知这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度22若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，ACBD，则称四边形ABC
7、D为奇妙四边形根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半根据以上信息回答：（1）矩形“奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若O的半径为6，BCD=60求“奇妙四边形”ABCD的面积；（3）如图3，已知O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OMBC于M请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论23在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上（1）已知a=1，点B的纵坐标为2如图1，向
8、右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PEx轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值2016-2017学年浙江省杭州市青春中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1若=，则的值是（）ABCD【考点】比例的性质【分析】根据和比性质，可得答案【解答】解：由和比性质，得=，故选：A【点评】本题考查了比例的性质，利用
9、和比性质是解题关键2已知点（2，y1），（4，y，2）在函数y=x24x+7的图象上，那么y1，y2的大小关系是（）Ay1y2By1=y2Cy1y2D不能确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】求出y1，y2的值即可判断【解答】解：x=2时，y1=19，x=4时，y2=39，y2y1，故选C【点评】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活应用待定系数法，属于基础题，中考常考题型3下列函数图象中，当x0时，y随x的增大而减小的是（）Ay=By=xCy=x2Dy=（x+1）2【考点】二次函数的图象；正比例函数的性质；反比例函数的性质【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质即
10、可判断【解答】解：A、k0，y在第四象限内y随x的增大而增大；B、k0，y随着x的增大而增大；C、y=x2，对称轴x=0，当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小D、y=（x+1）2，对称轴为x=1，a0，当x1，y随着x的增大而减小，所以x0时，y随x的增大而减小故选D【点评】本题综合考查二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目4如图，直线l1l2l3，直线AC和直线DF在l1，l2，l3上的交点分别为：A，B，C，D，E，F已知AB=6，BC=4，DF=9，则DE=（）A5.4B5C4D3.6【考点】平行线分线段成比例【
11、分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式：，代入计算即可【解答】解：l1l2l3，AB=6，BC=4，DF=9，DE=5.4，故选A【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是关键：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例5四边形ABCD内接于O，： =2：3：5，BAD=120，则ABC的度数为（）A100B105C120D125【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理求ABC的度数即可【解答】解：如图所示：连接OA、OB、OC、OD，四边形ABCD为O的内接四边形，： =2：3：5，BAD=120，COD=150，BOC=90，AO
12、B=60，AOD=60，ABC=（150+60）=105；故选：B【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键6在同一坐标系中，函数y=ax2+bx与y=的图象大致是图中的（）ABCD【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得出b的范围，看看是否相同即可【解答】解：A、根据反比例函数得出b0，根据二次函数得出a0，b0，所以b的范围不同，故本选项错误；B、根据反比例函数得出b0，根据二次函数得出a0，b0，所以b的范围不同，故本选项错误；C、根据反比例函数得出b0，根据二次函数得出a0，b0，所以b的范围不同，故本
13、选项错误；D、根据反比例函数得出b0，根据二次函数得出a0，b0，所以b的范围相同，故本选项正确；故选D【点评】本题考查了反比例函数和二次函数的图象和性质的应用，能理解反比例函数和二次函数的图象和性质是解此题的关键7把1到9的自然数依次写在9张形状相同的卡片上，打乱次序放入袋中从中任意抽出一张卡片，则卡片上的数是2的倍数或3的倍数的概率是（）ABCD【考点】概率公式【分析】先求出2的倍数和3的倍数总的个数，再根据概率公式即可得出结论【解答】解：19中是2的倍数有2，4，6，8四个数，是3的倍数有3，6，9三个数，卡片上的数是2的倍数或3的倍数共有6个数，从中任意抽出一张卡片，则卡片上的数是2的
14、倍数或3的倍数的概率是=；故选C【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键8下列有关圆的一些结论：与半径长相等的弦所对的圆周角是30；圆内接正六边形的边长与该圆半径相等；垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦的直径垂直于弦其中正确的是（）ABCD【考点】正多边形和圆；垂径定理【分析】根据在同圆中一条弦对两条弧可对进行判断；根据圆内接正六边形的性质对进行判断；根据垂径定理对进行判断；根据垂径定理的推论对进行判断【解答】解：与半径长相等的弦所对的圆周角是30或150，所以错误；圆内接正六边形的边长与该圆半径相等，所以正确；垂直于弦的直径平分这条弦，所以正确；平分弦（非直径）的直
15、径垂直于弦，所以错误故选C【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理9如图，已知AB是O的直径，弦CDAB于点E，G是的中点，连结AD，AG，CD，则下列结论不一定成立的是（）ACE=DEBADG=GABCAGD=ADCDGDC=BAD【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】根据圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系定理判断即可【解答】解：AB是O的直径，弦CDAB，CE=DE，A成立；G是的
16、中点，=，ADG=GAB，B成立；AB是O的直径，弦CDAB，=，AGD=ADC，C成立；GDC=BAD不成立，D不成立，故选：D【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系，掌握相关的性质定理是解题的关键10二次函数y=（x1）2+5，当mxn且mn0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）AB2CD【考点】二次函数的最值【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可【解答】解：二次函数y=（x1）2+5的大致图象如下：当m0xn1时，当x=m时y取最小值，即2m=（m1）2+5，解得：m=2当x=n时y取最大值，即2n=（n1）2+5，解
17、得：n=2或n=2（均不合题意，舍去）；当m0x1n时，当x=m时y取最小值，即2m=（m1）2+5，解得：m=2当x=1时y取最大值，即2n=（11）2+5，解得：n=，所以m+n=2+=故选：D【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11如图，D是AB上的一点ABCACD，且AD=2，BD=4，ADC=65，B=43，则A=72，AC=2【考点】相似三角形的性质【分析】根据相似三角形的性质列出算式，计算即可【解答】解：ABCACD，ACD=B=43，=，A=180ADCACD=7
18、2，AC=2，故答案为：72；2【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等，对应角相等是解题的关键12如图，O是ABC的外接圆，AOB=70，则C为35度【考点】圆周角定理【专题】计算题【分析】直接利用圆周角定理求解，【解答】解：ACB=AOB=35故答案35【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径13如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC=120度【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系【
19、分析】过O点作ODAC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC根据垂径定理可得OD=OE，AD=CD，根据三角形中位线定理可得OD=BC，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义即可求解【解答】解：过O点作ODAC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BCOD=OE，AD=CD，AB是直径，ACB=90，OD=BC，又OC=OB，OBC是等边三角形，BOC=60，AOC=18060=120，即弧AC=120度故答案为：120【点评】考查了翻折变换（折叠问题），垂径定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义，综合性较强，难度中等14如图是二次函数y=ax2+bx+c的图
20、象的一部分，对称轴是直线x=1，b24ac；4a2b+c0；不等式ax2+bx+c0的解集是x3；2a+b=0其中判断正确的是（只填写正确结论的序号）【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系【分析】根据抛物线与x轴的交点个数对进行判断；由于不能确定抛物线与x轴的交点坐标，于是可对进行判断；由抛物线的对称轴是直线x=1可对作出判断【解答】解：抛物线与x轴有2个交点，b24ac0，即b24ac，所以正确；抛物线的对称轴是直线x=1，但不能确定抛物线与x轴的交点坐标，4a2b+c0不确定；不等式ax2+bx+c0的解集x3错误，所以错误；抛物线的对称轴是直线x=1，=1，即b=2a，
21、2a+b=0，所以正确故答案为：【点评】本题考查的是二次函数与不等式，熟知二次函数的对称轴直线方程是解答此题的关键15如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是2【考点】二次函数综合题【专题】方程思想【分析】设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积【解答】解：设正方形的对角线OA长为2m，则B（m，m），C（m，m），A（0，2m）；把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m，am2+c=m，代入得：m2a+2m=m，解得：a=，则ac=2m=2【点
22、评】本题考查二次函数的性质以及运用，体现了方程思想16如图，ABC内接于O，其外角平分线AD交O于D，DMAC于M，下列结论中正确的是DB=DC； AC+AB=2CM；ACAB=2AM； SABD=SABC【考点】三角形的外接圆与外心【分析】由A、B、C、D四点共圆，可得FAD=BCD，由同弧所对的圆周角相等得到圆周角相等，结合外角平分线可得BCD=CBD，可得BD=CD；过点D作DFBE，可以通过证明三角形全等，通过边的关系可以得到ACAB=2AM，AC+AB=2CM都是正确的；SABD和SABC的大小无法判断【解答】解：过点D作DFBE于F，A、B、C、D四点共圆，FAD=BCD，外角平分
23、线AD交O于D，FAD=DAC，又DBC=DAC，BCD=CBD，DB=DC，故此选项正确；AD外角平分线，DFBE，DMAC于M，DF=DM，在BFDCMD中，RtBFDRtCMD，BF=CM，又AF=AM，ACAB=CM+AMAB=CM+AMCM+AF=CM+AMCM+AM=2AM，故此选项正确；AC+AB=AM+MC+BFFA=AM+MC+MCAM=2CM，故此选项正确；SABD和SABC的大小无法判断，错误，故答案为：【点评】本题考查了圆周角、三角形的外角的性质及全等三角形的判定与性质；作出辅助线，利用三角形全等是正确解答本题的关键三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）17二次函数
24、y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）求出函数解析式；（2）当x为何值时，y0【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式【分析】（1）设y=a（x1）2+3，再把b点坐标代入可得a的值，进而可得函数解析式；（2）根据抛物线的对称性可得另一个与x轴的交点坐标为（2，0），再根据图象可得答案【解答】解：（1）设y=a（x1）2+3，过B（4，0），0=a（41）2+3，解得：a=，函数解析式为y=（x1）2+3；（2）对称轴为x=1，B点坐标为（4，0），另一个与x轴的交点坐标为（2，0），当y0时，图象在x轴下方，x2或x4【点评】此题主要考查了抛物
25、线与x轴的交点，关键是掌握抛物线的对称性18已知RtAEC中，E=90，请按如下要求进行操作和判断：（1）尺规作图：作AEC的外接圆O，并标出圆心O（不写画法）；（2）延长CE，在CE的延长线上取点B，使EB=EC，连结AB，设AB与O的交点为D（标出字母B、D），判断：图中与相等吗？请说明理由【考点】作图复杂作图；全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【分析】（1）先作出AC的中垂线，交AC于O，再以O为圆心，AO的长为半径画圆即可；（2）延长CE，在CE的延长线上取点B，使EB=EC，连结AB，先判定AECAEB（SAS），得出CAE=DAE即可得出结论【解答】解：（1）
26、如图所示，O即为所求；（2）延长CE，在CE的延长线上取点B，使EB=EC，连结AB，则AEB即为所求，BE=EC，AE=AE，AEBC，AECAEB（SAS），CAE=DAE，与相等【点评】本题主要考查了圆心角与弧的关系，全等三角形的判定与性质以及尺规作图的运用，解题时注意：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等19已知某道判断题的五个选项中有两个正确答案，该题满分为4分，得分规则是：选出两个正确答案且没有选错误答案得4分；只选出一个正确答案且没有选错误答案得2分；不选或所选答案中有错误答案得0分（1）任选一个答案，得到2分的概率是；（2）请利用树状图或表格求任选两个答案，
27、得到4分的概率；（3）如果小明只能确认其中一个答案是正确的，此时的最佳答题策略是AA只选确认的那一个正确答案B除了选择确认的那一个正确答案，再任选一个C干脆空着都不选了【考点】列表法与树状图法【分析】（1）直接根据概率公式计算；（2）不妨设五个选项分别为A、B、C、D、E，其中A、B为正确选项，再列表展示所有20种等可能的结果数，找出AB所占结果数，然后根据概率公式求解；（3）易得只选确认的那一个正确答案可得2分，再计算除了选择确认的那一个正确答案，再任意选择剩下的四个选项中的一个所得的分数，然后比较两个的得分后确定最佳答题策略【解答】解：（1）五个选项中有两个正确答案，任选一个答案，选对正确
28、答案的概率=；（2）不妨设五个选项分别为A、B、C、D、E，其中A、B为正确选项列表如下：共有20种等可能的结果数，其中AB占2个结果数，所以得4分的概率=；（3）只选确认的那一个正确答案，则可得2分；若除了选择确认的正确答案A，再从B、C、D、E中任意选择剩下的四个选项中的一个，则再选正确答案的概率为，选错误答案的概率为，所以此时得分=4+0=1，所以此时的最佳答题策略是只选确认的那一个正确答案故答案为A【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A与B的概率20已知：如图，AB为O的直径，点C
29、、D在O上，且BC=6cm，AC=8cm，ABD=45（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积【考点】圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算【分析】（1）由AB为O的直径，得到ACB=90，由勾股定理求得AB，OB=5cm连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形SOBD即可得到结论【解答】解：（1）AB为O的直径，ACB=90，BC=6cm，AC=8cm，AB=10cmOB=5cm连OD，OD=OB，ODB=ABD=45BOD=90BD=5cm（2）S阴影=S扇形SOBD=5255=cm2【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形
30、的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键21某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：抛物线型，圆弧型已知这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度【考点】二次函数的应用【分析】（1）抛物线的解析式为y=ax2+c，把点C（0，8）和点B（16，0），代入即可求出抛物线解析式；
31、（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CDAB于D，延长CD经过O点，设O的半径为R，利用勾股定理求出即可；（3）根据题意画出图形，利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可【解答】解：（1）抛物线的解析式为y=ax2+c，又抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0），0=256a+8，a=抛物线的解析式为y=x2+8（16x16）；（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CDAB于D，延长CD经过O点，设O的半径为R，在RtOBD中，OB2=OD2+DB2R2=（R8）2+162，解得R=20；（3）在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x=OE=164=1
32、2，EF=y=3.5米；在圆弧型中设点F在弧AB上，作FEAB于E，OHFE于H，则OH=D E=164=12，O F=R=20，在RtOH F中，H F=，HE=OD=OCCD=208=12，EF=HFHE=1612=4（米）在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及二次函数的应用，根据题意画出图形结合勾股定理得出是解题关键22若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，ACBD，则称四边形ABCD为奇妙四边形根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的
33、一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半根据以上信息回答：（1）矩形不是“奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若O的半径为6，BCD=60求“奇妙四边形”ABCD的面积；（3）如图3，已知O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OMBC于M请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论【考点】圆的综合题【专题】综合题【分析】（1）根据矩形的性质和“奇妙四边形”的定义进行判断；（2）连结OB、OD，作OHBD于H，如图2，根据垂径定理得到BH=DH，根据圆周角定理得到BOD=2BCD=120，则利用等腰三角形的性质得OBD=
34、30，在RtOBH中可计算出BH=OH=3，BD=2BH=6，则AC=BD=6，然后根据奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半求解；（3）连结OB、OC、OA、OD，作OEAD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到BOM=BAC，AOE=ABD，再利用等角的余角相等得到OBM=AOE，则可证明BOMOAE得到OM=AE，于是有OM=AD【解答】解：（1）矩形的对角线相等但不垂直，所以矩形不是“奇妙四边形”；故答案为不是；（2）连结OB、OD，作OHBD于H，如图2，则BH=DH，BOD=2BCD=260=120，OBD=30，在RtOBH中，OBH=30，OH=OB
35、=3，BH=OH=3，BD=2BH=6，AC=BD=6，“奇妙四边形”ABCD的面积=66=54；（3）OM=AD理由如下：连结OB、OC、OA、OD，作OEAD于E，如图3，OEAD，AE=DE，BOC=2BAC，而BOC=2BOM，BOM=BAC，同理可得AOE=ABD，BDAC，BAC+ABD=90，BOM+AOE=90，BOM+OBM=90，OBM=AOE，在BOM和OAE中，BOMOAE，OM=AE，OM=AD【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题23在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线
36、与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上（1）已知a=1，点B的纵坐标为2如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PEx轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据函数解析式求出点A、B的坐标，求出AC的长；作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，根据抛物线的轴对称性求出OM，利用待定系数法
37、求出抛物线的函数表达式；（2）过点B作BKx轴于点K，设OK=t，得到OG=4t，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，根据抛物线过点B（t，at2），求出的值，根据抛物线上点的坐标特征求出的值【解答】解：（1）二次函数y=x2，当y=2时，2=x2，解得x1=，x2=，AB=2平移得到的抛物线L1经过点B，BC=AB=2，AC=4作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，如图2，根据抛物线的轴对称性，得BN=DB=，OM=设抛物线L2的函数表达式为y=a（x）2，由得，B点的坐标为（，2），2=a（）2，解得a=4抛物线L2的函数表达式为y=4（x）2；（2）如图3，抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，过点B作BKx轴于点K，设OK=t，则AB=BD=2t，点B的坐标为（t，at2），根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t设抛物线L3的函数表达式为y=a3x（x4t），该抛物线过点B（t，at2），at2=a3t（t4t），t0，=，由题意得，点P的坐标为（2t，4a3t2），则4a3t2=ax2，解得，x1=t，x2=t，EF=t，=【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，灵活运用待定系数法求出函数解析式、掌握抛物线的对称性、正确理解抛物线上点的坐标特征是解题的关键
