1、*高中自主招生练习卷数学试卷考生注意：1. 本试卷共18题.2. 试卷满分150分，考试时间100分钟.3. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.4. 除第一大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、填空题（41分，第15题每题3分，第67题每题8分，第8题10分）1.的最小值是 .2.不等式的解是全体实数，则的取值范围是 .3. 如图，梯形ABCD中，DCAB，DC3cm，AB6cm，且MNPQAB，DMMPPA，则MNcm，PQcm.4已知关于 的不等式的解是一切实数，则的取值范围为_.5.已知关于
2、的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 .6. 若多项式分解因式的结果中有一个因式为，则的值为 .7.若为正实数，且，则的最小值为 .8.对任意A中任取两个元素x，y，定义运算x*yax+by+cxy，其中a，b，c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算已知1*23，2*34，并且集合A中存在一个非零常数m，使得对任意x，都有x*mx，则称m是集合A的“钉子”集合Ax|0x4的“钉子”为 二、简答题（共109分）9.（8分）已知实数,满足,求的值.10.（8分）已知集合A0，1，Ba2，2a，其中aR，我们把集合x|xx1+x2，x1A，x2B，记作AB，若集合AB中的最大元素是2
3、a+1，求a的取值范围.11.（8分）设，且，求的取值范围。12.（10分）若不等式ax2+5x20的解集是（1）求不等式ax25x+a210的解集（2）已知二次不等式ax2+bx+c0的解集为，求关于x的不等式cx2bx+a0的解集13.（10分）已知函数f（x）|x+a|+|x2|（）当a3时，求不等式f（x）3的解集；（）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围14.（10分）已知aR且a1，试比较与1+a的大小15.（12分）求代数式的最小值16.（14分）等腰直角三角形 PQR的斜边QR的长为 2. 正方形 ABCD的边 AB 在QR 上, 边 DC 过点P, 边 DA,C
4、B分别交PQ,PR于点M ,N . 当 AB在QR上水平滑动时, QAM与BRN 的周长和是否为定值？说明理由17.（14分）初中时，我们已经简单学习了向量。阅读以下材料，回答问题：向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为一组基底。为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量。由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得=x+y，因此把实数对(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)。这就是向量的坐标表示。其中(x,y)就是点P的坐标。向量称为点P的位置向量。设，都是非零向量，是与的夹角则有： |cos=；当与同向时=|当与反
5、向时=-|； |；=0，适用在平面内的两直线.（1）已知三点P(1,1),A(2,-4),B(,-9)在一条直线上，用向量的方法求的值.（2）等腰直角三角形中，=2,则= .（3）若向量+3与7-5垂直，-4与7-2垂直，则非零向量与的夹角是 .18.（15分）如果有理数可以表示成（其中是任意有理数）的形式，我们就称为“录取数”。请证明：两个“录取数”（）之商也是“录取数”。高中自主招生练习卷数学答案要点一、填空题（41分，第15题每题3分，第67题每题8分，第8题10分）题号12345678答案54；50,1)m且m-2,m4-2054二、 简答题9. 分类讨论.当a,b均大于0时，原式=1
6、；当a,b均大于0时，原式=-1.10.【解答】解：由题意可知集合AB中的元素分别是a2，2a，a2+1，2a+1，2a+1为最大元素可列不等式2a+1a2+1解不等式得0a2故答案为：0a211. 解：令 则 比较系数有 即12.【解答】解（1）因为等式ax2+5x20的解集是x|，所以和2是一元二次方程ax2+5x20的两根，解得a2，不等式ax25x+a210可化为2x25x+30，即2x2+5x30，（2x1）（x3）0，解得3x，所以不等式ax25x+a210的解集为（3，）；（2）由（1）知a2，二次不等式2x2+bx+c0的解集为，和是一元二次方程2x2+bx+c0的两根，+，解
7、得b，c，所以不等式cx2bx+a0可化为：x20，即x2+5x+60，解得3x2所以关于x的不等式cx2bx+a0的解集为（3，2）13.【解答】解：（1）当a3时，f（x）3 即|x3|+|x2|3，即，或，或；解可得x1，解可得x，解可得x4把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x1或x4（2）原命题即f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x在1，2上恒成立故当 1x2时，2x的最大值为213，2x的最小值为0，故a的取值范围为3，014.【解答】解：（1+a）可得当a0时，；当a1时，；MAKE BY ASEEE0当a1且a0时，综上可知：当a0时，；当a1时，；当a1且a0时，15.原式可化为平面直角坐标系中一点到两点的距离之和.结合图形可得，原式最小值为.16.是定值，.17.（1）x=3；（2）-4；（3）60.18.解：=，其中是有理数， “录取数”（其中是任意有理数），只须 即可。 对于任意的两个两个“录取数”，不妨设其中j、k、r、s为任意给定的有理数， 则是“世博数”； =也是“录取数”。
