1、2020年山东省高考数学模拟试卷（4）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）设全集为R，集合AxZ|1x3，集合B1，2，则集合A（RB）（）A1，0B（1，1）（2，3C（0，1）（1，2）（2，3D0，32（5分）命题“xR，x240”的否定是（）AxR，x240BxR，x240CxR，x240DxR，x2403（5分）设z=1-i1+i+2i，则|z|（）A0B12C1D24（5分）若（1ax+x2）4的展开式中x5的系数为56，则实数a的值为（）A2B2C3D45（5分）已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且(2a-b)(a+2b)=9，则向量a，b的夹角为（
2、）A23B2C3D66（5分）直线x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x2）2+y22上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6B4，8C2，32D22，327（5分）已知函数f(x)=x+12，x0，12)2x-1，x12，2)，若存在x1，x2，当0x1x22时，f（x1）f（x2），则x1f（x2）f（x2）的取值范围为（）A(0，2-324)B-916，2-324)C2-324，-12)D-916，-12)8（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C11，底面为等腰直角三角形，侧棱长为1，体积为12，若此三棱柱的所有顶点均在同一个球面上，则该球的直径是（）A1B3C2D2二多
3、选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图根据该折线图，下列结论正确的是（）A年接待游客量逐年增加B各年的月接待游客量高峰期大致在8月C2017年1月至12月接待游客量的中位数为30D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳10（5分）设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点，则（）A在内存在直线与直线AB异面B在内存在直线与直线AB相交C在内存在直线与直线AB平行D存在过直线AB的平面与垂直E存在过直线A
4、B的平面与平行11（5分）椭圆C：x216+y212=1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的值可能是（）A1B3C4D812（5分）下列说法正确的是（）A“|x|2019”是“x2019”的充分条件B“x1”是“x22x30”充分不必要条件C“m是实数”的充分必要条件是“m是有理数”D若ba0，则1a1b三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种（用数字填写答案）14（5分）已知函数f（x）ln（x+x2+1），若正实数a，b满足f（2a）+f（b1）0，则1a+1b的最小值是 15（
5、5分）共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若椭圆的短轴长是双曲线虚轴长的3倍，则1e1+1e2的最大值为 16（5分）已知函数f（x）2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知数列an满足a11，an+14an+3n1，bnan+n（1）证明：数列bn为等比数列；（2）求数列an的前n项和18（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b2ccosB，c=3（1）求角C；（2）延长线段AC到点D，使CDCB，求ABD周长的取值范围19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ADBC，ABAD
6、DC=12BC2，PBAC（1）证明：平面PAB平面ABCD；（2）若PA4，PB23，求二面BPCD的余弦值20（12分）已知直线yk（x2）与抛物线：y2=12x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交于点N（）证明：抛物线在点N处的切线与AB平行；（）是否存在实数k使NANB=0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由21（12分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：x13467y56.577.58y与x可用
7、回归方程y=blgx+a（其中a，b为常数）进行模拟（）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元|（）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图（i）若从箱数在40，120）内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在80，120）内的概率；（）求这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设tlgx，则t y i=15 (ti-t)(yi-y) i=15 (ti-t)2 0.546.81.530.45线性回归直线y=blgx+a中，b=i=1
8、n (ti-t)(yi-y)i=1n (ti-t)2，a=y-bt22（12分）已知函数f（x）x22xlnx，函数g（x）x+ax-(lnx)2，其中aR，x0是g（x）的一个极值点，且g（x0）2（1）讨论f（x）的单调性；（2）求实数x0和a的值；（3）证明k=1n 14k2-112ln(2n+1)(nN*)2020年山东省高考数学模拟试卷（4）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）设全集为R，集合AxZ|1x3，集合B1，2，则集合A（RB）（）A1，0B（1，1）（2，3C（0，1）（1，2）（2，3D0，3【解答】解：全集为R，集合AxZ|1x30
9、，1，2，3，集合B1，2，集合A（RB）0，3故选：D2（5分）命题“xR，x240”的否定是（）AxR，x240BxR，x240CxR，x240DxR，x240【解答】解：命题“xR，x240”的否定是“xR，x240”故选：D3（5分）设z=1-i1+i+2i，则|z|（）A0B12C1D2【解答】解：z=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i)(1-i)(1+i)+2ii+2ii，则|z|1故选：C4（5分）若（1ax+x2）4的展开式中x5的系数为56，则实数a的值为（）A2B2C3D4【解答】解：（1ax+x2）41+（x2ax）4，二项展开式的通项公式为Tr+1=C4r(x2-a
10、x)r=C4rCrk(x2)r-k(-ax)k=(-a)kC4rCrkx2r-k，其中r0，1，2，3，4且k0，1，2，r，依题意，2rk5，k=1r=3，k=3r=4，展开式中x5的系数为(-a)1C43C31+(-a)3C44C43=-12a-4a3，12a4a356，解得a2故选：B5（5分）已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且(2a-b)(a+2b)=9，则向量a，b的夹角为（）A23B2C3D6【解答】解：|a|=2，|b|=1，(2a-b)(a+2b)=2a2-2b2+3ab=8-2+3ab=9，ab=1，cosa，b=ab|a|b|=12，且0a，b，a，b=3故选
11、：C6（5分）直线x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x2）2+y22上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6B4，8C2，32D22，32【解答】解：直线x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，令x0，得y2，令y0，得x2，A（2，0），B（0，2），|AB|=4+4=22，点P在圆（x2）2+y22上，设P（2+2cos，2sin），点P到直线x+y+20的距离：d=|2+2cos+2sin+2|2=|2sin(+4)+4|2，sin（+4）1，1，d=|2sin(+4)+4|22，32，ABP面积的取值范围是：12222，1222322，6故选：A7（5分）已知函
12、数f(x)=x+12，x0，12)2x-1，x12，2)，若存在x1，x2，当0x1x22时，f（x1）f（x2），则x1f（x2）f（x2）的取值范围为（）A(0，2-324)B-916，2-324)C2-324，-12)D-916，-12)【解答】解：作出函数的图象：存在x1，x2，当0x1x22时，f（x1）f（x2）0x112，x+12在0，12）上的最小值为12；2x1在12，2）的最小值为22x1+1222，x12-12，2-12x112f（x1）x1+12，f（x1）f（x2）x1f（x2）f（x2）x1f（x1）f（x1）2=x12+12x1-（x1+12）x12-12x1-1
13、2，设yx12-12x1-12=（x1-14）2-916，（2-12x112），则对应抛物线的对称轴为x=14，当x=14时，y=-916，当x=2-12时，y=2-324，当x=12时，y=-12，即x1f（x2）f（x2）的取值范围为-916，-12）故选：D8（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C11，底面为等腰直角三角形，侧棱长为1，体积为12，若此三棱柱的所有顶点均在同一个球面上，则该球的直径是（）A1B3C2D2【解答】解：如图，设底面等腰直角三角形的直角边长为x，则12xx1=12，得x1把该直三棱柱补形为长方体，则长方体的对角线长为12+12+12=3该球的直径是3故选：B二多选
14、题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图根据该折线图，下列结论正确的是（）A年接待游客量逐年增加B各年的月接待游客量高峰期大致在8月C2017年1月至12月接待游客量的中位数为30D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：在A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正确；
15、在C中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C错误；在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确故选：ABD10（5分）设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点，则（）A在内存在直线与直线AB异面B在内存在直线与直线AB相交C在内存在直线与直线AB平行D存在过直线AB的平面与垂直E存在过直线AB的平面与平行【解答】解：设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点，所以AB与平面，可能相交也可能平行，对于A，在内存在直线与直线AB异面，正确；对于B，在内存在直线与直线AB相交，如果直线AB与平面平行，则选项B不正确；对于C，在内存在直线
16、与直线AB平行，如果直线AB与平面相交，则选项C不正确；对于D，过A作平面的垂线，此时与直线AB所在的平面与平面垂直，所以存在过直线AB的平面与垂直，所以D正确；对于E，存在过直线AB的平面与平行，当直线AB与平面相交时，选项E不正确；故选：AD11（5分）椭圆C：x216+y212=1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的值可能是（）A1B3C4D8【解答】解：椭圆C：x216+y212=1，可得a4，b23，c2，所以椭圆C：x216+y212=1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则2a2|PF|a+c6，|PF|的值可能是3，4故选：BC12（5分）下列说法正确的是（）A“|
17、x|2019”是“x2019”的充分条件B“x1”是“x22x30”充分不必要条件C“m是实数”的充分必要条件是“m是有理数”D若ba0，则1a1b【解答】解：在A中，“|x|2019”是“x2019”的必要不充分条件，故A错误；在B中，“x1”“x22x30”，“x22x30”“x1或x3”，“x1”是“x22x30”的充分不必要条件，故B错误；在C中，“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件，故C错误；在D中，若ba0，则由不等式取倒数法则得1a1b，故D正确故选：BD三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选
18、，则不同的选法共有16种（用数字填写答案）【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C4212，2女1男，有C22C414根据分类计数原理可得，共有12+416种，方法二，间接法：C63C4320416种，故答案为：1614（5分）已知函数f（x）ln（x+x2+1），若正实数a，b满足f（2a）+f（b1）0，则1a+1b的最小值是22+3【解答】解：f（x）ln（x+x2+1），f（x）ln（x+x2+1），f（x）+f（x）ln（x+x2+1）（x+x2+1）ln10，函数f（x）ln（x+x2+1）为R上的奇函数，又yx+x2+1在其定义域上是增函数，故f（x）ln（x+x2+1）
19、在其定义域上是增函数，f（2a）+f（b一1）0，2a+b10，故2a+b1；故1a+1b=2a+ba+2a+bb2+ba+2ab+1=ba+2ab+322+3（当且仅当ba=2ab，即a=2-22，b=2-1时，等号成立），故答案为：22+315（5分）共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若椭圆的短轴长是双曲线虚轴长的3倍，则1e1+1e2的最大值为103【解答】解：设椭圆的短半轴长和双曲线虚半轴长分别为b1、b2，椭圆的长半轴长和双曲线实半轴长分别为a1、a2，则b1=3b2a12+9a22=10c2，令a1=10csin，a2=103ccos，1e1+1e2=103(3sin+
20、cos)=103sin(+)103故答案为：10316（5分）已知函数f（x）2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是-332【解答】解：由题意可得T2是f（x）2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）2sinx+sin2x在0，2）上的值域，先来求该函数在0，2）上的极值点，求导数可得f（x）2cosx+2cos2x2cosx+2（2cos2x1）2（2cosx1）（cosx+1），令f（x）0可解得cosx=12或cosx1，可得此时x=3，或 53；y2sinx+sin2x的最小值只能在点x=3，或 53和边界点x0中取到，计算可得f（ 3）=332，f（）0，f（ 53
21、）=-332，f（0）0，函数的最小值为-332，故答案为：-332四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知数列an满足a11，an+14an+3n1，bnan+n（1）证明：数列bn为等比数列；（2）求数列an的前n项和【解答】证明：（1）数列an满足a11，an+14an+3n1，bnan+n所以bn+1an+1+n+14an+3n1+n14（an+n），故数列bn+1bn=4(an+n)an+n=4（常数），所以数列bn是以b1a1+12为首项，4为公比的等比数列解：（2）由于数列bn是以b1a1+12为首项，4为公比的等比数列，所以bn=an+n=b14n-1=22n-1所以
22、an=22n-1-n，故Tna1+a2+an（21+23+22n1）（1+2+n）=2(4n-1)4-1-n(n+1)2=22n+1-23-n(n+1)218（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b2ccosB，c=3（1）求角C；（2）延长线段AC到点D，使CDCB，求ABD周长的取值范围【解答】解：（1）根据余弦定理得2a+b=2ca2+c2-b22ac，整理得：a2+b2c2ab，由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，由于C（0，），可得C=23（2）由于C=23，即BCD=3，又CDCB，可得BCD为等边三角形，可得BDCDa
23、，所以ABD的周长L2a+b+3，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=332=2，所以：a2sinA，b2sinB，因为：A=3-B，又B（0，3），可得cosB（12，1），所以2a+b4sinA+2sinB4sin（3-B）+2sinB4（32cosB-12sinB）+2sinB23cosB，所以2a+b(3，23)，所以周长L2a+b+3的取值范围是（23，33）19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ADBC，ABADDC=12BC2，PBAC（1）证明：平面PAB平面ABCD；（2）若PA4，PB23，求二面BPCD的余弦值【解答】解：（1）ADBC，
24、AB=AD=12BC=2，BAC90，ABAC又PBAC，AC平面PABAC平面ABCD，平面PAB平面ABCD（2）PA=4，PB=23，AB=2，PBBA，由（1）知，PB平面ABCD，PBBC，平面PBC平面ABCD过D作DEBC于E，则DE平面PBC，过E作EFPC交PC于F，则DFE为所求二面角平面角在梯形ABCD中，求得DE=3，在RtPBC中求得EF=37在RtDEF中，求得DE=267，DF=3在DEF中，求得cosDEF=24即二面BPCD的余弦值为2420（12分）已知直线yk（x2）与抛物线：y2=12x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交于点N（）证
25、明：抛物线在点N处的切线与AB平行；（）是否存在实数k使NANB=0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由【解答】解：（）由y=k(x-2)y2=12x消去x并整理，得2k2x2（8k2+1）x+8k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8k2+12k2，x1x2=4，xM=x1+x22=8k2+14k2，yM=k(xM-2)=k(8k2+14k2-2)=14k，由题设条件可知，yN=yM=14k，xN=2y2N=18k2，N(18k2，14k)，设抛物线在点N处的切线l的方程为y-14k=m(x-18k2)，将x2y2代入上式，得2my2-y+14k-m8k2=0，直线l
26、与抛物线相切，=12-42m(14k-m8k2)=(m-k)2k2=0，mk，即lAB（）假设存在实数k，使NANB=0，则NANB，M是AB的中点，|MN|=12|AB|，由（）得|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(8k2+12k2)2-44=1+k216k2+12k2，MNy轴，|MN|=|xM-xN|=8k2+14k2-18k2=16k2+18k2，16k2+18k2=121+k216k2+12k2，解得k=12，故存在k=12，使NANB=021（12分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果
27、搬到了大棚里，收到了很好的经济效益根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：x13467y56.577.58y与x可用回归方程y=blgx+a（其中a，b为常数）进行模拟（）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元|（）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图（i）若从箱数在40，120）内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在80，120）内的概率；（）求这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公
28、式：设tlgx，则t y i=15 (ti-t)(yi-y) i=15 (ti-t)2 0.546.81.530.45线性回归直线y=blgx+a中，b=i=1n (ti-t)(yi-y)i=1n (ti-t)2，a=y-bt【解答】解（）根据题意，b=i=1n (ti-t)(yi-y)i=1n (ti-t)2=1.530.45=3.4，a=y-bt=6.8-3.40.54=4.964，y=3.4t+4.964又tlgx，y=3.4lgx+4.964x10时，y=3.4+4.964=8.364（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润1500083646636
29、（）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在40，80）内的天数为13204016=2设这两天分别为a，b，水果箱数在80，120）内的天数为11604016=4，设这四天分别为A，B，C，D随机抽取2天的基本结果为：（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）共15种满足恰有1天的水果箱数在80，120）内的结果为：（Aa），（Ab），（Ba），（Bb），（Ca），（Cb），（Da），（Db）共8种，所以估计恰有1天的水果箱数在80，120）内的概率为P=815（）这16天该农户每天为甲地
30、配送的该新奇水果的箱数的平均值为：60132040+100116040+14018040+180132040=125（箱）22（12分）已知函数f（x）x22xlnx，函数g（x）x+ax-(lnx)2，其中aR，x0是g（x）的一个极值点，且g（x0）2（1）讨论f（x）的单调性；（2）求实数x0和a的值；（3）证明k=1n 14k2-112ln(2n+1)(nN*)【解答】解：（1）函数f（x）的定义域（0，+），f（x）2x2lnx2，令h（x）2x2lnx2，则h（x）=2(x-1)x，由h（x）0可得x1，当x（0，1）时，h（x）0，h（x）单调递减，当x（1，+）时，h（x）0，
31、h（x）单调递增，故当x1时，函数取得极小值也是最小值h（1）0，所以h（x）0即f（x）0，所以f（x）在（0，+）上单调递增；（2）g（x）的定义域（0，+），g(x)=1-ax2-2lnxx，由题意可得，g（x0）0即x02-2x0lnx0-a=0，由g（x0）2可得x02-x0(lnx0)2-2lnx0-2=0，联立消去a可得，2x0-(lnx0)2-2lnx0-2=0，令t（x）2x（lnx）22lnx2，则t(x)=2-2lnxx-2x=2(x-lnx-1)x，由（1）知xlnx10，故t（x）0，故t（x）在（0，+）上单调递增，又t（1）0，故方程有唯一的解x01，代入可得a1
32、，所以x01，a1，（3）证明：由（1）f（x）x22xlnx在（0，+）上单调递增，故当x1时，f（x）f（1）1，g(x)=x2-2xlnx-1x2=f(x)-1x20，所以g（x）在（1，+）上单调递增，因此当x1时，g（x）g（1）2，即x+1x-(lnx)22，故(x-1x)2(lnx)2，x-1xlnx，取x=2k+12k-1，kN*，可得2k+12k-1-2k-12k+1ln（2k+1）ln（2k1），化简可得，2k+12k-1-2k-12k+1=24k2-1，故k=1n 14k2-1k=1n ln(2k+1)-ln(2k-1)=（ln3ln1）+（ln5ln3）+ln（2n+1）ln（2n1）ln（2n+1），所以k=1n 14k2-112ln(2n+1)(nN*)
