1、2020年山东省新高考数学模拟试卷（六）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）在复平面内，复数对应的点与对应的点关于实轴对称，则ABCD2（5分）“ “是“，成立“的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）已知数据，是上海普通职个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确A年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D年收
2、入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变4（5分）函数是定义在上的奇函数，则实数AB0C1D25（5分）函数的图象大致是ABCD6（5分）已知为双曲线上一点，为双曲线的左、右焦点，若，且直线与以的实轴为直径的圆相切，则的渐近线方程为ABCD7（5分）已知四边形为边长等于的正方形，平面，且异面直线与所成的角为，则四棱锥外接球的表面积等于ABCD8（5分）设函数，若函数有三个零点，则A12B11C6D3二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9（5分）在平行四边形中，若为线段的中点，则AB
3、CD10（5分）关于函数，下列说法中正确的有A的表达式可改写成B是奇函数C的图象关于点，对称D的图象关于直线对称11（5分）已知平面平面，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是ABCD12（5分）已知点和点，直线，的斜率乘积为常数，设点的轨迹为，下列说法正确的是A存在非零常数，使上所有点到两点，距离之和为定值B存在非零常数，使上所有点到两点，距离之和为定值C不存在非零常数，使上所有点到两点，距离之差的绝对值为定值D不存在非零常数，使上所有点到两点，距离之差的绝对值为定值三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.13（5分）某学校将甲、乙等6名新招聘的老师分配到4个不
4、同的年级，每个年级至少分配1名教师，且甲、乙两名老师必须分到同一个年级，则不同的分法种数为14（5分）抛物线图象在第一象限内一点，处的切线与轴交点的横坐标记为，其中，若，则15（5分）已知四边形中，则的长为16（5分）设全集，2，3，非空集合，满足以下条件：，；若，则且当时，1（填或，此时中元素个数为四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出的值；若不存在，说明理由已知数列为等比数列，数列的首项，其前项和为，是否存在，使得对任意，恒成立？18（12分）已知，设（1）求的解析式并求出它的
5、周期（2）在中，角，所对的边分别为，且，（A），求的面积19（12分）如图，三棱柱中，（1）证明：；（2）若，且，求二面角的余弦值20（12分）已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于，两点当直线与轴垂直时，（1）求抛物线的方程；（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，的斜率成等差数列，求点的坐标21（12分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感某研究人员每隔测量一次茶水温度，得到下面的一组数据和散点图时间01234水温8579757168（1）从表中所给的5个水温数据中
6、任取2个，记表示这2个数据中高于的个数，求的分布列和数学期望；（2）在室温下，设茶水温度从开始，经过后的温度为，根据这些数据的散点图，可用回归方程，近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，其中为比例系数，为温度的衰减比例，且的估计值，2，3，为第对应的水温，根据表中数据求：关于的回归方程（保留2位小数）；刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（保留整数，参考数据：，22（12分）已知函数（）证明：；（）若直线为函数的切线，求的最小值2020年山东省新高考数学模拟试卷（六）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
7、要求的）1（5分）在复平面内，复数对应的点与对应的点关于实轴对称，则ABCD【解答】解：由题意，则，故选：2（5分）“ “是“，成立“的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，当时，即“，成立，则“ “是“，成立“的充分条件，反之，若，若成立，必有，则“ “是“，成立“的不必要条件，故“ “是“，成立“的充分不必要条件，故选：3（5分）已知数据，是上海普通职个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确A年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B年收入平均数大大增大，中位数可能
8、不变，方差变大C年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变【解答】解：根据题意，数据，是上海普通职工个人的年收入，而为世界首富的年收入；则会远大于，故这个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能变大，但由于数据的集中程序也受到比较大的影响，而更加离散，则方差变大；故选：4（5分）函数是定义在上的奇函数，则实数AB0C1D2【解答】解：是定义在上的奇函数，且时，；故选：5（5分）函数的图象大致是ABCD【解答】解：，函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故排除，当时，单调性是增减交替出现的，故排除， 故选：6（5分）已知为双
9、曲线上一点，为双曲线的左、右焦点，若，且直线与以的实轴为直径的圆相切，则的渐近线方程为ABCD【解答】解：设直线与圆相切于点，则，取的中点，连接，由于，则，由，则，即有，由双曲线的定义可得，即，即，即，则则的渐近线方程为：故选：7（5分）已知四边形为边长等于的正方形，平面，且异面直线与所成的角为，则四棱锥外接球的表面积等于ABCD【解答】解：如图，平面，平面异面直线与所成的角为，在中，故四棱锥的外接球，就是以，为共点棱的正方体的外接球，则外接球的半径，则四棱锥外接球的表面积等于，故选：8（5分）设函数，若函数有三个零点，则A12B11C6D3【解答】解：作出函数的图象如图所示，由图可得关于的方
10、程的解有两个或三个时有三个，时有两个），所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），由，可得，的值分别为1，2，3，故选：二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9（5分）在平行四边形中，若为线段的中点，则ABCD【解答】解：在平行四边形中，若为线段中点，建立如图所示的坐标系，则，则，可得，则；故选：10（5分）关于函数，下列说法中正确的有A的表达式可改写成B是奇函数C的图象关于点，对称D的图象关于直线对称【解答】解：所以正确；函数，时，所以函数不是奇函数，不正确；
11、、时，所以函数的图象关于点，对称，正确；时，的图象不关于直线对称，所以不正确；故选：11（5分）已知平面平面，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是ABCD【解答】解：由平面平面，点，直线，直线，直线，知：在中，点，直线，直线，故正确；在中，点，直线，直线，或，故错误；在中，故正确；在中，或，故错误故选：12（5分）已知点和点，直线，的斜率乘积为常数，设点的轨迹为，下列说法正确的是A存在非零常数，使上所有点到两点，距离之和为定值B存在非零常数，使上所有点到两点，距离之和为定值C不存在非零常数，使上所有点到两点，距离之差的绝对值为定值D不存在非零常数，使上所有点到两点，距离之
12、差的绝对值为定值【解答】解：设由，得，若，则方程为，轨迹为圆（除 点）；若，方程为，轨迹为椭圆（除 点），不符合；，符合，存在非零常数，使上所有点到两点，距离之和为定值；若，方程为，轨迹为双曲线（除 点），存在非零常数，使上所有点到两点，距离差的绝对值为定值不符合是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在轴上故选：三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.13（5分）某学校将甲、乙等6名新招聘的老师分配到4个不同的年级，每个年级至少分配1名教师，且甲、乙两名老师必须分到同一个年级，则不同的分法种数为240【解答】解：6名老师分配到4个不同的年级，每个年级至少分配1名教师，则四个年
13、级的人数为1，1，1，3或1，1，2，2，因为甲、乙两名老师必须分到同一个年级，所以若甲乙一组3个人，则从剩余4人选1人和甲乙1组，有，然后全排列有，若人数为1，1，2，2，则甲乙一组，剩余4人分3组，从剩余4人选2人一组有，然后全排列有，共有，故答案为：24014（5分）抛物线图象在第一象限内一点，处的切线与轴交点的横坐标记为，其中，若，则42【解答】解：，在第一象限内图象上，一点，处的切线方程是：，整理，得，切线与轴交点的横坐标为，是首项为，公比的等比数列，故答案为：4215（5分）已知四边形中，则的长为【解答】解：在中由余弦定理可知：，在中与余弦定理可知：，将，代入，整理得：，则，整理得
14、：，两边平方，整理得：，故答案为：16（5分）设全集，2，3，非空集合，满足以下条件：，；若，则且当时，1（填或，此时中元素个数为【解答】解：若，假设，则与矛盾，则假设不成立，即，若时，则，即，即，若，则，成立，则，即，则，与时矛盾，则，即，若，则，则与矛盾，则，则，即，若，则，与矛盾，则若，则，与矛盾，则，若，则，与矛盾，则，则，2，3，4，5，6，8，9，10，11，12，13，15，16，17，18，19，中元素有18个，故答案为：18四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出的
15、值；若不存在，说明理由已知数列为等比数列，数列的首项，其前项和为，是否存在，使得对任意，恒成立？【解答】解：选择数列的首项，公差设等比数列的公比为，解得，（1），（2），（3），时，因此存在正整数，使得对任意，恒成立18（12分）已知，设（1）求的解析式并求出它的周期（2）在中，角，所对的边分别为，且，（A），求的面积【解答】解：（1）由，则，即函数的周期，故，周期为（2）因为（A），所以，所以，又，所以，所以，又，由余弦定理得：，所以，所以，即，故答案为：19（12分）如图，三棱柱中，（1）证明：；（2）若，且，求二面角的余弦值【解答】证明：（1）取的中点，连结，因为，所以是等边三角形，所以
16、，又，所以，所以平面，所以，由三线合一可知为等腰三角形所以解：（2）设，则因为，所以又因为，所以，所以以为坐标原点，向量的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，设平面的法向量为，则，可取，由（1）可知，平面的法向量可取，0，所以，由图示可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为20（12分）已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于，两点当直线与轴垂直时，（1）求抛物线的方程；（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，的斜率成等差数列，求点的坐标【解答】解：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得于是当直线与轴垂直时，解得所以抛物线的方程为（2）
17、因为抛物线的准线方程为，所以设直线的方程为，联立消去，得设，则，若点，满足条件，则，即，因为点，均在抛物线上，所以代入化简可得，将，代入，解得将代入抛物线方程，可得于是点为满足题意的点21（12分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感某研究人员每隔测量一次茶水温度，得到下面的一组数据和散点图时间01234水温8579757168（1）从表中所给的5个水温数据中任取2个，记表示这2个数据中高于的个数，求的分布列和数学期望；（2）在室温下，设茶水温度从开始，经过后的温度为，根据这些数据的散点图，可用回归方程
18、，近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，其中为比例系数，为温度的衰减比例，且的估计值，2，3，为第对应的水温，根据表中数据求：关于的回归方程（保留2位小数）；刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（保留整数，参考数据：，【解答】解：（1）5个水温数据中高于的个数为3个，低于的个数为2个随机变量的可能取值为0，1，2，所以的分布列为： 0 1 2 故数学期望（2）根据实际情况可知，当时，代入回归方程得到计算每分钟的值与上一分钟的值的比值，可知： 0 1 2 3 4 60 54 50 46 43 0.90 0.93 0.92 0.93所以故回归方程为当时，有，所以，两边取对数，得，由参考数据，有，所以故刚泡好的茶水大约需要放置才能达到最佳饮用口感22（12分）已知函数（）证明：；（）若直线为函数的切线，求的最小值【解答】解：（）证明：即为，令，当时，递增；当时，递减，则，可得成立；（），设切点为，则，在处的切线方程为，即，令，可得，令，由可得，当时，递减；当时，递增，由，可得，可得的最小值为
