1、2020年高考数学模拟考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）1、（理）复数（为虚数单位），若z是纯虚数，则实数a的值为（ ）A1B1C2D0（文）已知向量的值为（ ）A B1CD 2、已知向量为单位向量，且，则的模的最小值为（ ） A.2 B. C. D.3、已知等差数列的前n项和为Sn，且S210， S555，则过点P(n， )、Q(n2， )(nN*)的直线的一个方向向量的坐标为 ( )A.(1，4) B(1，3) C(1，2) D(1，1)4、（理）某中学高三年级期中考试数学成绩近似地服从正态分布(110，102)（查
2、表知(1)0.8413），则该校高三年级数学成绩在120分以上的学生人数占总人数的百分比为（） A.84.13% B.42.065% C. D.以上均不对(文)某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300，现在按1:100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）.8 B.11 C.16. D.105、(理)曲线上的点到直线的最小距离是（ ）A、0 B、 C、 D、 (文) 若函数f(x)x2bxc的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是 （ ）xyoxyoDxyoCxyoBA6、(理)已知，则的值
3、（ ）A、不存在 B、0 C、 D、4(文) 已知实数x、y满足则的最大值是 ( )A. 0 B. 4 C. 7 D. 11xyOM(1,2)1第6题图7、函数f(x)log|x|，g(x)x22，则f(x)g(x)的图象只可能是PACB8、三棱锥PABC的四个顶点在同一个球面上，若PA底面ABC，底面ABC为直角三角形，PA2 ACBC，则此球的表面积为 （ ）A22 B. 62 C.82 D.929、已知(ax1)2n及(xa)2n1的展开式中，xn系数相等（，则a的值所在区间是 （ ）A(,0) B.(0，1)C(1,2) D.(2，)10、椭圆C1：的左准线为l，左右焦点分别为F1、F
4、2，抛物线C2的准线为l，一个焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，则等于（ ）A1B1CD11、在四面体DABC中,AB2,S4,S6,面ABC与面ABD所成二面角的大小为，则四面体DABC的体积为（ ） A.4 B.4 C.3 D.412、设、为双曲线的两焦点，点P在双曲线上，当的面积为1时，的值为（ ）A、 B、0 C、1 D、2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。）13、函数f(x)在x上是增函数，则a的取值范围为_。14、在抛物线上有一点，其中，若点M到直线的距离为4，则的值为 。15、从集合1，2，3，30中任取3个数，则3个数之和能被3整除的概
5、率 16、已知集合A直线，B平面，CAB，若，给出下列命题；。其中一定正确的命题序号是 。（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题12分）已知点 （）求与的夹角；（）若且求18、(本题满分12分)(理)根据我国实行的计划生育政策，提倡少生孩子，假设国家有这样一个规定：如果一对夫妇第一胎生男孩，则不允许生第二胎，如果第一胎生女孩，则允许生第二胎，而且最多生两胎，那么这样的情况生男孩和生女孩的人数平衡吗？(文) 由于男子的基因型为XY,女子的基因型为XX,生男生女取决于男子基因X与Y与女子基因X与X的配对,一对夫妇
6、生了5胎共5个孩子，求这5个孩子是3男2女的概率是多少？19、（理）(本小题满分1分) 已知n条直线l1：xyC10，C1，l2：xyC20，l3：xyC30，ln：xyCn0（其中C1C2C3Cn），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、n.（1）求Cn；（2）求xyCn0与x轴、y轴围成的图形的面积；（3）求xyCn10与xyCn0及x轴、y轴围成图形的面积.（文）已知ABC的一个顶点A（1，4），B、C的平分线所在直线的方程分别为l1：y10，l2：xy10，求边BC所在直线的方程.20、（本小题12分）已知长方体ABCD中，棱ABBC3，4，连结，过B点作的垂线交
7、于E，交于F（）求证：平面EBD；（）求ED与平面所成角的大小；（）求二面角EBDC的大小21、（本小题12分）已知函数在时取得极值，且图象与直线切于点，（I）求函数的解析式；（II）讨论函数的增减性，并求函数在区间上的最值及相应x的值22、（本小题14分）已知两点A(2,0)，B(2,0),动点P在y轴上的射影是H，且，()求动点P的轨迹C的方程；(）已知过点B的直线交曲线C于x轴下方不同的两点M,N,设R为MN的中点，Q(0,2),连RQ交x轴于点D，求D点横坐标的取值范围。参考答案1、（理）解析：是 纯虚数，所以a1.选A.评注：本题主要考查复数代数形式的运算及纯虚数的概念.（文）解析：
8、(cos15 sin15， sin15 cos15)，所以.选B评注：本题主要考查向量的加法、向量的模、同角三角函数的基本关系式。2、解析：当t时，取最小值，故.选D.评注：本题主要考查平面向量的概念与运算，以及函数的最小值问题，考查了函数思想和转化的数学能力。3、解析:设等差数列的公差为d，则，由S210， S555可得，故直线PQ的一个方向向量为（1，），即(1，4) 选A评注：此题以等差数列为载体，考查了等差数列的通项、前n项和，直线的斜率、方向向量等知识点，综合性较强，考察了运算能力及综合处理问题的能力。4、（理）解析：设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为300，所以有x30
9、03500，解得x1600，故高一学生数为800，因此应抽取高一学生人。选评注：此题主要考察分层抽样，注意方程思想的运用。（文）解析：设学生数学成绩为，则P(120)1F(120)110.1587。选评注：此题主要考察统计中的正态分布，难度不大。虽然此类题型近几年高考较少涉及（06湖北卷已考查），但随着新课标的实施与推广，此类与实际生活密切相关的考点极有可能成为明年命题的一个亮点。5、（理）解析：由于方程无解，因此曲线与直线没有公共点于是距离最小的点应满足过该点的切线与直线平行。设该点为，则得，从而，于是最小距离为，选B。评注：本题主要考查了简单复合函数的导数求法，以及点到直线的距离公式。（文
10、）答案: A 解析：f(x)x2bxc的图象的顶点在第四象限可得,又, 可得图象应为A.评注：导数是重要的解决函数问题的工具，是高考重点考查的内容. 本试题考查导数的求法及应用.6、（理）解析：显然函数在处无意义，故于是。选C。评注：本题主要考查了函数的极限。（文）答案:D（提示：如图作出可行域,作出平行直线系,由得交点坐标为,当平行直线系通过点时,目标函数取得最大值.）评注：本题考查线性规划知识的应用。7、解析：f(x)和g(x)均为偶函数，f(x)g(x)也是偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、D，x0时，f(x)，g(x)2，f(x)g(x)，故选C评注：此题主要考察利用函数的性质估计函
11、数的图象。此类图象题是近年高考的一个命题热点，一般可用取特例法。如何估计，既要讲究方法，又要讲究策略，更要多多回味与思考。8、解析:构造如图所示的长方体，显然三棱锥PABC与长方体PB的外接球相同，所以外接球的直径为PB，由长方体性质可得，PB2AC2BC2PA262，2RPB，R所以表面积S 选B评注：本题主要考察棱锥的性质、球的表面积。构造长方体是解题的关键。9、解析： (ax1)2n及(xa)2n1的展开式中，xn系数相等，(0,1).选B评价：本题主要考察二项式展开式、通项，二项式项的系数，比较两数的大小。正确区分二项式项的系数及二项式系数至关重要。10、答案：B解析：因为C为抛线上的
12、点，所以P到其焦点F2的距离与其到准线l的距离相等，因为P也是椭圆上的点，P到其准线l的距离也是，由椭圆第二定义，得 再由椭圆第一定义，得 ，由两式解得，故点评：本题考查抛物线定义，椭圆的两个定义用最基本的知识解决问题，是考生容易忽视的本题属难题11、答案:A 解析：作DO面ABC,过O作OEAB,连DE则,由S6DE6,在RtDEO中,DOsin.评注：本题考查棱锥的性质，二面角及体积的求法。12、解析：设，则由双曲线的第一定义有|mn|2a4，即 在F1PF2中由余弦定理得m2n22mncos4c220 由得mn(1cos)2 又由F1PF2的面积为1得mnsin2 故由得sin1cos，
13、因所以，得，即，从而，选B。评注：本题主要考查了双曲线的定义、解斜三角形、向量极简单的三角函数等知识。13、答案：a1。解析：记tax2x，当a1时f(t)为单调递增函数，而t(x) ax2x的对称轴方程为x,知02（应为）t(x) 在x上递增，由复合函数的性质知a1满足题意，同理当0a1时不满足题设。评述：本题考察复合函数单调的单调性。14、解析：由题设得即|ab|8，又b24a。当ab8时，ab8,代入b24a得b24b320，此方程无解）当ab8时，a8b代入b24a得b24b320解得b4或b8，因a,bR，所以b8，此时a16，从而评注：本题主要考查解有限制条件的方程组的运算能力。1
14、5、答案：解析：把集合元素被3除的余数为0，1，2划分为三个子集：A3，6，9，30，B1，4，7，28，C2，5，8，29任取3个数共有种可能情况，而符合题设条件的3个数分为二类：（1）3个数都来自同一子集，有种；（2）3个数分别来自A、B、C，有故所求概率为P评注：考查分类讨论思想，以及组合与概率的计算属中档题16、解析：错，因为如果c是平面，则或ac；正确， 不管c是直线还是平面，由都能得出ac。错，因为如果c是平面，则或ac错，因为如果c是平面，则由得到a与c的关系是任意的。故正确的只有。评注：本题主要考查了利用集合的知识来研究空间点、线、面的位置关系。17、解析：解：（）依题意， 3
15、分设与的夹角为，则 ， （）由得，又0，又评注：本题考查学生对向量和三角函数的基本性质的应用问题。学生一方面要注意向量运算中的问题，另一方面要注意三角函数的一些特殊的性质。18、(理)解析：设事件A第一胎生男孩，事件B第一胎生女孩，第二胎生男孩，事件C第一胎生女孩，第二胎仍生女孩，2分则P(A)，P(B),P(C),6分又生男孩的期望值E，生女孩的期望值E，由上知生男孩和生女孩的人数是平衡的。12分(文)解：由于男子的基因型为XY,女子的基因型为XX,生男生女取决于男子基因X与Y与女子基因X与X的配对,故生男与生女的概率均为,该夫妇生了5胎共5个孩子, 这5个孩子是3男2女,则相当于5次独立重
16、复试验发生了3次是男孩、2次是女孩的概率，所以概率为P . 12分评述：生男孩与生女孩的遗传事件，是独立重复试验发生了k次的概率计算问题，故应用贝努利概型的概率计算公式来解决.19、（理）解：（1）原点O到l1的距离为1，原点O到l2的距离为12，原点O到ln的距离dn为12n.(3分)Cndn，(4分)Cn.(5分)（2）设直线ln：xyCn0交x轴于M，交y轴于N，则OMN面积SO MN|OM|ON|Cn2. (8分)（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知Sn，则有Sn1. (10分)SnSn1n3.所求面积为n3. (12分)（文）解：设点A（1，4）关于直线y10的对称点为A（x1，
17、y1），则x11，y12（1）（4）2，即A（1，2）. (3分)在直线BC上，再设点A（1，4）关于l2：xy10的对称点为A（x2，y2），则有（1）1，10. (7分)解得 x23，y20，(9分)即A（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得，(10分)即x2y30为边BC所在直线的方程. (12分)评注：本小题以函数为载体，考查不等式基础知识以及基本运算，同时考查学生分析问题、解决问题的能力，以及灵活运用知识的能力。20、解：方法一：（1）连结AC交BD于O，则ACBD又平面AC，BDBE而平面，BEBD BEB，平面BED（4分）（2）连结，由(应为A1B1)CD知D在平面内，
18、由（1）是（知）EB又BE，BE平面，即得F为垂足连结DF，则EDF为ED与平面所成的角由已知ABBC3，4，可求是5，则，在RtEDF中，ED与平面所成的角为（8分）（3）连结EO，由EC平面BDC且ACBD知EOBDEOC为所求二面角EBDC的平面角，在RtEOC中，二面角EBDC的大小为（12分）xyz方法二：（1）建立如图的坐标系，A（0，0，0)，B（3，0，0），C（3，3，0），D（0，3，0），A1（0，0，4）， B1（3，0，4），C1（3，3，4），D1（0，3，4）。（3，3，0），（3，3，4）由所以设E（3，3，x）, , , 可得，所以平面BED（4分）（2）连结
19、，由(应为A1B1)CD知D在平面内，由（1）是EB又BE，（以上可以用向量证明A1 B1BE）BE平面，即得F为垂足连结DF，则EDF为ED与平面所成的角（设F点的坐标（3，m, n）,由，可以求出点的坐标）。 （8分）（3）连结EO，由EC平面BDC且ACBD知EOBDEOC为所求二面角EBDC的平面角（12分）评述：本题考查立体几何的重要的知识点，线、面的位置关系，及空间的角的运算，方法二体现了用空间向量解决立体几何问题的优越性。21、解：（1），且曲线在时取极值， ，即有 2分切点P（1，0），P在曲线上，得， 3分并且在处，切线斜率为， 即： 4分 由解得：， 6分 （II），得，
20、7分当或时，当时，故函数在及内单调递增，在内单调递减 9分又，10分，当时，当时， 12分评注：考查函数的单调性以及最值，考查用导数研究函数的极值的方法以及求闭区间上连续函数最值的方法 22、解析：()设P(x,y)，则H(0,y)，,2分由得y2x24 5分点P的轨迹C的方程为y2x24。 6分()设MN的方程为xmy2,M(x1,y1),N(x2,y2),R(x0,y0)将xmy2代入曲线C的方程得：(1m2)y24my80 8分y0从而x0my02，此时直线QR的斜率kmm21,则直线QR的方程为y( mm21)x2， 10分令y0得点D的横坐标xD考虑方程中有两不等负根，则0；y1y20；y1y20解得1m 12分xD,当x1时xD最小值2，当x时xD最大值22，xD(2,22)。 14分评述：本题考察轨迹方程的求法，直线与双曲线相交问题。
