1、全等三角形专题-三角形的旋转、翻折与线段的截长补短经典例题透析类型一：由角平分线想到构造全等不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点（此点作为顶点）组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把角、线段转移达到解题目的1如图1，等腰梯形ABCD中，ADBC，DBC=45，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E若AD=2，BC=8求BE的长 图 1 图 2解析：由题意得BFEDFE， BE=DE，在BDE中，ED=BE，DBE=45， BDE=DBE=45， DEB=90，即DEBC
2、，在等腰梯形中，AD=2，BC=8，过A作AGBC，交BC于G，如图2， EDGAGD， GE=AD=2，在RtABG和RtDCE中，AB=DC，AG=DE， RtABGRtDCE， BG=CE， ， BE=52如图3，已知ABC中，AB=AC，B=2A求证： 图 3 图 4解析：如图4，作B的平分线交AC于D，则A=ABD，BDC=2A=C AD=BD=BC作BMAC于M，则CM=DM 3如图5，已知梯形ABCD中，ABCD，ADBC，求证：ACBD 图 5 图 6解析：如图6，作DEAC，DFBC，交BA或延长线于点E、F，四边形ACDE和四边形BCDF都是平行四边形 DE=AC，DF=B
3、C，AE=CD=BF作DHAB于H，根据勾股定理， ADBC，ADDF AHFH，EHBH， DEBD，即ACBD.4如图7，已知ABC中，ADBC，AB+CD=AC+BD求证：AB=AC图 7解析：设AB、AC、BD、，CD分别为b、c、m、n，则c+n=b+m，c-b=m-n， ADBC，根据勾股定理，得， ， c+bm+n， c-b=0即c=b， AB=AC类型二：勾股定理的逆定理的运用5如图8，P是正ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将PAC绕点A旋转后，得到，则点P与点之间的距离为_，APB=_ 图 8 图 9解析：如图9，连结，是由旋转得到的，所以所以. .所以三
4、角形是等边三角形，则在三角形中所以是直角，6如图10，已知ABC=30，ADC=60，AD=DC求证： 图 10 图 11 解析：如图11，显然ADC是等边三角形，以BC为边向右侧作等边三角形，则BC=BE，连接AE，则可证明BCDACE，所以AE=DB，ABC+CBE=90，根据勾股定理有，即7如图12，D为等腰ABC的腰AB上的一点，E为另一腰AC延长线上的一点，且BD=CE，则ADE=BC BDEBCCDEBCDDE与BC大小关系决定于A的大小 图 12 图 13解析：如图13，分别过D和E点作到BC边的垂线，交BC及其延长线于G和H则根据，可得到BDGECH. 所以BG=CH所以BC=
5、GH 显然DEGH. 所以DEBC.8如图14，已知等边ABC内有一点N，NDBC，NEAB，NFAC，D、E、F都是垂足，M是ABC中异于N的另一点，若，那么与的大小关系是_ 图 14 图 15解析：如图15，作M到正三角形的各边上的高，根据面积相等的关系，有，分别化简为所以而根据直角三角形斜边与直角边的关系有，所以有9如图16，梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，CE恰好是平分BCD，若AD=3，BC=4，则CD的长是A5 B6 C7 D8图 16 图 17解析：如图17，延长CE交DA的延长线于F，则容易证明BECAEF，于是可得到DCE=BCE=AFE，所以FCD是等腰三角形，所以CD=AD+AF=710如图18，在等腰直角ABC中，BAC=90，ADBC，在AD上取一点E，使EBC=30，则BE和BC的大小关系是（ ）ABEBC BBEBC CBE=BC D不确定 图 18解析：作ABC的高h，那么BC=2h而BE=2h所以BE=BC11已知三角形的两条边长分别为a=5，b=4，它们的高分别为，若，那么该三角形的面积是_解析：根据三角形的面积公式，可知，而根据，可得到，所以所以或如果，则结合，可得到，矛盾所以，结合，得到，所以，所以三角形的面积为
