1、高二数学（理科）试题第卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知命题，则为（ ）A B C D2.抛物线的焦点坐标是 （ ）A B C D3. 过点且与直线平行的直线方程是（ ）A B C D4.若变量满足约束条件，则的最大值为 （ ）A 1 B2 C. 3 D45.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：），可知此几何体的体积是 （ ）A B C. D6. 圆与圆的位置关系为（ ）A内切 B相交 C. 外切 D相离7.“”是“方程表示双曲线”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件
2、 D既不充分也不必要条件8. 过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）A B C. D9. 设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A且，则 B且，则 C. ，则 D，则10. 设分别是双曲线的左、右焦点圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为（ ）A B C. D11. 在正方体中，分别是中点，则与所成角的余弦值为（ ）A B C. D12. 已知，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点中，若，则三角形面积为（ ）A B C. 4 D第卷 非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1
3、3.在空间直角坐标系中，正方体的顶点的坐标为，其中心的坐标为，则该正方体的棱长等于 14.某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是 米15.已知是球的球面上两点，为该球面上的动点若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为 16.已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则实数的最大值与最小值之和为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知圆，直线（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于两点，且时，
4、求直线的方程18. 如图，已知所在的平面，是的直径，是上一点，且是中点，为中点（1）求证：面；（2）求证：面；（3）求三棱锥的体积19. 已知命题直线和直线垂直；命题三条直线将平面划分为六部分若为真命题，求实数的取值集合20. 已知四棱锥，四边形是正方形，（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，求二面角的余弦值21.已知抛物线上一点到其焦点的距离为2（1）求抛物线的方程；（2）若直线与圆切于点，与抛物线切于点，求的面积22.椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴平行时，直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，
5、求出点的坐标；若不存在，请说明理由试卷答案一、选择题1-5:BDCCB 6-10: AABBD 11、12：CA二、填空题13. 14. 32 15. 16. 4三、解答题17.解：将圆的方程化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为2（1）若直线与圆相切，则有，解得；（2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，得，解得或，故所求直线方程为或18.解：（1）证明：在三角形中，是中点，为中点，平面平面，面；（2）证明：面，平面，又是的直径，又，面，面；（3），在中，19.解：真：，或，真：与不平行，则与平行或与平行或三条直线交于一点，若与平行，由得，若与平行，由得，若三条直线交于一点，由，得，代入得，真，
6、或或，真，至少有一个为真，的取值集合为20.解：（1）证明：，即，又为正方形，平面，平面，平面平面；（2）解：设的中点为，由（1）可知平面平面，且平面平面，平面，在平面内，过作直线，则两两垂直以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，取，设平面的法向量为，则，即，取，由图可知，二面角的余弦值为21.解：（1）在抛物线上，由题意可知，解得，所以抛物线的方程为；（2）设直线方程为：，与圆相切，整理得，依题意直线与抛物线相切，由得 （*） 由解得或，此时方程（*）化为，解得，点，直线为：或，到的距离为，22.解：（1），椭圆方程化为：，由题意知，椭圆过点，解得，所以椭圆的方程为：；（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，由得，设，假设存在定点符合题意，上式对任意实数恒等于零，即，当直线斜率不存在时，两点分别为椭圆的上下顶点，显然此时，综上，存在定点满足题意
