1、中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1若，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）解： 由题设得2若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）（A）a （B）a4 （C）a或 a4 （D）a4解C因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式 0,解得a或 a43如图，在四边形ABCD中，B135，C120，AB=，BC=，CD，则AD边的长为（ ）（A） （B）（第3题）（C） （D）解：D如图，过点A，
2、D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F由已知可得（第3题）BE=AE=，CF，DF2，于是 EF4过点A作AGDF，垂足为G在RtADG中，根据勾股定理得AD4在一列数中，已知，且当k2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由和可得，因为2010=4502+2，所以=25如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180得点P1，点P1绕点B旋转180得点P2，点P2绕点C旋转180得点P3，点P3绕点
3、D旋转180得点P4，重复操作依次得到点P1，P2， 则点P2010的坐标是（ ） （第5题）（A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2）解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）记，其中根据对称关系，依次可以求得：，令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）二、填空题6已知a1，则2a37a22a12 的值等于 解：0 由已知得 (a1)25，所以a22a4，于是2a37a22a122a34a23a22a123a26a1207一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方
4、向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t 解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得， ， 由，得，所以，x=30 故 （分） （第8题8如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式
5、是 （第8题）解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分于是，直线即为所求的直线设直线的函数表达式为，则解得 ,故所求直线的函数表达式为（第9题）9如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D若CDCF，则 解： 见题图，设因为RtAFBRtABC，所以 又因为
6、 FCDCAB，所以 即 ，解得，或（舍去）又RtRt，所以， 即=10对于i=2，3，k，正整数n除以i所得的余数为i1若的最小值满足，则正整数的最小值为 解： 因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数由于，因此满足的正整数的最小值为 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11如图，ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是ABD和ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： （第12A题）（第12B题） （第11题）（第12B题）证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以EDBC， FDBC，因此D，E，F三点共线. （5分
7、）连接AE，AF，则（第11题），所以，ABCAEF. （10分）作AHEF，垂足为H，则AH=PD. 由ABCAEF可得，从而 ， 所以 . （20分）12如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足EOCAOB的点E的坐标.（第12题）解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有 解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，
8、解得，或t（舍去）所以点B的坐标为（，）因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以 解得 （10分）（2）如图，因为ACx轴，所以C（，4），于是CO4. 又BO=2，所以.（第12题） 设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）.因为CODBOD，所以COB=.（i）将绕点O顺时针旋转，得到.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作关于x轴的对称图形，得到点（1，）；延长到点，使得，这时点E（2，）是符合条件的点所以，点的坐标是（8，），或（2，）. （20分） 13求满足的所有素数p和正整数m. 解：由题
9、设得，所以，由于p是素数，故，或. （5分） （1）若，令，k是正整数，于是，故，从而. 所以解得 （10分）（2）若，令，k是正整数. 当时，有，故，从而，或2. 由于是奇数，所以，从而. 于是这不可能. 当时，；当，无正整数解；当时，无正整数解. 综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. （20分）14从1，2，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，（即1991）满足题设条件. （5分） 另一方面，设是从1，2，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为， ，所以 .因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. （10分）设，i=1，2，3，n.由，得，所以，即11. （15分），故60. 所以，n61.综上所述，n的最大值为61. （20分）10
