1、2010年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）1若4x3y6z=0，x+2y7z=0(xyz0)，则的值等于 ( ).(A) (B) (C) (D) 2在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( ).(A) 2.4元 (B) 2.8
2、元 (C) 3元 (D) 3.2元3如下图所示，A+B+C+D+E+F+G=（ ）. (A)360 (B) 450 (C) 540 (D) 720 （第3题图）（第4题图）4四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）.(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个5某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有(
3、 ).(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6已知，那么 .7若实数x，y，z满足，则xyz的值为 . 8观察下列图形： 根据图、的规律，图中三角形的个数为 . （第9题图）9如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45，A=60 CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为_m.10已知二次函数（其中a是正整数）的图象经 过点A（1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 .三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11如图所示，已知AB是O的直径
4、，BC是O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DEAB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.解：(第11题图)12某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：(第12题图)13B如图所示，在ABC中，ACB=90.（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点D在BA
5、的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.(第13 B题图)14B已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求的最小值.注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。13A如图所示，O的直径的长是关于x的二次方程（k是整数）的最大整数根. P是O外一点，过点P作O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求的值. 解：(第13A题图)14A沿
6、着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有0？请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有0？请说明理由.解：（1）（2）2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1D由 解得 代入即得.2D因为20372.5204，所以根
7、据题意，可知需付邮费0.84=3.2（元）.3C如图所示，B+BMN+E+G=360，FNM+F+A+C=360，而BMN +FNM =D180，所以A+B+C+D+E+F+G=540.(第3题图)(第4题图)4D显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。（1）若AB=9，当CD=x时，；当CD=5时，；当CD=1时，.（2）若AB=x，当CD=9时，；当CD=5时，；当CD=1时，.故x可取值的个数为6个.5B设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，k+（n1），由题意可知，即. 因为k，n都是正整数，且n3，所以n0，且b+c=2-a，.于是b
8、，c是一元二次方程的两实根，0，0，0. 所以a4. （8分）又当a=4，b=c=-1时，满足题意. 故a，b，c中最大者的最小值为4.（10分）（2）因为abc0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.1） 若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.2）若a，b，c为或一正二负，设a0，b0，c0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有0？请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，2
9、003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有0？请说明理由.解：（1）答案是肯定的. 具体操作如下：(14)(23)0交换2，3(12)(34)0交换3，4(36)(25)0交换2，5(35)(24)0交换2，4（5分）（2）答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. （7分）开始时，=12+23+34+20022003+20031，经过k（k0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为，此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式0，即ab+cdac+bd，交换b，c的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为，有.所以，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有0. （15分）16
