1、二次根式二次根式1.1.二次根式的概念二次根式的概念 正数有两个平方根且互为相反数；正数有两个平方根且互为相反数；0 0有一个平方根就是它有一个平方根就是它0 0；负数没有平方根。负数没有平方根。1、平方根的性质：、平方根的性质：1、16的平方根是什么的平方根是什么?16的算术平方根是什么？的算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？的平方根是什么？0的算术平方根是什么？的算术平方根是什么？3、7有没有平方根？有没有算术平方根？有没有平方根？有没有算术平方根？正数和正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。都有算术平方根；负数没有算术平方根。试一试试一试 ：说出下列各式的意义；116,81,0
2、,0.04;49观察：观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数 2 2、表示什么？表示什么？a表示非负数a的算术平方根a(a0)表示非负数表示非负数 a 的算术平方根，的算术平方根，形如形如 a(a0)的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式。它必须具备如下它必须具备如下特点特点：1、根根指指数数为为 2；2、被开方数必须是非负数。、被开方数必须是非负数。想想一一想想：1010 、-5 5 、3 38 8 5 5 3 3 、(-2 2)2 2 a a (a(a0 0、a a2 2+0.1+0.1 、-a a (a(a0 0是不是二次根式？是不是二次根式？1.1.二次根式的概念二次根式
3、的概念例例1:判断判断，下列各式中那些是二次根式？下列各式中那些是二次根式？,10a,a,2a,04.0,5.83,04.0,2a,a定义：式子定义：式子 叫做二次根式叫做二次根式.)0(aa不要忽略不要忽略其中a叫做被开方式被开方式。解：由解：由 x-10，得，得 x1。问：问：将式子将式子 x-1 改为改为 1-x，则字母，则字母 x 的取值必须的取值必须满足什么条件呢？满足什么条件呢？解：由解：由 x x-2 20 0，且，且 x x-3 30,0,得得 x x2 2 且且 x x3 3。想一想：想一想：一个正数的算术平方根是一个正数的算术平方根是 。零的算术平方根是零的算术平方根是 。
4、负数有没有算术平方根？负数有没有算术平方根？正数正数0没有没有想一想：想一想：假如把题目改为：要使假如把题目改为：要使x x-2 2x x-1 1 有意义，有意义，字母字母 x x 的取值必须满足什么条件？的取值必须满足什么条件？x2x2 做一做做一做:要使下列各式有意义，字母的取值必要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？须满足什么条件？1、x+3 2、2-5x 3、1 x 4、a2+1 5、x-3+4-x 6、x-1x-2 非负数的算术平方根仍然是非负数。非负数的算术平方根仍然是非负数。性质性质 1：a 0(a0)（双重非负性）（双重非负性）引引例例：|a-1|+(b+2)2=0
5、,则则 a=b=解：解：a+2 0、|3b-9|0、(4-c)20，又又 a+2+|3b-9|+(4-c)2=0,a+2=0,3b-9=0,4-c=0。a=-2,b=3,c=4。2a-b+c=2(-2)-3+4=-3。计算:)0(,2aaa 想一想想一想 等于什么等于什么?请举例验证请举例验证.02aa=23225204.0=3520.04性质：性质：把下列各数写成平方的形式：3=，232522504.0204.024利用这个式子，我们可以把任何一个非负数非负数写成一个数的平方的形式。如 4=。根据等式的定义，可得 。)0(,2aaa)0(,2aaa我们已经得到:aa面积面积a5271232-
6、32()(0)aaa 2)72(2)312(2)5(2)32(算一算：算一算：02=；22=；（-2）2=；32=；（-3）2=。想一想：想一想：a2 等于什么呢？等于什么呢？性质性质 3：当当 a0 时，时，a2=；当当 a0 时，时，a2=。也就是说：也就是说：a2=。a-a|a|02233算算一一算算：(1)（-9）2 (2)(1 3)2 (3)64 (4)(x2+1)2 由 ,可以得 。02aaa02aaa利用这个式子，可以把任何一个利用这个式子，可以把任何一个非负数非负数写成写成带有带有“”“”的形式，例：的形式，例：,255 81.09.0a0-a2a(a 0)(a=0)(a 0)
7、a试一试试一试1.计算下列各题计算下列各题:215(1)(2)2512.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ()xx1)1(2A.x1 B.x1 C.0 x1 D.一切有理数一切有理数3.与与 是一样的吗？是一样的吗？你的理由是什么，请小组讨论一下。你的理由是什么，请小组讨论一下。2a a（）23、二次根式具有哪些性质？、二次根式具有哪些性质？1、什么叫做二次根式？、什么叫做二次根式？形如形如 a(a0)的式子叫做二次根式。的式子叫做二次根式。2、二次根式有哪两个形式上的特点？、二次根式有哪两个形式上的特点？（1）根指数为根指数为 2；（2）被开方数必须是非负数。被开方数必须是非负数。课堂
8、小结课堂小结性性质质 1：a 0(a0)（双双重重非非负负性性）性质性质 2：(a)2=a(a0)性质性质 3：当当 a0 时，时，a2=a ；当当 a0 时，时，a2=-a 。也就是说：也就是说：a2=|a|。2aa (0)aa (0)a a 例例2 计算：计算：22)15()10()1(222)2(2)2(2例例3 计算：计算：|3254|)3253(22 (0)()aaa aa 2)0(aa)0(aa你的理由是什么？一样吗？）与（22aa书书P7的课内练习的课内练习补充：补充：分别说出下列各式成立分别说出下列各式成立的的a a的取值范围：的取值范围：2(1)()aa2(2)()aa 2(3)(2)2aax0,4x0,例例5 5:已知已知:x0,化简化简:216x2216x(4)4:xx解解原式原式=-4x练一练练一练:1296:22 xxxx化化简简(-1 x3)其其中中化简：化简：(1)（2）(3)(a0,b0)(4)(a1 )(5)(1x3 )1024a22ba221aa2269)1(xxx2(0)(aa a 2aa)0(aa)0(aa22(）与注意区别aa
