1、 福州市福州市 2020 届高三届高三 5 月调研卷月调研卷 文科数学文科数学 （满分：（满分：150分考试时间：分考试时间：120 分钟）分钟） 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1.设i是虚数单位，复数 2 i z i ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算化简 21 i 55 z
2、，再利用复数的几何意义得解. 【详解】因为 i12i21 i 2i2i2i2i55 z ， 所以复数z在复平面内对应的点为 2 1 (, ) 5 5 .其位于第一象限故选 A.故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义. 复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式 2.已知全集为R，集合2, 1,0,1,2A ， 1 0 2 x Bx x ，则 U AC B的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】解分式不等式
3、求得集合B，根据交集和补集的定义求得集合 U AC B，进而得到元素个数. 【详解】 1 021 2 x Bxxx x 2 U C Bx x 或1x 2,1,2 U AC B ，有3个元素 故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题. 3.已知 0.20.3 2 log 0.2,2,0.2abc，则 A. abc B. acb C. cab D. bca 【答案】B 【分析】运用中间量0比较 ,a c，运用中间量1比较 ,b c 【详解】 22 log 0.2log 10,a 0.20 221,b 0.30 00.20.21,则0 1
4、,cacb 故选 B 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化 与化归思想解题 4.某学生 5 次考试的成绩(单位:分)分别为 85，67，m，80，93，其中0m,若该学生在这 5 次考试中成 绩的中位数为 80，则得分的平均数不可能为（ ） A. 70 B. 75 C. 80 D. 85 【答案】D 【分析】根据中位数为80，可知80m，从而得到平均数小于等于81，从而确定结果. 【详解】已知的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：67，80，85，93 该学生这5次考试成绩的中位数为80，则80m 所以平均数： 85678093 81 5 m
5、 ，可知不可能为85 本题正确选项：D 【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数 的范围. 5.如图给出的是计算 111 1 352019 的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（ ） A. 1 23 SS i B. 1 21 SS i C. 1 1 SS i D. 1 21 SS i 【答案】D 【分析】 根据该算法的功能以及按步骤依次计算，采用对选项逐一验证，可得结果. 【详解】该程序框图的功能为计算 111 1 352019 的值 由1,0iS， A 错，若 1 23 SS i ， 则第一次执行： 1 0 5 S ，不符合 B错，若
6、1 21 SS i 则第一次执行： 1 0 3 S ，不符合 C错，若 1 1 SS i 则第一次执行： 1 0 2 S ，不符合 D 正确，若 1 21 SS i 则第一次执行：0 1S ，然后依次执行，符合题意 故选：D 【点睛】本题考查程序框图，这种题型，一般依次执行，耐心观察细心计算，属基础题. 6.用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示，则该几何体体积的最大值为（ ） A. 28 B. 21 C. 20 D. 19 【答案】D 【分析】 结合几何体的正视图和侧视图判断出每一层最多有多少个单位几何体即得解. 【详解】结合几何体的正视图和侧视图可知， 最底层最多可以有44=
7、16 个正方体，第 2 层、第 3层、第 4层只能各有 1 个单位正方体. 故该几何体体积最大值为 19. 故选：D 【点睛】本题主要考查三视图的应用，考查学生的空间想象和观察能力，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平. 7.函数 2 ln x f xx x 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 根据函数 f x的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】因为 fxf x，所以 f x是偶函数，排除 C 和 D. 当0x时， 2 ln x x fx x ， 3 3 2ln1 xx fx x ， 令 0fx ，得01x，即 f x在0,1上递减；令
8、0fx ，得1x ，即 f x在 1,上递增. 所以 f x在1x 处取得极小值，排除 B. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题. 8.已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点 ,(0) 4 p Aaa 在C上，3AF ，若直线AF与C交于 另一点B，则AB的值是（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 45 【答案】C 【分析】 结合抛物线性质，分别计算,A B的坐标，结合两点距离公式，即可求得结果. 【详解】结合抛物线的性质可得3 42 pp ，4p ， 所以抛物线方程为 2 8yx， 所以点A的坐标为(1,
9、2 2)， 所以直线AB的方程为2 2(2)yx ， 代入抛物线方程，计算B点坐标为(4, 4 2)， 所以 22 1212 ()()9ABxxyy， 故选：C. 【点睛】该题考查了抛物线性质及两点距离公式，属于中档题目. 9.设双曲线 22 22 1 xy C ab ： 的左焦点为F ，直线4 3200xy 过点F且与双曲线C 在第二象限交点 为P ，| |OPOF ，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为 A. 5 3 B. 5 4 C. 5 D. 5 【答案】D 【分析】根据题意，画出图像，结合双曲线基本性质和三角形几何知识进行求解即可 【详解】如图所示： 直线43200xy 过点F 5
10、,0F，半焦距5c A为PF中点，| | |OPOF OAPF 又OA为 2 PFF中位线 2 / /OAPF 由点到直线距离公式可得 20 =4 5 OA， 2 2=8PFOA 由勾股定理可得： 22 22 6FPFFPF 再由双曲线第一定义可得： 2 2PFPFa=2，1a= 双曲线的离心率5 c e a 答案选 D 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，突破口在于利用| |OPOF找出中点 A，结合圆锥曲线基本性质 和几何关系解题是近年来高考题中常考题型，往往在解题中需要添加辅助线 10.已知 fx是函数 f x的导函数且对任意的实数x都有 ( ) (21)( ) x fxexf x，(0
11、)2f 则不等 式( )4 x f xe的解集为（ ） A. 2,3 B. 3,2 C. (, 3)(2,) D. (, 2)(3,) 【答案】B 【分析】 令 ( ) ( ) ex f x G x ，由已知可得( )21G xx ，故可设 2 ( )G xxxc，利用 (0)(0)2Gf 可得 2c，( )4 x f xe 2 ( )24G xxx，解不等式即可. 【详解】令 ( ) ( ) ex f x G x ，则 ( )( ) ( )21 ex fxf x G xx ， 可设 2 ( )G xxxc， (0)(0)2Gf ， 2c ， 所以 2 ( ) ( )2 ex f x G xx
12、x， 解不等式 4 x f xe，即 ( ) 4 ex f x ，所以 2 24xx，解得32x ， 所以不等式的解集为( 3,2). 故选：B 【点睛】本题主要考查构造法解不等式，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力，是一道中档题. 11.已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2 cos cosbCcB，则 111 tantantanABC 的最小值为（ ） A. 2 7 3 B. 5 C. 7 3 D. 2 5 【答案】A 【分析】先根据已知条件，把边化成角得到 B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】2 coscosbCcB，2sincossinCcosBCB，
13、tan2tanCB.又ABC， tantantanABCBC 22 tantan3tan3tan 1tantan1 2tan2tan1 BCBB BCBB ， 2 1112tan111 tantantan3tantan2tan B ABCBBB 27 tan 36tan B B . 又在锐角ABC中, tan0B, 27272 7 tan2tan 36tan36tan3 BB BB ，当且仅当 7 tan 2 B 时取等号， min 1112 7 tantantan3ABC ，故选 A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算 的核心素养.
14、 12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： 22 1 |xyx y 就是其中之一（如图）.给出下列 三个结论： 曲线 C 恰好经过 6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是 A B. C. D. 【答案】C 【分析】将所给方程进行等价变形确定 x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到 坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由 22 1xyx y 得, 22 1yx yx , 2 22 2 |
15、334 1,10, 2443 xxx yx 厔, 所以x可为整数有 0,-1,1,从而曲线 22 :1C xyx y 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论正确. 由 22 1xyx y 得, 22 22 1 2 xy xy ,解得 22 2xy,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不 超过 2. 结论正确. 如图所示,易知0, 1 ,1,0 ,1,1, ,0,1ABCD, 四边形ABCD的面积 13 1 1 1 1 22 ABCD S ,很明显“心形”区域的面积大于2 ABCD S,即“心形”区 域的面积大于 3,说法错误. 故选
16、C. 【点睛】本题考查曲线与方程曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识基本运算 能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”. 第第 II 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响 第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前 4 声内被接的概率是 _. 【答案】0.9 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，电话在响前 4 声内被
17、接的概率等于电话响起第一声接的概率，加 上响第二声时被接的概率，加上响第三声时被接的概率，加上响第四声时被接的概率，得到结果. 【详解】根据互斥事件的概率加法公式， 电话在响前 4声内被接的概率等于电话响起第一声接的概率， 加上响第二声时被接的概率， 加上响第三声时被接的概率， 加上响第四声时被接的概率， 故电话在响前 4 声内被接的概率是： 0.1 0.3 0.4 0.10.9， 故答案为：0.9. 【点睛】该题考查的是有关互斥事件有一个发生的概率的求解问题，涉及到的知识点有互斥事件概率加法 公式，属于基础题目. 14.如图，圆 C（圆心为 C）的一条弦 AB 的长为 2，则AB AC =_
18、 【答案】2 【分析】 过点 C 作 CDAB 于 D，可得 1 ADAB1 2 ，RtACD 中利用三角函数的定义算出 1 cosA AC ， 再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC 的值 【详解】过点 C 作 CDAB 于 D，则 D 为 AB 的中点 RtACD 中， 1 ADAB1 2 ， 可得 cosA= 11 ,cosA AD AB ACABACABACAB ACACAC =2 故答案为 2 【点睛】本题已知圆的弦长，求向量的数量积着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向 量的数量积公式等知识，属于基础题 15.我们听到的美妙弦乐，不是一个音在响，而是许多个纯音的合
19、成，称为复合音.复合音的响度是各个纯音 响度之和.琴弦在全段振动，产生频率为f的纯音的同时，其二分之一部分也在振动，振幅为全段的 1 2 ，频 率为全段的 2倍；其三分之一部分也在振动，振幅为全段的 1 3 ，频率为全段的 3 倍；其四分之一部分也在 振动，振幅为全段的 1 4 ，频率为全段的 4倍；之后部分均忽略不计.已知全段纯音响度的数学模型是函数 1 sinyt （t为时间， 1 y为响度） ，则复合音响度数学模型的最小正周期是_. 【答案】2 【分析】首先根据题意，写出复合音响度数学模型为 111 sin2sin3sin4 234 yttt，结合多个周期函数 进行加减运算之后的周期的特
20、征得到结果. 【详解】因为产生频率为f的纯音的同时， 其二分之一部分也在振动，振幅为全段的 1 2 ，频率为全段的 2倍； 其三分之一部分也在振动，振幅为全段的 1 3 ，频率为全段的 3倍； 其四分之一部分也在振动，振幅为全段的 1 4 ，频率为全段的 4倍； 由全段纯音响度的数学模型是函数 1 sinyt（t为时间， 1 y为响度） ， 可得复合音响度数学模型为 111 sin2sin3sin4 234 yttt， 因为 1 sin2 2 yt的周期 2 2 ， 1 sin3 3 yt的周期 2 3 ， 1 sin4 4 yt的周期为 2 42 ， 且 2 , 32 的最小公倍数为2， 所
21、以 111 sin2sin3sin4 234 yttt的周期为2， 故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关三角函数模型的应用，涉及到的知识点有三角函数在音乐中的应用，函数的周 期性，属于简单题目. 16.已知三棱锥ABCD的棱长均为 6，其内有n个小球，球 1 O与三棱锥ABCD的四个面都相切，球 2 O 与三棱锥ABCD的三个面和球 1 O都相切，如此类推，球 n O与三棱锥ABCD的三个面和球 1n O 都 相切（2n，且n N） ，则球 1 O的体积等于_，球 n O的表面积等于_. 【答案】 (1). 6 (2). 1 6 4n 【分析】 由正四面体的内切球的半径是高的 1 4 可求
22、得 1 O的半径， 得其体积， 把底面向上平移， 平移到与内切球相切， 这个平面以上的部分仍然是正四面体，而第二个球就是这个正四面体的内切球，此球半径是第一个球半径 的一半，依次类推可得第n个球 【详解】如图，AO是三棱锥ABCD的高，O是BCD的外心，设BCa，则 3 3 OBa， 22 36 () 33 AOaaa ， 1 O是三棱锥ABCD的外接球和内切球的球心， 1 O在AO上， 设外接球半径为R，内切球半径为 1 r，则由 222 11 O BOOBO得 222 36 ()() 33 RaaR， 6 4 RR ，所以 11 366 3412 rAOAOAORaaa， 1 1 4 rA
23、O， 1 333 1 4466 () 3312216 O Vraa6， 过AO中点作与底面BCD平行的平面与三条棱,AB AC AD交于点 111 ,B C D，则平面 111 BC D与球 1 O相 切，由题意球 2 O是三棱锥 111 ABC D的内切球，注意到三棱锥 111 ABC D的棱长是三棱锥A BCD棱长 的 1 2 ，所以有其内切球半径 21 1 2 rr，同理球 n O的半径为 n r，则 n r是仅比为 1 2 的等比数列，所以 1 1 1 ( ) 2 n n rr ，即 1 616 ( ) 1222 n n n ra ， 22 1 66 44() 24 nn nn Sr
24、故答案为：6； 1 6 4n 【点睛】本题考查三四面体的内切球问题，掌握正四面体的性质是解题关键实质上正四面体的高是h， 其外接半径是 3 4 h，内切球半径是 1 4 h 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17. n S数列 n a的前n项和.已知 n a0， 2
25、2 nn aa=43 n S . （）求 n a的通项公式； （）设 1 1 n nn b a a ,求数列 n b的前n项和. 【答案】 （）21n+（） 11 646n 【分析】 （I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求an的通项公式： （）求出 bn 1 1 nn a a ，利用裂项法即可求数列bn的前 n项和 【详解】解： （I）由 an2+2an4Sn+3，可知 an+12+2an+14Sn+1+3 两式相减得 an+12an2+2（an+1an）4an+1， 即 2（an+1+an）an+12an2（an+1+an） （an+1an） ， an0，a n+1 an2， a12+2
26、a14a1 +3， a11（舍）或 a13， 则an是首项为 3，公差 d2的等差数列， an的通项公式 an3+2（n1）2n+1： （）an2n+1， bn 1 111 21 232 nn a ann （ 11 2123nn ） ， 数列bn的前 n项和 Tn 1 2 （ 111111 35572123nn ） 1 2 （ 11 323n ） 11 646n . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键 18.如图所示的几何体中， 111 ABCABC为三棱柱，且 1 AA 平面 ABC， 1 AAAC，四边形 ABCD为平 行四边形，2ADCD，6
27、0ADC. （1）求证：AB 平面 11 ACC A； （2）若2CD ，求四棱锥 111 CABCD的体积. 【答案】 （1）证明见解析（2）8 【分析】 （1）推导出ABAC, 1 ABAA,由此能证明AB 平面 11 ACC A; （2） 连结 1 AC,则CD平面 11 CC A,四棱锥 111 CABCD的体积: 1 11 1 1 D CC AC A B C VVV ,由此能求出结果. 【详解】 （1）证明:四边形 ABCD 为平行四边形,2ADCD,60ADC. 90ACDBAC, ABAC 几何体中, 111 ABCABC为三棱柱,且 1 AA 平面 ABC, 1 ABAA, 1
28、 ACAAA, AB平面 11 ACC A. （2）连结 1 AC, AB Q平面 11 ACC A,/CDAB, CD平面 11 CC A, 四棱锥 111 CABCD的体积: 1 11 1 1 D CC AC A B C VVV 1 11 1 1 1 11 33 AC CA B C CDSCCS 1111 22 32 32 32 2 3 3232 8. 【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. 19.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y（元）与 生
29、产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型 b ya x 和指数函数模型 dx yce分别对两个变量的关系进行拟合，已求得：用指数函数模型拟合的回归 方程为 0.2 96.54 x ye ，ln y与x的相关系数 1 0.94r ； 8 1 =183.4 ii i u y ，=0.34 u， 2=0.115 u， 8 2 1 =1.53 i i u ， 8 1 360 i i y ， 8 2 1 2
30、2385.5 i i y ， （其中 1 ,1,2,3,8 i i ui x ） ； （1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0.01） ，并用其估计产量为 10千件时每件 产品的非原料成本. 参考数据：0.61 6185.561.4， 2 0.135e 参考公式：对于一组数据 11 ,u， 22 ,u，, nn u，其回归直线u的斜率和截距的最小二 乘估计分别为： 1 2 2 1 n ii i n i i unu unu ， u ，相关系数 1 22 22 11 n ii i nn ii ii unu r unun . 【答案
31、】 （1） 100 11y x （2）用反比例函数模型拟合效果更好；当产量为 10 千件时，每件产品的非原料 成本估计为 21 元 【分析】 （1）令 1 u x ，则 b ya x 可转化为yabu，分别求出b和a，即求得回归方程； （2）直接利用相关系数公式求y与 1 x 的相关系数，可得 12 rr ，得到用反比例函数模型拟合效果更好， 取10x ，可得当产量为 10千件时，每件产品的非原料成本为 21元. 【详解】 （1）令 1 u x ，则 b ya x 可转化为yabu， 因为 360 45 8 y ，所以 8 22 1 8 1 8 183.48 0.34 4561 100 1.5
32、3 8 0.1150.6 1 8 i ii i i u yuy b uu 则45 100 0.3411aybu，所以11 100yu， 所以y关于x的回归方程为 100 11y x ； （2）y与 1 x 的相关系数为： 2 88 2222 11 8 1 8 88 ii ii ii i u yuy r uuyy 6161 0.99 61.40.61 6185.5 因为 12 rr ，所以用反比例函数模型拟合效果更好， 把10x 代入回归方程： 100 11y x ， 100 1121 10 y （元） 所以当产量为 10千件时，每件产品的非原料成本估计为 21元. 【点睛】该题考查的是有关回归
33、分析的问题，涉及到的知识点有利用散点图判断和选择恰当的函数模型， 求回归方程，利用相关系数比较哪个函数模型拟合效果更好，属于简单题目. 20.椭圆 22 22 10 xy Eab ab ： 的离心率是 5 3 ，过点 P（0，1）做斜率为 k 的直线 l，椭圆 E 与直线 l 交于 A，B 两点，当直线 l 垂直于 y 轴时3 3AB （1）求椭圆 E 的方程； （2）当 k 变化时，在 x 轴上是否存在点 M（m，0） ，使得AMB 是以 AB 为底的等腰三角形，若存在求出 m 的取值范围，若不存在说明理由 【答案】() 22 1 94 xy ；()见解析 【分析】 （）由椭圆的离心率为 5
34、 3 得到 22 4 9 ba，于是椭圆方程为 22 2 2 1 4 9 xy a a 有根据题意得到椭圆过点 3 3 ,1 2 ， 将坐标代入方程后求得 2 9a ， 进而可得椭圆的方程 （） 假设存在点 ,0M m， 使得AMB 是以AB为底的等腰三角形， 则点M为线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 由题意得设出直线AB的方程， 借助二次方程的知识求得线段AB的中点C的坐标，进而得到线段AB的垂直平分线的方程，在求出点M 的坐标后根据基本不等式可求出m的取值范围 【详解】 （）因为椭圆的离心率为 5 3 ， 所以 2 2 5 1 3 cb aa ，整理得 22 4 9 ba 故椭圆的
35、方程为 22 2 2 1 4 9 xy a a 由已知得椭圆过点 3 3 ,1 2 ， 所以 22 279 1 44aa ，解得 2 9a ， 所以椭圆的E方程为 22 1 94 xy （）由题意得直线l的方程为1ykx 由 22 1 1 94 ykx xy 消去y整理得 22 4918270kxkx， 其中 222 1849()4 27 ()432(31)0kkk 设 1122 ,A x yB x y，AB的中点 00 ,C x y 则 1212 22 1827 , 4949 k xxx x kk ， 所以 12 0 2 9 249 xxk x k ， 00 2 4 1 49 ykx k ，
36、 点 C 的坐标为 22 94 , 4949 k C kk 假设在x轴存在点,0M m，使得AMB是以AB为底的等腰三角形， 则点,0M m为线段AB的垂直平分线与 x 轴的交点 当0k 时，则过点C且与l垂直的直线方程 22 194 4949 k yx kkk ， 令0y ，则得 2 55 4 49 9 k xm k k k 若0k ，则 555 4 124 9 29 k k k k ， 5 0 12 m 若0k ，则 555 44 12 99kk kk ， 5 0 12 m 当0k 时，则有0m 综上可得 55 1212 m 所以存在点M满足条件,且m的取值范围是 55 , 12 12 .
37、 【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然 后再求出这个式子的最值或范围即可求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等 号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解由于此类问题一般要涉及到大 量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解 21.已知函数 12sinf xx x ，0x. （1）求 f x的最小值； （2）证明： 2 e x f x . 【答案】 （1）13 3 ； （2）证明见解析 【分析】 （1）先求导数，确定导函数零点，根据导函数符号确定函数单调性，进而确定
38、函数最值； （2）先构造函数 2 12sin x g xxx e ，再求导数，转化研究 sinh xxx，利用导数可得 sinxx，最后利用放缩得 g x单调递增，根据单调性证得结果. 【详解】 （1） 1 2cosfxx ，令 0fx ，得 1 cos 2 x ， 故在区间0,上， fx 的唯一零点是 3 x ， 当0, 3 x 时， 0fx ， f x单调递减， 当, 3 x 时， 0fx ， f x单调递增， 故在区间0,上， f x的极小值为13 33 f ， 当x时， 121 3 f xf ， 所以， f x的最小值为13 33 f . （2）要证：0x时， 2x f xe，即证0x
39、时， 2 12sin1 x g xxx e . 22 2 12sin1 2cos xx g xxx ex e 2 324sin2cos x xxx e， 令 sinh xxx，则 1 cos0h xx ，即 h x是0,上的增函数， 00h xh，即sinxx， 3 24sin2cos3 2sin4sin2cosxxxxxx 32 sincos32 2sin0 4 xxx ， 2 3 24sin2cos0 x g xxxx e. 即 g x是0,上的增函数， 01g xg， 故当0x时， 2x f xe. 【点睛】本题考查利用导数求函数最值以及利用导数证明不等式，考查综合分析求证与求解能力，属
40、较难 题. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分题计分. 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 3, 2 3 2 xt yt （t为参数） ，曲线C的参数方程为 3cos , 33sin x y （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， （1）求曲线C的极坐标方程； （2）已知点P的极坐标为( 3,)，l与曲线C交于,A B两点，求 11 |PAPB . 【答案】 （1）6
41、sin（2） 412 【分析】 （1）直接把曲线参数方程中参数消去，可得曲线C的普通方程，利用 222, sinxyy，得到 曲线C的极坐标方程； （2）由点P的极坐标求出点P的直角坐标，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，结合直线参数 方程中参数t的几何意义求得结果. 【详解】 （1）曲线C的普通方程为 22 (3)9xy，即 22 6xyy， 所以 2 6 sin，即 6sin ，所以曲线C的极坐标方程为6sin. （2）将直线l的参数方程代入到 22 6xyy中，得 2 4 330tt . 设,A B两点对应的参数分别为 12 ,t t，则 12 4 3tt， 1 2 3t t ，
42、 因为点P的极坐标为( 3,)，所以点P的直角坐标为(3,0)， 所以 2 1212121 2 1 21 2 121 2 |( | | |)| 2 |1111 | ttttttt t t tt tPAPBttt t 12 (0,0)tt 4 4 32 36 3 12 33 . 【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，平 面直角坐标方程向极坐标方程的转化，直线参数方程中参数的几何意义，属于简单题目. 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知, ,a b c为正数，且满足1abc ，证明： （1） 222 111 abc abc ； （2
43、） 111 1 222abc . 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； 【分析】 （1）利用基本不等式，结合综合法，利用题中所给的条件，证明即可； （2）利用 1的代换，结合三元基本不等式证得结果. 【详解】证明： （1）由条件1abc得 22 111 22c abab ，当且仅当a b时等号成立 22 111 22a bcbc ，当且仅当b c时等号成立 22 111 22b caca ，当且仅当ca时等号成立 以上三个不等式相加可得： 222 111 22()abc abc ， 当且仅当abc时等号成立 得证 222 111 abc abc . （2）由条件1abc得 11143 1() 222(2)(2)(2)(2)(2)(2) abbccaabcabbcca abcabcabc ， 由三元基本不等式得 3 33abbccaab bc ca（等号成立当且仅当1abc） ， 从而得证 111 1 222abc . 【点睛】该题考查的是有关不等式的证明问题，涉及到的知识点
