1、高三二模数学试卷（第 1 1 页，共 4 页） 天津市部分区天津市部分区 20202020 年高三质量调查试卷（年高三质量调查试卷（二二） 数学试卷数学试卷 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟. 参考公式参考公式： 如果事件BA,互斥，那么)()()(BPAPBAP. 如果事件BA,相互独立，那么)()()(BPAPABP . 柱体的体积公式VSh，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高. 锥体的体积公式 1 3 VSh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高. 第第 I I 卷卷 注意事项：注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题
2、卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 2本卷共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分. 一、选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合1,0,1A ，1,2,3B ，CxR11x ，则ABC A. 1 B. 1,0 C. 1,1 D. 1,0,1 2. 已知命题:px R， 2 230xx，则命题p的否定是 Ax R， 2 230xx Bx R， 2 230xx Cx R， 2 230xx Dx R， 2 230xx 3. 已知i为虚数单位，若复数 1i 2i a z （aR）的实部为1，则z A 1 3 B
3、2 C 5 3 D. 10 4. 函数 f x是定义在R上的奇函数，且当0x时， 2 x f xxa（a为常数） ，则 f a A 1 2 B 3 2 C 3 2 D. 2 5. 若 3 sin 32 ，0,，则cos 6 A0 B 1 2 C1 D. 3 2 6. 设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 310 9100SS，,则 7 a A11 B13 C15 D. 17 高三二模数学试卷（第 2 2 页，共 4 页） A A1 C1 O E F G H B D C B1 D1 7. 已知 3 log 0.3a ， 0.3 log2b ， 0.2 3c ，则a，b，c的大小关系是 Aa
4、bc B. bca Cc ba Dcab 8. 若函数( )cos(2)f xx（0） 在区间, 6 6 上单调递减， 且在区间0, 6 上存在零点，则的取值范围是 A. , 6 2 B. 25 36 ， C. 2 , 23 D. 3 2 ， 9. 已知函数 2 17 1,20, 6 ln , 0, xxx f x xxe 函数 g xkx.若关于x的方程 f x 0g x有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是 A. 1 5 , 6 e B. 1 1 , 3 e C. 1 5 , 3 6 D. 1 0, e 第卷第卷 注意事项：注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定位置上
5、. 2本卷共 11 个小题，共 105 分. 二、填空题二、填空题：本大题共 6 小题, 共 30 分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程. 10. 双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab） 的右焦点为 5,0F， 且一条渐近线方程是 4 3 yx， 则该双曲线的方程是 . 11. 若 6 a x x 的展开式中的常数项为160，则实数a . 12. 已知点( , )P x y在直线230xy上，则24 xy 的最小值为 . 13. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若2 sincos0 4 aCcA ，则cosA . 14. 如图，点O是长方体 1111 A
6、BCDABC D的中心，E， F，G，H分别为其所在棱的中点，且BC 1 BB. 记棱AB的长度为l，点O到平面 11 BCC B的距离为 0 l，则l 0 l；若该长方体的体积为120，则四棱锥OEFGH的体积为 . 15. 在梯形ABCD中，AB/CD，90DAB，2AB ，1CDAD，若点M在 线段BD上，则AM CM的最小值为 . 高三二模数学试卷（第 3 3 页，共 4 页） 三、解答题三、解答题：本大题共 5 个小题,共 75 分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步 骤. 1 16 6. .（本小题满分 14 分） 天津市某中学为全面贯彻 “五育并举， 立德树人” 的教育方
7、针， 促进学生各科平衡发展， 提升学生综合素养 该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科 “兴趣学习小组” （每位学生只能参加一个小组） ，以便课间学生进行相互帮扶已知该校某班语文、数 学、英语三个兴趣小组学生人数分别为 10 人、10 人、15 人.经过一段时间的学习，上 学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步.现采用分层抽样的方法从该班的语文，数 学，英语三个兴趣小组中抽取 7 人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查. （1）应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？ （2）若抽取的 7 人中恰好有 5 人三科成绩全部及格，其余 2 人三科成绩不全及格.现 从这 7 人中随机
8、抽取 4 人做进一步的调查 （）记X表示随机抽取 4 人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机 变量X的分布列和数学期望； （）设M为事件“抽取的 4 人中，有人成绩不全及格” ，求事件M发生的概率 1 17 7. .（本小题满分 15 分） 已知各项均为正数的数列 n a，满足2=31 nn Sa （nN）. （1）求证： n a为等比数列，并写出其通项公式； （2）设21 nn bna（nN） ，求数列 n b的前n项和 n T 1 18 8 （本小题满分 15 分） 如图，四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是直角 梯形，PC底面ABCD，AB/CD,90BAD， 1ADCD
9、，45ABC，E为PB的中点 （1）求证：BC平面PAC； （2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 ， 求二面角PACE的余弦值. 1919 （本小题满分 15 分） 已知 1 F, 2 F分别是椭圆:C 22 22 1 xy ab (0)ab 的左、 右焦点,其焦距为6, 过 1 F的 直线与C交于A，B两点，且 2 ABF的周长是12 2. B D C A P E 高三二模数学试卷（第 4 4 页，共 4 页） （1）求C的方程； （2）若 00 (,)M xy是C上的动点，从点O（O是坐标系原点）向圆 22 00 6xxyy 作两条切线， 分别交C于P，Q两点 已知直线OP
10、，OQ的斜率存在， 并分别记为 1 k, 2 k. （）求证： 12 k k为定值； （）试问 22 OPOQ是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由 20.20.（本小题满分 16 分） 已知函数 sincos4 x f xexx，函数 2cosg xxx，其中2.71828e是 自然对数的底数. （1）求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程； （2）设函数 h xf xag x（aR），讨论 h x的单调性； （3）若对任意 5 0, 12 x，恒有关于x的不等式cos0 x xm x e 成立，求实数m的 取值范围. 高三二模数学试卷（第 5 5 页，共 4 页） 天津市部分区
11、天津市部分区 20202020 年高三质量调查试卷（年高三质量调查试卷（二二） 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 一、选择题：一、选择题：( (本大题共本大题共 9 9 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 4545 分分) ) 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案答案 B C D D A B C D B 二、填空题：二、填空题：( (本大题共本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分) ) 10 22 1 916 xy 112 12 4 2 13 2 2 142；10 15 9 20 三、解答题： （本大题共三、解答题：
12、（本大题共 5 5 个小题，共个小题，共 7575 分）分） 16解： （解： （1）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2:2:3， 因此，采用分层抽样方法从中抽取因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别 抽取抽取2人、人、2人、人、3人人 3 分分 （2） （） （）依题意，得随机变量）依题意，得随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为2，3，44 分分 所以，所以， 4 52 4 7 ()(2,3,4) kk CC P Xkk C 5 分分 因此
13、，所求随机变量因此，所求随机变量X的分布列为的分布列为 10 分分 故随机变量故随机变量X的数学期望为的数学期望为 1020520 ()234 3535357 E X 11 分分 （）依题意，设事件）依题意，设事件B为为“抽取的抽取的4人中，三科成绩全及格的有人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全人，三科成绩不全 及格的有及格的有2人人”；事件；事件C为为“抽取的抽取的4人中，三科成绩全及格的有人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全人，三科成绩不全 及格的有及格的有1人人”. 则有则有MBC，且，且B与与C互斥互斥. 由由知，知，( )(2), ( )(3)P BP XP CP X，
14、X 2 3 4 P 10 35 20 35 5 35 高三二模数学试卷（第 6 6 页，共 4 页） 所以所以 6 ()()(2)(3). 7 P MP BCP XP X 13 分分 故事件故事件M发生的概率为发生的概率为 6 7 14 分分 17.（1）证明：因为）证明：因为2=31 nn Sa （nN） ，） ， 所以，当所以，当2n时，有时，有 -1-1 2=31 nn Sa， 1 分分 -得得 11 2=3 nnnn SSaa ， 即即 1 2=33 nnn aaa ，所以，所以 1 =3 n n a a （nN，2n） 3 分分 所以数列所以数列 n a是公比为是公比为2的等比数列的
15、等比数列 4 分分 又由又由得得 11 2=31Sa ，所以，所以 1 3a 5 分分 所以所以 11 1 3 33 nnn n aa q 7 分分 （2）解：由题意及（）解：由题意及（1）得）得2121 3 n nn bnan 8 分分 所以所以 12 1 33 321 3 n n Tn， 所以所以 231 31 33 323 321 3 nn n Tnn， 10 分分 -，得，得 1231 21 32 32 32 321 3 nn n Tn 12 分分 11231 32 333321 3 nn n 11 3 31 3221 3621 3 3 1 n nn nn， 14 分分 故故 1 31
16、 3n n Tn 15 分分 18.（1）证明：因为）证明：因为AB/CD，90BAD，所以，所以90ADC. 又因为又因为1ADCD，所以，所以ACD是等腰直角三角形是等腰直角三角形, 所以所以2AC ，45CAD 2 分分 又因为又因为90BAD，45ABC， 高三二模数学试卷（第 7 7 页，共 4 页） 所以所以90ACB，即，即ACBC 3 分分 因为因为PC底面底面ABCD，BC 平面平面ABCD，所以，所以PCBC. 又又PCACC,所以所以BC 平面平面PAC 6 分分 （2）解：在）解：在RtABC中中, 45ABC，2AC ，所以，所以2BC . 由（由（1）知，）知，BC
17、 平面平面PAC， 所以所以BPC是直线是直线PB与平面与平面PAC所成的角，则所成的角，则 3 sin 3 BPC 7 分分 在在RtPBC中中, 2 6 sin3 3 BC PB BPC ， 所以所以 22 2PCPBBC 8 分分 【方法一】以点【方法一】以点C为原点，分别以为原点，分别以,AC CB CP的方向为的方向为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向建轴的正方向建 立空间直角坐标系立空间直角坐标系Cxyz 9 分分 则则 0,0,0 ,0,0,2 ,2,0,0 ,0, 2,0CPAB. 因为因为E为为PB的中点，所以的中点，所以 2 0,1 2 E ， 所以所以 2 2,0,0 ,0
18、,1 2 CACE 10 分分 设平面设平面ACE法向量为法向量为, ,mx y z， 则则 0, 0, CA m CE m 即即 20, 2 0. 2 x yz 令令2y ，得，得0,2xz 所以所以 0,2,2m 12 分分 由由BC 平面平面PAC，则，则0,1,0n 为平面为平面PAC的一个法向量的一个法向量 13 分分 所以所以 26 cos, 36 1 m n m n m n 故所求二面角故所求二面角PACE的余弦值为的余弦值为 6 3 15 分分 B D C A P E x y z 高三二模数学试卷（第 8 8 页，共 4 页） 【方法二】以点【方法二】以点C为原点，分别以为原点
19、，分别以,CB CA CP的方向为的方向为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向建轴的正方向建 立空间直角坐标系立空间直角坐标系Cxyz 9 分分 则则 0,0,0 ,0,0,2 ,0, 2,0 ,2,0,0CPAB. 因为因为E为为PB的中点，所以的中点，所以 2 01 2 E ， ， 所以所以 2 0, 2,0 ,0,1 2 CACE 10 分分 设平面设平面ACE法向量为法向量为, ,mx y z， 则则 0, 0, CA m CE m 即即 20, 2 0. 2 y xz 令令2x，得，得0,2yz 所以所以 2,0,2m 12 分分 由由BC 平面平面PAC，则，则1,0,0n 为平面为平
20、面PAC的一个法向量的一个法向量.13 分分 所以所以 26 cos, 36 1 m n m n m n 故所求二面角故所求二面角PACE的余弦值为的余弦值为 6 3 15 分分 19.（1）解：设椭圆）解：设椭圆:C 22 22 1(0) xy ab ab 的焦距为的焦距为2c（0c ） ，） ， 则则26c ，所以，所以3c 1 分分 因为直线因为直线AB过过C的焦点的焦点 1 F，且，且 2 ABF的周长是的周长是12 2， 所以所以 21122 2 412 2ABAFBFAFBFAFBFa ， 所以所以3 2a 2 分分 所以所以 222 1899bac 3 分分 所以，椭圆所以，椭圆
21、C的方程是的方程是 22 1 189 xy 4 分分 B D C A P E y x z 高三二模数学试卷（第 9 9 页，共 4 页） （2） （） （）证明：由题意得，直线）证明：由题意得，直线OP： 1 yk x，直线，直线OQ： 2 yk x. 因为直线因为直线,OP OQ与圆与圆M相切，相切， 所以所以 100 2 1 | 6 1 k xy k ,化简，得化简，得 222 0100 10 (6)260xkx y ky； 同理，得同理，得 222 020020 (6)260xkx y ky6 分分 所以所以 12 ,k k是一元二次方程是一元二次方程 222 0000 (6)260xk
22、x y ky的两实数根，的两实数根， 则有则有 2 0 12 2 0 6 6 y kk x 7 分分 又因为点又因为点 00 (,)M xy在在C上，所以上，所以 22 00 1 189 xy ，即，即 22 00 1 9 2 yx， 所以所以 22 00 12 22 00 11 36 1 22 662 xx k k xx （定值） （定值） 9 分分 （）解：）解： 22 OPOQ是定值，且定值为是定值，且定值为27 10 分分 理由如下：理由如下： 【方法一】设【方法一】设),(, ),( 2211 yxQyxP. 由（由（1） 、 （） 、 （2）联立方程组）联立方程组 1 22 , 1
23、, 189 yk x xy 解得解得 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 8 , 12 18 . 12 x k k y k 11 分分 所以所以 2 22 1 11 2 1 18(1) 12 k xy k 12 分分 同理，得同理，得 2 22 2 22 2 2 18(1) 1 2 k xy k 13 分分 由（由（2）知）知 12 1 2 k k ， 所以所以 22 2222 1122 OPOQxyxy 22 12 22 12 18(1)18(1) 1212 kk kk 高三二模数学试卷（第 1010 页，共 4 页） 2 2 11 2 2 1 1 1 18(1 () ) 18(1)
24、2 1 12 12() 2 kk k k 2 1 2 1 2754 12 k k 27， 所以所以 22 =27OPOQ（定值）（定值） 15 分分 【方法二】设【方法二】设),(, ),( 2211 yxQyxP, 由（由（2）知）知 12 1 2 k k ，所以，所以 2222 1212 1 4 y yx x 11 分分 因为因为),(, ),( 2211 yxQyxP在在C上，上， 所以所以 22 11 22 22 1, 189 1, 189 xy xy ， 即即 22 11 22 22 1 9, 2 1 9. 2 yx yx 12 分分 所以所以 2222 1212 111 (9)(9
25、) 224 xxx x，整理得，整理得 22 12 18xx， 所以所以 2222 1212 11 999 22 yyxx 14 分分 故有故有 22 =27OPOQ（定值）（定值）.15 分分 20.解： （解： （1）由题意）由题意,得得 sincos4cossin2sin4 xxx fxexxexxex，1 分分 所以所以 04 f 因为因为 03f，所以，所以340yx ， 即所求曲线即所求曲线 yf x在点在点 0,0f处的切线方程为处的切线方程为430xy 3 分分 （2）易知，函数）易知，函数 h x的定义域为的定义域为R， 2sing xx， 且有且有 h xfx agx 2s
26、in4sin22sin2 xx exaxeax5 分分 由于由于sin20x在在xR上恒成立上恒成立，所以，所以 当当0a时，时，20 x ea在在xR上恒成立，此时上恒成立，此时 0h x， 高三二模数学试卷（第 1111 页，共 4 页） 所以，所以， h x在区间在区间, 上单调递增上单调递增 7 分分 当当0a时，由时，由 0h x，即，即20 x ea，解得，解得ln 2 a x； 由由 0h x，即，即20 x ea，解得，解得ln 2 a x. 所以，所以， h x在区间在区间,ln 2 a 上单调递减；上单调递减； 在区间在区间ln, 2 a 上单调递增上单调递增 9 分分 （
27、3）易知，）易知，cos0 x xm x e 等价于等价于cos0 x exxm. 设设 cos x xexxm（ 5 0, 12 x） 10 分分 由题意，对由题意，对 5 0, 12 x时，不等式时，不等式cos0 x xm x e 恒成立，恒成立， 只需只需 max0x 11 分分 易得易得 cossin1 x xexx， 5 0, 12 x. 令令 cossin1 x t xexx， 5 0, 12 x， 所以所以 2sin x t xex 13 分分 显然，当显然，当 5 0, 12 x时，时， 0 tx恒成立恒成立. 所以函数所以函数 t x在在 5 0, 12 x上单调递减，所以上单调递减，所以 00t xt， 即即 0x在在 5 0, 12 x恒成立恒成立14 分分 所以，函数所以，函数 x在在 5 0, 12 x上上单调递减单调递减. 高三二模数学试卷（第 1212 页，共 4 页） 所以有所以有 max 010 xm， 15 分分 所以所以1m. 故所求实数故所求实数m的取值范围是的取值范围是1, 16 分分
