1、2015-2016学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上12sin15cos15=2经过两点A（1，1），B（2，3）的直线的方程为3在等差数列an中，已知a1=3，a4=5，则a7等于4在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x2y+m1=0在y轴上的截距为，则实数m的值为5不等式3的解集是6在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y1=k（x）不经过第四象限，则实数k的取值范围是7如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角CDE=90，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为8在ABC中，角A，
2、B，C的对边分别为a，b，c，若2csinA=atanC，则角C的大小是9记数列an的前n项和为Sn，若对任意的nN*，都有Sn=2an3，则数列an的第6项a6=10正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，高为3，点P为侧棱BB1上一点，则三棱锥ACPC1的体积是11设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面在下列命题中，正确的是（写出所有正确命题的序号）若mn，n，则m或m；若m，n，m，n，则；若，则；若，m，则m12在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f（x）=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（2，0）两点，则关于x的不等式x2+bx+c4的解集是13在平面直角坐标系xOy
3、中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y1=0上，则+的最小值是14已知等差数列an是有穷数列，且a1R，公差d=2，记an的所有项之和为S，若a12+S96，则数列an至多有项二、解答题:本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，4），直线l：x2y+1=0（1）求过点A且平行于l的直线的方程；（2）若点M在直线l上，且AMl，求点M的坐标16（1）已知cos=，为锐角，求tan2的值；（2）已知sin（+）=，为钝角，求cos的值17如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD
4、为菱形，且BCD=60，P为AD1的中点，Q为BC的中点（1）求证：PQ平面D1DCC1；（2）求证：DQ平面B1BCC118某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框，其内框与外框均为矩形，并用木条相互连结，连结木条与所连框边均垂直水平方向的连结木条长均为8cm，竖直方向的连结木条长均为4cm，内框矩形的面积为3200cm2（不计木料的粗细与接头处损耗）（1）如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？（2）如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？19如图，在ABC中，BAC=120，AC=3，ABC的面积等于，D为边长BC上一点（1）求BC的长；（2）当AD=时，求co
5、sCAD的值20记等比数列an前n项和为Sn，已知a1+a3=30，3S1，2S2，S3成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b1=3，bn+13bn=3an，求数列bn的前n项和Bn；（3）删除数列an中的第3项，第6项，第9项，第3n项，余下的项按原来的顺序组成一个新数列，记为cn，cn的前n项和为Tn，若对任意nN*，都有a，试求实数a的最大值2015-2016学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上12sin15cos15=【考点】二倍角的正弦【分析】根据式子的特点直接
6、代入倍角的正弦公式求解即可【解答】解：原式=sin30=，故答案为：2经过两点A（1，1），B（2，3）的直线的方程为2xy1=0【考点】直线的两点式方程【分析】直接利用直线的两点式方程求解即可【解答】解：经过两点A（1，1），B（2，3）的直线的方程为：，即2xy1=0故答案为：2xy1=03在等差数列an中，已知a1=3，a4=5，则a7等于7【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差数列通项公式先求出公差，由此能求出第7项【解答】解：在等差数列an中，a1=3，a4=5，3+3d=5，解得d=，a7=3+6=7故答案为：74在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x2y+m1=0在y轴上的截距
7、为，则实数m的值为2【考点】直线的截距式方程【分析】将直线方程化为斜截式，根据条件列出方程求出m的值【解答】解：由x2y+m1=0得，y=x+，直线l：x2y+m1=0在y轴上的截距为，=，解得m=2，故答案为：25不等式3的解集是（0，）【考点】其他不等式的解法【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集【解答】解：由得，则x（13x）0，即x（3x1）0，解得，所以不等式的解集是（0，），故答案为：（0，）6在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y1=k（x）不经过第四象限，则实数k的取值范围是0，【考点】直线的一般式方程【分析】由直线l不经过第四象限，
8、得到x0，y0，求出k的最小值，经过原点时k最大，求出k的最大值，则实数k的取值范围可求【解答】解：直线l：y1=k（x）不经过第四象限，则x0，y0，k的最小值为kmin=0，经过原点时k最大，k的最大值为kmax=，则实数k的取值范围是0，故答案为：0，7如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角CDE=90，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为5【考点】由三视图求面积、体积【分析】由题意判断形成的几何体是组合体：上面半球、下面是圆柱，由球和圆柱的表面积公式求出形成的几何体的表面积【解答】解：由题意知，形成的几何体是组合体：上面半球、下面是圆柱，正方形ABCD的边
9、长为1，CDE=90，球的半径是1，圆柱的底面半径是1、母线长是1，形成的几何体的表面积S=5，故答案为：58在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinA=atanC，则角C的大小是【考点】正弦定理【分析】根据正弦定理和商的关系化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C的值【解答】解：2csinA=atanC，由正弦定理得，2sinCsinA=sinAtanC，则2sinCsinA=sinA，由sinCsinA0得，cosC=，0C，C=，故答案为：9记数列an的前n项和为Sn，若对任意的nN*，都有Sn=2an3，则数列an的第6项a6=96【考点】数列递推式【
10、分析】当n2时通过Sn=2an3与Sn1=2an13作差，进而整理可知数列an是首项为3、公比为2的等比数列，计算即得结论【解答】解：Sn=2an3，当n2时，Sn1=2an13，两式相减，得：an=2an2an1，即an=2an1，又S1=2a13，即a1=3，数列an是首项为3、公比为2的等比数列，a6=3261=96，故答案为：9610正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，高为3，点P为侧棱BB1上一点，则三棱锥ACPC1的体积是【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】求出A到平面BC1的距离等于，利用三棱锥的体积公式，求出三棱锥ACPC1的体积【解答】解：正三棱柱ABCA1B1C1的
11、底面边长为2，A到平面BC1的距离等于，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，高为3，三棱锥ACPC1的体积是=故答案为：11设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面在下列命题中，正确的是（写出所有正确命题的序号）若mn，n，则m或m；若m，n，m，n，则；若，则；若，m，则m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论【解答】解：若m，且mn，分两种情况：n在内或不在，则m或m故正确；若m，n，m，n，m，n相交，则，故不正确；若，则，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故
12、不正确；由平行的传递性知若，则，因为m，所以m，故正确故答案为：12在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f（x）=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（2，0）两点，则关于x的不等式x2+bx+c4的解集是（2，3）【考点】二次函数的性质【分析】根据二次函数的性质得到（x+1）（x2）4，解出即可【解答】解：二次函数f（x）=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（2，0）两点，x2+bx+c=（x+1）（x2），x2+bx+c4，即（x+1）（x2）4，解得：2x3，不等式的解集是（2，3），故答案为：（2，3）13在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+2
13、y1=0上，则+的最小值是9【考点】基本不等式【分析】先将点P的坐标代入直线方程中，建立a与b的关系，再用1的代换，展开后利用基本不等式可达到目的【解答】解：将点P的坐标代入直线方程中，得a+2b1=0，即（a+b）+b=1P为第一象限内的点，a0，b0，a+b0，+=（+）（a+b+b）=5+5+2=9，当且仅当=时，取等号，+的最小值是9故答案为：914已知等差数列an是有穷数列，且a1R，公差d=2，记an的所有项之和为S，若a12+S96，则数列an至多有12项【考点】等差数列的前n项和【分析】根据题意，利用等差数列的前n项和公式，结合一元二次不等式的解法与步骤，利用判别式列出不等式，
14、求出解集即可【解答】解：等差数列an是有穷数列，且a1R，公差d=2，记an的所有项之和为S，Sn=na1+n（n1）d=na1+n（n1）；又a12+S96，+na1+n（n1）96，即+na1+（n2n96）0；=n24（n2n96）0，即3n24n3840，解得n12；数列an至多有12项故答案为：12二、解答题:本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，4），直线l：x2y+1=0（1）求过点A且平行于l的直线的方程；（2）若点M在直线l上，且AMl，求点M的坐标【考点】直线的一般式方程；直线
15、的一般式方程与直线的平行关系【分析】（1）法一：求出直线的斜率，代入点斜式方程即可；法二：根据直线的平行关系设所求直线方程是：x2y+c=0，将A（2，4）代入直线方程求出c的值即可；（2）根据直线的垂直关系求出所求直线的斜率，代入点斜式方程即可求出直线方程，联立方程组，求出交点坐标即可【解答】解：（1）法一：直线l：x2y+1=0的斜率是，故所求直线的斜率是，故所求直线方程是：y4=（x2），即x2y+6=0；法二：由题意设所求直线方程是：x2y+c=0，将A（2，4）代入方程得：224+=0，解得：c=6，故所求方程是“x2y+6=0；（2）直线l：x2y+1=0的斜率是，故所求直线的斜率
16、是2，直线AM的方程是：y4=2（x2），即：2x+y8=0，联立，解得M（3，2）16（1）已知cos=，为锐角，求tan2的值；（2）已知sin（+）=，为钝角，求cos的值【考点】两角和与差的余弦函数【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin，进而可求tan，利用二倍角的正切函数公式即可求tan2的值（2）由已知可求范围+（，），利用同角三角函数基本关系式可求cos（+）的值，利用=（+），根据两角差的余弦函数公式即可计算得解【解答】解：（1）cos=，为锐角，sin=，从而可求tan=1分tan2=6分（2）sin（+）=，为钝角，+（，），cos（+）=，9分cos=c
17、os（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=14分17如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且BCD=60，P为AD1的中点，Q为BC的中点（1）求证：PQ平面D1DCC1；（2）求证：DQ平面B1BCC1【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）过P作PMAD交D1D于M，连接MC，则M为D1D的中点，证明四边形PMCQ是平行四边形，可得PQMC，即可证明PQ平面D1DCC1；（2）证明B1BDQ，DQBC，利用线面垂直的判定定理证明：DQ平面B1BCC1【解答】证明：（1）过P作PMAD交D1D于M，连接MC，则M为D1D的中点，
18、PMAD，PM=AD，ADBC，Q为BC的中点，PMQC，PM=QC，四边形PMCQ是平行四边形，PQMC，PQ平面DCC1D1，MC平面DCC1D1，PQ平面DCC1D1（2）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，B1B平面ABCD，DQ平面ABCD，B1BDQ，在菱形ABCD中，DC=BC，BCD=60，BCD为正三角形，故DB=DC，Q为BC的中点，DQBC，B1BBC=B，DQ平面B1BCC118某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框，其内框与外框均为矩形，并用木条相互连结，连结木条与所连框边均垂直水平方向的连结木条长均为8cm，竖直方向的连结木条长均为4cm，内框矩形的面积为3
19、200cm2（不计木料的粗细与接头处损耗）（1）如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？（2）如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1）设展示框外框的长为xcm，宽为ycm，则内框长为（x16）cm，宽为（y8）cm，利用x，y表示面积，列出面积表达式，变形，利用基本不等式求其最小值；（2）利用（1）得到木条的长度表达式，变形，结合基本不等式求最小值【解答】解：（1）设展示框外框的长为xcm，宽为ycm，则内框长为（x16）cm，宽为（y8）cm，由题意x16，y8，因为内框的面积为3200cm2，所以（x16）（y8）=3
20、200，所以，外框面积为S=xy=8x+=3328+8（x16）+，因为x16，所以x160，所以S3328+2=3328+1280=4608，当且仅当8（x16）=即x=96时等号成立，所以外框的长与宽分别是96cm，48cm时，才能使外框矩形面积最小；（2）由（1）可知，所用木条的总长度为4（x+y）=4（x+8+）=4（x16+24）4（2+24）=96+320，当且仅当x16=即x=16+40，y=8+40时等号成立；所以外框的长与宽分别是（16+40）cm，（8+40）cm时，才能使制作整个展示框所用木条最少19如图，在ABC中，BAC=120，AC=3，ABC的面积等于，D为边长B
21、C上一点（1）求BC的长；（2）当AD=时，求cosCAD的值【考点】余弦定理【分析】（1）由条件利用余弦定理、三角形的面积公式先求得AB的值，可得BC的值（2）利用正弦定理求得sinADC 的值，可得cosADC 的值，再利用两角和的余弦公式，求得cosCAD=cos（C+ADC）的值【解答】解：（1）在ABC中，BAC=120，AC=3，ABC的面积等于ACABsinBAC=3AB=，AB=5，再由余弦定理可得BC2=AB2+AC22ABACcosBAC=25+9253（）=49，BC=7（2）由题意可得cosC=，sinC=D为边长BC上一点，当AD=时，ACD中，利用正弦定理可得=，即
22、=，求得sinADC=，cosADC=当 cosADC=，cosCAD=cos（C+ADC）=cosCcosADC+sinCsinADC=+=当 cosADC=，cosCAD=cos（C+ADC）=cosCcosADC+sinCsinADC=（）+=20记等比数列an前n项和为Sn，已知a1+a3=30，3S1，2S2，S3成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b1=3，bn+13bn=3an，求数列bn的前n项和Bn；（3）删除数列an中的第3项，第6项，第9项，第3n项，余下的项按原来的顺序组成一个新数列，记为cn，cn的前n项和为Tn，若对任意nN*，都有a，试求实数
23、a的最大值【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）由a1+a3=30，3S1，2S2，S3成等差数列，可得=30，3S1+S3=22S2，化简解出利用等比数列的通项公式即可得出（2）由bn+13bn=3an=3n+1，变形为=1，利用等差数列的通项公式可得bn，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得Bn（3）由题意可得：c2n1=a3n2=33n2，c2n=a3n1=33n1，可得c2n1+c2n=33n2+33n1=27n对n分类讨论即可得出【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，a1+a3=30，3S1，2S2，S3成等差数列，=30，3S1+S3=22S2，化为：3
24、a2=a3，解得q=3，a1=3an=3n（2）bn+13bn=3an=3n+1，=1数列是等差数列，公差为1，首项为1=1+（n1）=n，bn=n3n数列bn的前n项和Bn=3+232+n3n，3Bn=32+233+（n1）3n+n3n+1，2Bn=3+32+3nn3n+1=n3n+1=3n+1，Bn=3n+1+（3）由题意可得：c2n1=a3n2=33n2，c2n=a3n1=33n1，n=2k（kN*）时，c2n1+c2n=33n2+33n1=27nTn=T2k=n=2k1时，Tn=T2k1=T2k33n1=33n1=因此：n=2k（kN*）时， =+n=2k1（kN*）时， =综上可得：a的最大值为2016年8月2日
