1、2016年人教版九年级数学上册单元测试：第21章 一元二次方程一、选择题1关于x的一元二次方程（a21）x2+x2=0是一元二次方程，则a满足（）Aa1Ba1Ca1D为任意实数2若关于x的一元二次方程x2+5x+m21=0的常数项为0，则m等于（）A1B2C1或1D03已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）A3B3C0D0或34若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a0）的解是x=1，则2015ab的值是（）A2020 B2008C2014D20125关于x的方程（2a）x2+5x3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A1B2C3D46用配方法解一元二次方程
2、x24x=5时，此方程可变形为（）A（x+2）2=1B（x2）2=1C（x+2）2=9D（x2）2=97已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k1=0根的存在情况是（）A没有实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D无法确定8在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）Ax（x1）=10B =10Cx（x+1）=10D =109某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m设游泳池的长为xm，则可列方程（）Ax（x10）=375Bx（x+10）=375C2x（2x10）=375D2x（2
3、x+10）=37510如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出33个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A32B126C135D144二、填空题11一元二次方程x23=0的根为12如果（x2+y2）（x2+y22）=3，则x2+y2的值是13已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0两个实数根，则的值为14已知x1，x2是方程x22x1=0的两个根，则+等于15若x1，x2是方程3x2|x|4=0的两根，则=16为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降
4、至48.6元，则平均每次降价的百分率为%三、解答题（共52分）17解下列方程：（1）2x24x5=0（2）x24x+1=0（3）（y1）2+2y（1y）=018试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x4y+15的值总是正数19已知实数，满足a2+a2=0，求的值20在实数范围内定义一种新运算“”，其规则为：ab=a2b2，根据这个规则：（1）求43的值；（2）求（x+2）5=0中x的值21已知关于x的方程2x2mx2m+1=0的两根x1，x2，且x12+x22=，试求m的值22如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面
5、积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长23某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？2016年人教版九年级数学上册单元测试：第21章 一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1关于x的一元二次方程（a21）x2+x2=0是一元二次方程，则a满足（）Aa1Ba1Ca1D为任意实数【考
6、点】一元二次方程的定义【分析】本题根据一元二次方程的定义求解一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可【解答】解：由题意得：a210，解得a1故选C【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点2若关于x的一元二次方程x2+5x+m21=0的常数项为0，则m等于（）A1B2C1或1D0【考点】一元二次方程的一般形式【专题】计算题【分析】根据常数项为0列出关于m的方程，求出方程
7、的解即可得到m的值【解答】解：x2+5x+m21=0的常数项为0，m21=0，解得：m=1或1故选C【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项3已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）A3B3C0D0或3【考点】一元二次方程的解【分析】直接把x=1代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可【解答】解：x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一
8、个解，1+m+2=0，m=3故选A【点评】此题比较简单，利用方程的解的定义即可确定待定系数4若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a0）的解是x=1，则2015ab的值是（）A2020B2008C2014D2012【考点】一元二次方程的解【分析】将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可【解答】解：x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，a12+b1+5=0，a+b=5，2015ab=2013（a+b）=2015（5）=2020故选：A【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a
9、+b的值5关于x的方程（2a）x2+5x3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A1B2C3D4【考点】根的判别式；一元一次不等式组的整数解【分析】由于关于x的方程（2a）x2+5x3=0有实数根，分情况讨论：当2a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；当2a0即a2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a的最大值【解答】解：关于x的方程（2a）x2+5x3=0有实数根，当2a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；当2a0即a2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，=25+
10、12（2a）0，解之得a，整数a的最大值是4故选D【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根注意次方程应分是一元二次方程与不是一元二次方程两种情况进行讨论6用配方法解一元二次方程x24x=5时，此方程可变形为（）A（x+2）2=1B（x2）2=1C（x+2）2=9D（x2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法【专题】配方法【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二
11、次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数【解答】解：x24x=5，x24x+4=5+4，（x2）2=9故选D【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用7已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k1=0根的存在情况是（）A没有实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D无法确定【考点】根的判别式；一次函数图象与系数的关系【分析】先根据函数y=kx+b的图象可得；k0，再根据一元二次方程x2+x+k1=0中，=1241（k1）=54k0，即可得出答案【解答】解：根据函数y=kx+b的图象可得；k0，b0，则一元二次方程x2
12、+x+k1=0中，=1241（k1）=54k0，则一元二次方程x2+x+k1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根，故选：C【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点是一次函数图象的性质，关键是根据函数图象判断出的符号8在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）Ax（x1）=10B =10Cx（x+1）=10D =10【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】其他问题；压轴题【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x1）次，x人共需握手x（x1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；
13、已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x1（次）；依题意，可列方程为： =10；故选B【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制9某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m设游泳池的长为xm，则可列方程（）Ax（x10）=375Bx（x+10）=375C2x（2x10）=375D2x（2x+10）=375【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】几何图形问题【分析】如果设游泳池的长为xm，那么宽可表示为（x10）m，根据面积
14、为375，即可列出方程【解答】解：设游泳池的长为xm，那么宽可表示为（x10）m；则根据矩形的面积公式：x（x10）=375；故选A【点评】本题可根据矩形面积=长宽，找出关键语来列出方程10如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出33个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A32B126C135D144【考点】一元二次方程的应用【专题】压轴题【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数
15、即可【解答】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）=192，解得：x1=8，x2=24，（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144故选：D【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键二、填空题11一元二次方程x23=0的根为x1=，x2=【考点】解
16、一元二次方程-直接开平方法【分析】直接解方程得出答案，注意用直接开平方法【解答】解：x23=0，x2=3，x=，x1=，x2=故答案为：x1=，x2=【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，题目比较典型，是中考中的热点问题12如果（x2+y2）（x2+y22）=3，则x2+y2的值是3【考点】换元法解一元二次方程【专题】换元法【分析】先设x2+y2=t，则方程即可变形为t（t2）=3，解方程即可求得t即x2+y2的值【解答】解：设x2+y2=t（t0）则原方程可化为：t（t2）=3，即（t3）（t+1）=0，t3=0或t+1=0，解得t=3，或t=1（不合题意，舍去）；故答案是：3【点评】本
17、题考查了换元法解一元二次方程解答该题时需注意条件：x2+y2=t且t013已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0两个实数根，则的值为10【考点】根与系数的关系【分析】根据=，根据一元二次方程根与系数的关系可得：两根之积与两根之和的值，代入上式计算即可【解答】解：x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，x1+x2=6，x1x2=3又=，将x1+x2=6，x1x2=3代入上式得原式=10故填空答案为10【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法14已知x1，x2是方程x22x1=0的两个根，则+等于2【考点】根与系数的关系【专题】计算题【分析】根据一元二
18、次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=1，然后变形+得，再把x1+x2=2，x1x2=1整体代入计算即可【解答】解：x1，x2是方程x22x1=0的两个根，x1+x2=2，x1x2=1，+=2故答案为2【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=也考查了一元二次方程的根的判别式15若x1，x2是方程3x2|x|4=0的两根，则=【考点】根与系数的关系【分析】首先假设x0或x0分别讨论，再利用所求根代入得出即可【解答】解：当x0，则3x2|x|4=0，可变形为：3x2x4
19、=0，解得：x1=，x2=1（不合题意舍去），当x0，则3x2|x|4=0，可变形为：3x2+x4=0，解得：x1=，x2=1（不合题意舍去），则=，故答案为：【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及一元二次方程的解法，根据已知利用分类讨论得出是解题关键16为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为10%【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】降低后的价格=降低前的价格（1降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是60（1x），那么第二次后的价格是60（1x）2，即可列出方程求解【解答】解：设平
20、均每次降价的百分率为x，依题意列方程：60（1x）2=48.6，解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）故平均每次降价的百分率为10%【点评】本题比较简单，考查的是一元二次方程在实际生活中的运用，属较简单题目三、解答题（共52分）17解下列方程：（1）2x24x5=0（2）x24x+1=0（3）（y1）2+2y（1y）=0【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法【专题】计算题【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程；（2）先利用配方法得到（x2）2=3，然后利用直接开平方法解方程；（3）先变形得到（y1）22y（y1）=0，然
21、后利用因式分解法解方程【解答】解：（1）=（4）242（5）=56，x=，所以x1=，x2=；（2）x24x+4=3，（x2）2=3，x2=，所以x1=2+，x2=2；（3）（y1）22y（y1）=0，（y1）（y12y）=0，y1=0或y12y=0，所以y1=1，y2=1【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）也考查了配方法和公式法解一元二次方程18试说明不论x，y取
22、何值，代数式x2+y2+6x4y+15的值总是正数【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方【分析】此题考查了配方法求最值，此题可化为2个完全平方式与一个常数的和的形式【解答】解：将原式配方得，（x2）2+（y+3）2+2，它的值总不小于2；代数式x2+y2+6x4y+15的值总是正数【点评】此题考查了配方法的应用，解题的关键是认真审题，准确配方19已知实数，满足a2+a2=0，求的值【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法【专题】计算题【分析】先解关于a的一元二次方程，求出a的值，并把所给的分式化简，然后把a的值代入化简后的式子计算就可以了【解答】解：原式=，a2+a2=0，a1=
23、1，a2=2，a1=1时，分母=0，a1=1（舍去），当a2=2，原式=2【点评】这是关于分式化简求值的问题，注意解出a的值必须保证分式有意义，才能代入计算20在实数范围内定义一种新运算“”，其规则为：ab=a2b2，根据这个规则：（1）求43的值；（2）求（x+2）5=0中x的值【考点】解一元二次方程-直接开平方法【专题】新定义【分析】（1）根据规则为：ab=a2b2，代入相应数据可得答案；（2）根据公式可得（x+2）5=（x+2）252=0，再利用直接开平方法解一元二次方程即可【解答】解：（1）43=4232=169=7；（2）由题意得（x+2）5=（x+2）252=0，（x+2）2=25
24、，两边直接开平方得：x+2=5，x+2=5，x+2=5，解得：x1=3，x2=7【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a0）的形式，利用数的开方直接求解21已知关于x的方程2x2mx2m+1=0的两根x1，x2，且x12+x22=，试求m的值【考点】根与系数的关系【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为（x1+x2）22x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果【解答】解：x1、x2是一元二次方程2x2mx2m+1=0的两个
25、实数根，x1+x2=m，x1x2=（2m+1），x12+x22=（x1+x2）22x1x2=，m22（2m+1）=，解得：m1=3，m2=11，又方程x2mx+2m1=0有两个实数根，=m242（2m+1）0，当m=11时，=730，舍去；故符合条件的m的值为m=3【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题22如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的
26、边长【考点】一元二次方程的应用【专题】几何图形问题【分析】（1）边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可【解答】解：（1）ab4x2；（2）依题意有：ab4x2=4x2，将a=6，b=4，代入上式，得x2=3，解得x1=，x2=（舍去）即正方形的边长为【点评】本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解23某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下若每千克涨价1元，日销售量
27、将减少20千克（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用【分析】（1）关键是根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值（2）根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值【解答】解：（1）设每千克应涨价x元，由题意，得（10+x）（50020x）=6000，整理，得 x215x+50=0，解得：x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5（2）设涨价x元时总利润为y，由题意，得y=10+x）（50020x）y=20x2+300x+5 000y=20（x7.5）2+6125当x=7.5时，y取得最大值，最大值为6125元答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多为6125元【点评】考查了二次函数的应用，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=x22x+5，y=3x26x+1等用配方法求解比较简单第16页（共16页）
