1、大学生校园网VvSchool.CN 线性代数 综合测试题大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1. 若，则_。2若齐次线性方程组只有零解，则应满足 。 3已知矩阵，满足，则与分别是 阶矩阵。4矩阵的行向量组线性 。5阶方阵满足，则 。二、判断正误（正确的在括号内填“”，错误的在括号内填“”。每小题2分，共10分）1. 若行列式中每个元素都大于零，则。（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（ ）4. ，则。（ ）5. 若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。 ( )三、单项
2、选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设为阶矩阵，且，则（ ）。 42. 维向量组 （3 s n）线性无关的充要条件是（ ）。 中任意两个向量都线性无关 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。 任意个维向量线性相关 任意个维向量线性无关 任意个 维向量线性相关 任意个 维向量线性无关4. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 若，均可逆，则可逆 若，均可逆，则 可逆 若可逆，则 可逆 若可逆，则 ，均可逆5. 若是线性方程组的基础解系，则是的（ ） 解向
3、量 基础解系 通解 A的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分)1. 计算行列式。解2. 设，且 求。解. ，3. 设 且矩阵满足关系式 求。4. 问取何值时，下列向量组线性相关？。5. 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。7. 设，求的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7分)若是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵。大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5 2. 3. 4. 相关 5. 二、判断正误
4、1. 2. 3. 4. 5. 三、单项选择题1. 2. 3. 4. 5. 四、计算题1. 2. ，3. 4. 当或时，向量组线性相关。5. 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6. 则 ，其中构成极大无关组，7. 特征值，对于11，特征向量为五、证明题， 一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（ ）(A)或; (B)； （C）或; (D)。2、和均为阶矩阵，且，则必有（ ）(A) ； (B)； （C） . (D) 。3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（ ）(A)
5、的列向量线性无关； (B) 的列向量线性相关；（C） 的行向量线性无关； (D) 的行向量线性相关.4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（ ）(A) 的秩小于； (B) ；(C) 的特征值都等于零； (D) 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则= 。6、为阶矩阵，且，则 。7、已知方程组无解，则 。8、二次型是正定的，则的取值范围是 。三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式10、计算阶行列式四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明：
6、(1) 能有线性表出；(2) 不能由线性表出。12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。证明（1） ；（2） 。 五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。14、已知方程组与方程组有公共解。求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空题5、-125; 6、； 7、-1； 8、。三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：第二列减第一列，第四列减第三列得： （4分）按第一行展开得按
7、第三列展开得。 （4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式 （4分） （4分）四、证明题11、证明：(1)、 因为线性无关，所以线性无关。，又线性相关，故能由线性表出。 (4分)，（2）、（反正法）若不，则能由线性表出，不妨设。由（1）知，能由线性表出，不妨设。所以，这表明线性相关，矛盾。 12、证明 （1） （4分）（2）由（1）得：，代入上式得 （4分）五、解答题13、解：（1）由得的特征值为，。 （4分）（2）的特征向量为，的特征向量为，的特征向量为。 （3分）（3）因为特征值不相等，则正交。 （2分）（4）将单位化得， （2分）（5
8、）取（6） （1分）14、解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为因，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。 （5分）另一方面，记向量，则直接计算得，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为，。 （7分）15、解：将与联立得非齐次线性方程组: 若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵作初等行变换得: . （4分）1当时，有，方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解，此时，则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: ,所以与的全部公共解为，k为任意常数. （4分）2 当时，
9、有，方程组有唯一解, 此时，故方程组的解为:, 即与有唯一公共解. （4分）线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共28分)一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，则A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（
10、） A. A =0B. BC时A=0 C. A0时B=CD. |A|0时B=C5.已知34矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全为0的数1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有
11、r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.1+2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A.如存在数和向量使A=，则是A的属于特征值的特征向量 B.如存在数和非零向量，使(E-A)=0，则是A的特征值 C.A的2个不同
12、的特征值可以有同一个特征向量 D.如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，则1，2，3有可能线性相关11.设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k3B. k312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1B.|A|必为1 C.A-1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.B. C.D.第
13、二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15. .16.设A=，B=.则A+2B= .17.设A=(aij)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .19.设A是34矩阵，其秩为3，若1，2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它
14、的通解为 .20.设A是mn矩阵，A的秩为r(n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量、的长度依次为2和3，则向量+与-的内积（+，-）= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .23.设矩阵A=，已知=是它的一个特征向量，则所对应的特征值为 .24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.设A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.26.试计算行列式.27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.
15、28.给定向量组1=，2=，3=，4=.试判断4是否为1，2，3的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1，2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）1=0+1，2=0
16、+2均是Ax=b的解； （2）0，1，2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15. 6 16. 17. 4 18. 10 19. 1+c(2-1)（或2+c(2-1)），c为任意常数20. n-r 21. 5 22. 2 23. 1 24. 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）ABT=.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=. 所以|4A|=64（-2）=-12826.解 =27
17、.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，组合系数为（2，1，1）.解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A的属于特征值=1的2个线
18、性无关的特征向量为1=（2，-1，0）T， 2=（2，0，1）T. 经正交标准化，得1=，2=.=-8的一个特征向量为 3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=. 对角矩阵 D=（也可取T=.）31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设，即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2 .33.证 由假设A0=b，A1=0，A2=0.（1）A1=A（0+1）=A0+A1=b，同理A2= b， 所以1，2是Ax=b的2个解。（2）考虑l00+l11+l22=0， 即 （l0+l1+l2）0+l11+l22=0.则l0+l1+l2=0，否则0将是Ax=0的解，矛盾。所以l11+l22=0. 又由假设，1，2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .所以0，1，2线性无关。共3页第21页
