1、2023CEE-02数学2023CEE-02数学重 庆 缙 云 教 育 联 盟重 庆 缙 云 教 育 联 盟2023 年高考第二次诊断性检测2023 年高考第二次诊断性检测数学试卷数学试卷考生须知：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设1A、2A
2、、3A、L、7A是均含有2个元素的集合，且17AA，11,2,3,6iiAAi，记1237BAAAA，则B中元素个数的最小值是（）A5B6C7D82任给2,0u，对应关系f使方程20uv的解v与u对应，则()vf u是函数的一个充分条件是（）A 4,4v B4,2v C 2,2v D4,2v 3将一个顶角为 120的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作如果这个操作过程无限继续下去，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的 Koch 曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为 1，则经过 4
3、次操作之后所得图形的面积是（）A1681B2081C827D10274设 m，2,1,0,1,2,3n，曲线 C：221mxny，则下列说法正确的为（）A曲线 C 表示双曲线的概率为15B曲线 C 表示椭圆的概率为16C曲线 C 表示圆的概率为110D曲线 C 表示两条直线的概率为155数列nF满足121FF，*21nnnFFFnN，现求得nF的通项公式为151522nnnFAB，,A BR，若 x表示不超过x的最大整数，则8152的值为（）A43B44C45D466等额分付资本回收是指起初投资 P，在利率 i，回收周期数 n 为定值的情况下，每期期末取出的资金 A为多少时，才能在第 n 期期
4、末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为：(1)(1)1nniiAPi.某农业种植公司投资 33 万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为 10%，若每年年底回笼资金 8.25 万元，则该公司将至少在（）年内能全部收回本利和.（lg111.04，lg50.70，lg30.48）A4B5C6D77 已知向量,a b 的夹角为 60，22ab，若对任意的1x、2x(,)m，且12xx，122112112x nxx nxabxx，则m的取值范围是（）A3e,Be,C1,eD1,ee8设实数1,xyR，e 为自然对数的底数，若e lneeyyxxy，则（）Ae lneyx Be lneyx
5、CeeyxDeeyx二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 2 分。9下列关于复数的四个命题正确的是（）A若2z，则4z zB若72i3iz，则z的共轭复数的虚部为 1C若1 i1z ，则1 iz 的最大值为 3D若复数1z，2z满足12z，22z，1213izz，则122 3zz10设()f x是定义域为R的奇函数，且(22)yfx的图象关于直线2x 对称，若0 x时，()eecosxxf xx，则（）A()f x 为偶函数B()f x在,2上单调递减C()f x在区间
6、0,2023上有 4046 个零点D20231()1 ekf k 11“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一全国各地的粽子包法各有不同如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为3cm2，高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽 现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为6cm的半球的体积，则（）（参考数据：24.44）A这两碗馅料最多可包三角粽 35 个B这两碗馅料最多可包三角粽 36 个C这两碗馅料最多可包竹筒粽 21 个D这两碗馅料最多可包竹筒粽 20 个12设xR，当11Z22nxnn时，规定xn，如1.21，4.5
7、4 则（）A,Rababa bB*2Nnnn nC设函数sincosyxx的值域为 M，则 M 的子集个数为 32D*11112111N22222nxxxxnxnnnn三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13用 09 十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位十位百位的数字之和等于 9 的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有_个14椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经
8、过两个焦点，长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为_.15已知对任意的实数 a 均有223sin4cossincosfafaaa成立，则函数 fx的解析式为_16将横坐标与纵坐标均为整数的点称为格点.已知nN，将约束条件023xyxn表示的平面区域内格点的个数记作nS，若2limnnSanbn，则ab_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17王先生今年初向银行申请个人住房贷款 100 万元购买住房，月利率为0.3%，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分 10 年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：等额本金
9、：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还 15000 元，最后一个还贷月应还 6500 元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为 23000 元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据1191.0031.428，1801.0031.433，1211.0031.43718由mn个小正方形构成长方形网格有m行和n列.每次将一
10、个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为p，放红球的概率为 q，1pq.(1)若2m，12pq，记y表示 100 轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：n12345y7656423026求 y 关于 n 的回归方程ln ybna，并预测10n 时，y 的值；（精确到 1）(2)若2m，2n，13p，23q，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：111nmmnpq.附：经验回归方程系数：1221kiiikiix ykx ybxkx，aybx，51ln53ii
11、iny，ln3.8y.19正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：sin 2V tAft，其中 V t表示正弦信号的瞬时大小电压 V（单位：V）是关于时间 t（单位：s）的函数，而0A表示正弦信号的幅度，f是正弦信号的频率，相应的1Tf为正弦信号的周期，为正弦信号的初相由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电
12、阻值分别为1R，2R，3R，4R（单位：）1V t和 2Vt是两个输入信号，0Vt表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，0Vt与 1V t和 2Vt的关系为：2112431201R V tR VtRVtRRR例如当12341RRRR，输入信号 1sinV tt，2cosVtt时，输出信号：011 sin1 cos1sincos11 1ttVttt(1)若12341RRRR，输入信号 1sinV tt，2cosVtt，则 0Vt的最大值为？(2)已知21R ，32R ，43R ，输入信号 1sin6V tt，2cos3Vtt 若 0sin3VtAt（其中0A），则1R？(3)已知31R ，41
13、R ，2101RR，且 1sinV tt，2cos2Vtt若 0Vt的最大值为32，则满足条件的一组电阻值1R，2R分别是？20已知抛物线C：24 3yx的焦点为F，准线与x轴交于点 A(1)过点F的直线l交C于,P Q两点，且8 3PQ，求直线l的方程；(2)作直线,AM FM相交于点M，且直线AM的斜率与直线FM的斜率的差是14，求点M的轨迹方程，并说明方程表示什么形状的曲线.21如图，在圆台1OO中，11,AB AB分别为上、下底面直径，且11/ABAB，112ABAB，1CC为异于11,AA BB的一条母线(1)若M为AC的中点，证明：1/C M平面11ABB A；(2)若13,4,3
14、0OOABABC，求二面角1AC CO的正弦值22已知函数1()ln(1)f xaxxa，()exg xx(1)若不等式1()2f xa恒成立，求a的取值范围；(2)若1a 时，存在 4 个不同实数1x，2x，3x，4x，满足1234fxfxg xg x，证明：2143xxxx2023CEE-02数学2023CEE-02数学重 庆 缙 云 教 育 联 盟重 庆 缙 云 教 育 联 盟2023 年高考第二次诊断性检测2023 年高考第二次诊断性检测数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准1-8 AAABDCAC【7 题解析】已知向量,a b 的夹角为 60，22ab，则1cos602 112
15、a bab ，所以22222444442ababaa bb，所以对任意的1x、2x(,)m，且12xx，1221121n1n2xxxxxx，则1221121n1n22xxxxxx，所以2121211n1n22xxxxxx，即21211n2ln2xxxx，设 ln2xfxx，即 f x在,m 上单调递减，又0,x时，23ln0 xfxx，解得3ex，所以30,ex，()0fx，f x在30,ex上单调递增；3e,x，0fx，f x在3e,x上单调递减，所以3em.故选：A.【8 题解析】由e lneeyyxxy，可得e lneeeyyyxyxy（-1），两边同除e得：111lneenelyyyx
16、xy（-1）=，可设函数()lng xxx，()1 lng xx，当1ex 时，()0g x，故()g x单调递增，当1ex0 时，()0g x，故()g x单调递减，()g x图像如上图所示，因为1x，1(1)0()(e)ygg xg，故1e1y由11lnlneeyyxx可得1()(e)yg xg，所以1eyx，整理得得eeyx.9.ACD10.AB11.AC12.BCD【11 题解析】对于 A 中，例如0.61,0.61 ，则0.60.61.21,0.60.62 ，可得0.60.60.60.6 ，所以 A错误；对于 B中，由22211()42nnnnn，所以212nnn，所以212nnnn
17、，所以2nnn，所以 B 正确；对于 C 中，因为1sin11cos1xx ，可得sin1,0,1cos1,0,1xx ，当53,0444x 时，可得sincos2,1,0,1,2yxx，即函数sincosyxx的值域为2,1,0,1,2M ，所以集合M的子集个数为5232，所以 C 正确；对于 D 中，设 1111211122222nf xxxxxnxnnn，若Nn，可得anan，所以11122xx，11122nxnx，则 11111()1 102222f xf xxxnxnxn ，所以 f x的周期为1n，又当10 xn时，可得111112222xn，此时102x；111112112222
18、2xnnn，此时1102xn；1111112222nnxnn，此时1102nxn；111222nx，此时102nx，所以 0fx 1(0)xn，结合周期为1n，即 fx恒为0，所以 D 正确.【12 题解析】结合特例，可判定 A 错误；结合212nnnn，可判定 B 正确；结合正弦、余弦函数的值域，得到sincosyxx的值域为2,1,0,1,2M ，可判定 C 正确；设 1111211122222nf xxxxxnxnnn，得到 fx的周期为1n，证得 fx恒为0，可判定 D 正确.134514152 15 42,1,1f xxxx 16.32【15 题解析】由223sin4cossinco
19、sfafaaa，得223sin4cossincos2222fafaaa，即223cos4sinsincosfafaaa，43得：227cos7sincosfaaa，所以2222cossincos1coscosfaaaaa ，令cos,1,1xa x，则22cos ax，所以 22421,1,1fxxxxxx .【16 题解析】作出023xyxn的可行域，如图所示，该区域为一个等腰三角形，其中x轴上的格点有21n+个，y轴上的格点有31n个，则坐标轴上的格点有81n 个，在第一象限内，直线332yxn 上的点(,)(2,3)P x y xn yn，由格点的定义,xN yN，设2(,1)xt tN
20、tn，则33yntN，故第一象限内，2(,1)xt tNtn 时，格点有3()ynt个，设21(,1)xttNtn，则33()2yntN由可行域，已经格点的定义可知，第一象限内，21(,1)xttNtn 时，格点有3()1ynt个，所以第一象限内的格点一共有1113()3()16()1nnntttntntnt2(1)6322n nnnn，根据可行域的对称性可知，第四象限的格点数也为232nn，故可行域内格点数222(32)81641()nSnnnnnnN 又2limnnSanbn，6,4ab，即32ab17.（1）由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列 na，nS表示数列
21、na的前n项和.则112015000,6500aa，故12015000650012012900002S.故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000 元.（2）设王先生每月还货额为x元，则有12119120(1 0.003)(1 0.003)(1 0.003)1000000(1 0.004)xxxx，即1201201 1.0031000000(1 0.003)1 1.003x，故1201201000000(10.003)0.00399281.0031x.因为1992823000115002，故王先生该笔贷款能够获批.18.（1）由题意知1 234535n,故1215
22、2ln5ln535 3 3.840.45545105iiiniinynybnn ，所以3.80.4 35a ，所以线性回归方程为：ln0.45 yn，所以，估计10n 时，ln1,e3yy.（2）由题意知：2m，2n，13p，23q，则 X 的取值可能为0,1,2，记“含红球的行数为 k”为事件,(0,1,2)kAk，记“每列都有白球”为事件 B，所以40022()1(0)(|)()251P A BP XP ABP Bqp，13122142122()CC16(1)(|)()251P ABp qp qP XP A BP Bq，1222222()C()8(2)(|)()251P A BpqP XP
23、 ABP Bq，所以 X 的分布列为：X012P1251625825所以数学期望为161832()01225252525E X .（3）证明：因为每一列至少一个红球的概率为1nmp,记“不是每一列都至少一个红球”为事件 A，所以()1(1)mnP Ap，记“每一行都至少一个白球”为事件 B，所以 1mnP Bq，显然，AB，所以 P AP B，即1(1)1mnmnpq，所以(11)1mnmnpq.19.（1）由题意得，011 sin1 cos1sincos2sin11 14ttVtttt，则 0Vt的最大值为2；（2）由题意知，111 sincos363sin1321tRtAtR，整理得111
24、33531sincossincoscossin22212222RRAAttttttR，即115 3 135sincossincos22414RAAttttR，则115 3 12413524RARA，解得112R；（3）由题意得，2212112120sincos2121sin12sin1RtRtVtRtRtRRRR2222211111221122122s2ss8innini842RRtRtRRRRRRRRtRR，又2101RR，则2110,44RR，当21sin4tRR时，0Vt取得最大值122212122121221284884RRRRRRRRRR，则1221122284243RRRR R，整
25、理得122122206R RRR，即22121260RRRR，解得2137RR，又2101RR，则2137RR，取121,37RR即满足题意，则121,37RR（答案不唯一）.20.（1）由题意，3,0F，当直线l斜率不存在时，3,2 3P，3,2 3Q，所以4 3PQ，不符合题意.当直线斜率存在时，设直线l为3yk x，11,P x y，22,Q xy，联立234 3yk xyx，得22222 34 330k xkxk，所以212222 34 34 32 3kxxkk所以1224 32 34 38 3PQxxk，解得1k ，直线l的方程为30 xy（2）抛物线的准线为3x ，与x轴交于点3,
26、0A 设点,M x y，由题意14AMFMkk，则1433yyxx，化简得28 333xyx，方程表示一条除去了,A F两点的抛物线.21.（1）如图，连接11AC 因为在圆台1OO中，上、下底面直径分别为11,AB AB，且11/ABAB，所以111,AA BB C C为圆台母线且交于一点 P，所以11,A A C C四点共面.在圆台1OO中，平面/ABC平面111ABC，由平面11AACC平面ABCAC，平面11AACC平面11111ABCAC，得11/ACAC.又1111,/2/ABAB ABAB，所以11112PAABPAAB，所以1112PCPAPCPA，即1C为PC中点在PAC中，
27、又 M 为AC的中点，所以11/C MAA 因为1AA 平面11ABB A，1C M 平面11ABB A，所以1/C M平面11ABB A；（2）以O为坐标原点，1,OB OO分别为,y z轴，过 O 且垂直于平面11ABB A的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz因为30ABC，所以60AOC则1(0,2,0),(3,1,0),(0,0,3)ACO因为(310)OC,，所以11311(,0)222OCOC,所以131322C,，所以131322C C ,设平面1OCC的法向量为1111(,)nx y z，所以11100n OCn C C ，所以1111130313022xyxyz
28、，令11x，则113,0yz，所以1(1,3,0)n ，又(3,1,0)AC，设平面1ACC的法向量为2222(,)nxy z，所以22100nACnC C ，所以2222230313022xyxyz，令21x，则2233,3yz，所以23(1,3,)3n ，所以12121231 1330393cos,13113133nnn nn n 设二面角1MC CO的大小为，则1239coscos,13n n ，所以2130sin1cos13 所以二面角1MC CO的正弦值为13013.22.（1）由题易知0a，1()111aaaxfxaxax ，当a0，函数()f x定义域为1,a，11(0)02fa
29、a，不合题意，舍去；当0a，函数()f x定义域为1,a，由()0fx，解得11xa，当111xaa，()0fx，即()f x在区间11,1aa单调递增，当11xa，()0fx，即()f x在区间11,a单调递减，max11ln1ffaa，即1ln12aa，设函数1()ln1h aaa，0a，211()0h aaa，即()h a在(0,)单调递增，又因为(1)0h，故01a时，()0h a 成立，即1ln12aa 成立，故a的取值范围是(0,1（2）当1a，()ln(1)1f xxx，设函数()lnF xxx，0 x，1()1F xx，易知(0,1)x，()0F x，()F x单调递增，(1,)x，()0F x，()F x单调递减，不妨令1234fxfxg xg xm，由12fxfxm，即1211FxFxm，又因为()elneexxxg xx，34g xg xm，故3344lneelneexxxxm，即34eexxFFm，由函数()F x单调性可知，方程()F xm至多有两解，故不妨令311exx，421exx，两式相减得3421eexxxx，由34g xg xm，得3434e,exxxmxm，故34214343eexxxxxmxmxx，问题得证
