1、一诊模拟考试数学试卷详解（理科）一、选择题：1. 【解析】由，则，所以 选C2. 【解析】由得，所以，由得，所以，所以. 选D3. 【解析】方法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以(2,2)，(2,1)，(2,2)由，得(2,2)(2,1)(2,2)，即(2,2)(22，2)，所以解得所以. 方法二：因为()()()()()()，所以得所以.故选B4. 【解析】由题意，可得，所以，解得或，因为，所以舍去，只有符合题意，所以 选B5. 【解析】据图求可以看出，产品的销售额的波动较大，产品的销售额的波动较小
2、，并且产品的销售额只有两个月的销售额比25万元稍小，其余都在25万元至30万元之间，所以产品的销售额的极差较大，中位数较小，产品的销售的平均值较大，销售的波动较小， 选B6. 【解析】侧视图中能够看到线段，应画为实线，而看不到，应画为虚线由于与不平行，投影为相交线， 选B7. 【解析】函数的图象向左平移个单位长度后得函数解析式为，它的图象关于轴对称，则，又，所以，周期为，极大值点为，与最接近的极大值点是，的最小值是 选A8. 【解析】 ,从而,解得 选A9. 【解析】因为，公比为正数显然不为1，所以，解得，,所以，则，要使，则，解得，故n的最大值为12. 选C10. 【解析】因为，由可得.又，
3、因为平面，该棱锥的体积为1，所以，设外接圆的半径为，则，所以球的半径球的表面积 选D11. 【解析】设点,圆圆心为,半径为, 要保证取得最小值 根据图像可知应: 又 故 令 ， 由二次函数可知:当时,取得最小 的最小值为:. 选B12. 【解析】对于的大小：，明显；对于的大小：构造函数，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，即对于的大小：， 故选B二、填空题：13. 【解析】作出可行域，得到14. 【解析】由题先考虑两篇文章可在第一和第三，或者第一和第四，或者第二和第四三种情况，且文章之间有顺序，故总共为15. 【解析】得，则16. 【解析】令，变形得：，令，得，故，当，在上单调递增；当
4、，在上单调递减，且，故在时有最大值.当有唯一根或无解时，原方程最多两解，不符题意；当有两根时，或，规定，要使原方程有三个解，则直线，与的交点恰有三个，即转化为的两根，则，解得. 故答案为：.三、解答题： 17.（本小题满分12分）【解析】（）中，角，的对边分别是.由已知，得，即，由，6分（），.设的周长为，则，故周长的最大值为12分18.（本小题满分12分）【解析】（）设的中点为，连接. 又为的重心 又平面.5分（）设为的中点，为正三角形，则平面平面,平面平面，过分别作的平行线，建系如图：.7分,易知平面的法向量，设平面的法向量分别为 得 .10分11分从而，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
5、12分19.（本小题满分12分）【解析】（）由表格中的数据，所以，所以可见模型的相关指数小于模型的相关指数所以回归模型的拟合效果更好2分所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为（亿元）.3分（）当时，由已知可得，所以5分所以当时，y与x满足的线性回归方程为当时，科技升级直接收益的预测值为亿元当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大.8分（）因为，所以 ；所以（元）.12分20.（本小题满分12分）【解析】（）依题意可得：.3分（）圆M过A的切线方程可设为l：，代入椭圆C的方程得：，可得；同理可得 .5分由圆M与l相切得：由韦达定理得：.6分所以直线B
6、D的斜率 9分直线BD的方程为：化简为：，即.11分所以，当变化时，直线BD总过定点12分21（本小题满分12分）【解析】（），令，则.当时，为增函数，；当时，.故时，为增函数，故，即的最小值为15分（）令，则本题即证当时，恒成立.当时，由（1）可知在上为增函数，且，故存在唯一，使得.则当时，为减函数，所以，此时，与恒成立矛盾.7分当时，（i）若，则由（1）可知，所以为增函数，故恒成立，即恒成立；8分（ii）若，则，在上为增函数，又，故存在唯一，使得.当时，为减函数；时，为增函数.又，故存在唯一使得.故时，为增函数；时，为减函数.又，所以时，为增函数，故，即恒成立11分综上所述，.12分22（本小题满分10分）【解析】（）曲线的参数方程为（为参数），所以消去参数得曲线的普通方程为，因为，代入曲线可得的极坐标方程：.将直线，代入圆的极坐标方程可知:， 故，两点的极坐标为，.5分（）由，得：，所以的极坐标方程为：.所以的极坐标方程为.可知直线恰好经过圆的圆心，故为直角三角形，且，故.10分23（本小题满分10分）【解析】（）由题意知，原不等式等价于或或，解得或或，综上所述，不等式的解集为.5分（）当时，则 ，此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意：当时， ，则函数在上单调递减，在上单调递增.要使函数的图象与轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数的取值范围为.10分8
