1、2 2017017 全国卷全国卷( (文科文科) ) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1已知集合 A1，2，3，4，B2，4，6，8)，则 AB 中元素的个数为( ) A1 B2 C3 D4 解析：A，B 两集合中有两个公共元素 2，4，故选 B 2复平面内表示复数 zi(2i)的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析：zi(2i)2ii212i，故复平面内表示复数 zi(2i)的点位于第三象 限，故选 C 3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年
2、1月至2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图，根据该折线图，下列 结论错误的是( ) A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 解析：由折线图可知，各年的月接待游客量从 8 月份后存在下降趋势，故选 A 4已知 sin cos 4 3，则 sin 2( ) A7 9 B 2 9 C 2 9 D 7 9 解析：将sin cos 4 3的两边进行平方，得sin 22sin cos cos216 9 ，即sin 2
3、7 9， 故选 A 5设 x，y 满足约束条件 3x2y60， x0， y0， 则 zxy 的取值范围是( ) A3，0 B3，2 C0，2 D0，3 解析：不等式组 3x 2y 60， x0， y0 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 l0：y x，平移直线 l0，当直线 zxy 过点 A(2，0)时，z 取得最大值 2，当直线 zxy 过点 B(0，3) 时，z 取得最小值3，所以 zxy 的取值范围是3，2，故选 B 6函数 f(x)1 5sin(x 3)cos(x 6)的最大值为( ) A6 5 B1 C 3 5 D 1 5 解析：因 cos(x 6)cos(x 3) 2sin
4、(x 3)，故 f(x) 6 5sin(x 3)，于是 f(x)的最大值为 6 5， 故选 A 7函数 y1xsin x x2 的部分图象大致为( ) 解析：易知函数 g(x)xsin x x2 是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数 y1xsin x x2 的图象只需把 g(x)的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选 D 8执行如图所示的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为( ) A5 B4 C3 D2 解析：当输入的正整数 N 是所给选项中最小的正整数 2 时，t1，M100，S0，则第一次 循环，S0100100，M100 10 10，t2；第二次
5、循环，S1001090，M10 10 1，t3，此时 t2 不成立，输出 S9091故选 D 9已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体 积为( ) A B3 4 C 2 D 4 解析：球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的1 2，球的半径为 1，则圆柱底面圆的半径 r 11 2 2 3 2 ，故该圆柱的体积 V( 3 2 )213 4 ，故选 B 10在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( ) AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC 解析：由正方体的性质，得 A1B1BC1，B1CBC1，所以 BC1平面
6、A1B1CD，又 A1E平面 A1B1CD，所以 A1EBC1，故选 C 11已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1、A2，且以线段 A1A2为直径的圆 与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为( ) A 6 3 B 3 3 C 2 3 D1 3 解析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0，0)，半径为a由题意，圆心到直线bx ay2ab0 的距离为 2ab a2b2a，即 a 23b2又 e21b 2 a2 2 3，所以 e 6 3 ，故选 A 12已知函数 f(x)x22xa(ex 1ex1)有唯一零点，则 a( ) A1 2 B 1
7、 3 C 1 2 D1 解析：由 f(x)x22xa(ex 1ex1)，得 f(2x)(2x)22(2x)ae2x1e(2x)1 x2 4x442xa(e1 xex1)x22xa(ex1ex1)，所以 f(2x)f(x)，即 x1 为 f(x)图象的 对称轴由题意，f(x)有唯一零点，所以 f(x)的零点只能为 x1，即 f(1)1221a(e1 1e11) 0，解得 a1 2故选 C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13已知向量 a(2，3)，b(3，m)，且 ab，则 m_ 解析：因为 ab，所以 a b233m0，解得 m2 14双曲线
8、x 2 a2 y2 91(a0)的一条渐近线方程为 y 3 5x，则 a_ 解析：因为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax，所以 a5 15ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 C60 ，b 6，c3，则 A _ 解析：由正弦定理，得 sin Bbsin C c 6sin 60 3 2 2 ，所以 B45 或 135 ，因为 bc，所以 BC，故 B45 ，所以 A75 16设函数 f(x) x1，x0， 2x，x0， 则满足 f(x)f(x1 2)1 的 x 的取值范围是_ 解析：当 x0 时，由 f(x)f(x1 2)(x1)(x
9、1 21)2x 3 21，得 1 4x0；当 0x 1 2 时，f(x)f(x1 2)2 x(x1 21)2 xx1 21，即 2 xx1 20，因为 2 xx1 22 001 2 1 2 0，所以0x1 2；当x 1 2时，f(x)f(x 1 2)2 x2x1 22 1 22 01，所以x1 2综上，x的取值范 围是(1 4，) 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 12 分)设数列an满足 a13a2(2n1)an2n (1)求an的通项公式； (2)求数列 an 2n1 的前 n 项和 解析：(1)因为 a13a2(2n 1)an2n，故当 n2 时，a
10、13a2(2n3)an12(n 1)两式相减得(2n 1)an2，所以 an 2 2n1(n2)又由题设可得 a12，符合上式，从而 an的通项公式为 an 2 2n1 (2)记 an 2n1的前 n 项和为 Sn由(1)知 an 2n1 2 2n12n1 1 2n1 1 2n1则 Sn 1 1 1 3 1 3 1 5 1 2n1 1 2n1 2n 2n1 18(本小题满分 12 分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经 验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25
11、，需求量为500瓶；如果 最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定 六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率
12、解析：(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知， 最高气温低于25的频率为21636 90 06，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估 计值为 06 (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y64504450 900；若最高气温位于区间20，25)，则 Y63002(450300)4450300；若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100所以，Y 的所有可能值为 900，300，100Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为36257
13、4 90 08，因此 Y 大于零的概率的估计值为 08 19(本小题满分 12 分)如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ADCD (1)证明：ACBD； (2)已知ACD 是直角三角形，ABBD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四 面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 解析： (1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO因为ADCD，所以ACDO又由于ABC是正 三角形，所以 ACBO又 DOBOO，从而 AC平面 DOB，故 ACBD (2)连接 EO由(1)及题设知ADC90 ，所以 DOAO在 RtAOB 中，BO2AO2 AB2又 ABBD，
14、所以 BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90 由题设知AEC 为 直角三角形，所以 EO1 2AC又ABC 是正三角形，且 ABBD，所以 EO 1 2BD故 E 为 BD 的 中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的1 2，四面体ABCE的体积为四面体ABCD 的体积的1 2，即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 11 20(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C 的坐标为(0，1)当 m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由 (2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得
15、的弦长为定值 解析：(1)不能出现 ACBC 的情况，理由如下：设 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2满足 x2mx 20，所以 x1x22又 C 的坐标为(0，1)，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为1 x1 1 x2 1 2，所 以不能出现 ACBC 的情况 (2) 证明：BC 的中点坐标为(x2 2， 1 2)，可得 BC 的中垂线方程为 y 1 2x2(x x2 2)由(1)可得 x1 x2m，所以AB的中垂线方程为xm 2联立 xm 2 y1 2x2x x2 2， 又x22mx220，可得 xm 2， y1 2. 所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为(m 2， 1
16、 2)，半径 r m29 2 故圆在 y 轴 上截得的弦长为 2r2m 2 23，即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 法二 设过 A，B，C 三点的圆与 y轴的另一个交点为D，由 x1x22可知原点O 在圆内由相交 弦定理可得|OD|OC|OA|OB|x1|x2|2，又|OC|1，所以|OD|2，所以过 A，B，C 三点的圆 在 y 轴上截得的弦长为|OC|OD|3，为定值 21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ln xax2(2a1)x (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a0 时，证明 f(x) 3 4a2 解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)
17、1 x2ax2a1 x12ax1 x 若 a0，则当 x (0，)时，f(x)0，故 f(x)在(0，)单调递增若 a0，则当 x(0， 1 2a)时，f(x) 0；当 x( 1 2a，)时，f(x)0故 f(x)在(0， 1 2a)单调递增，在( 1 2a，)单调递减 (2)证明：由(1)知，当 a0 时，f(x)在 x 1 2a取得最大值，最大值为 f( 1 2a)ln( 1 2a)1 1 4a所以 f(x) 3 4a2 等价于 ln( 1 2a)1 1 4a 3 4a2，即 ln( 1 2a) 1 2a10设 g(x)ln x x1，则 g(x)1 x1当 x(0，1)时，g(x)0；当
18、 x(1，)时，g(x)0所以 g(x) 在(0，1)单调递增，在(1，)单调递减，故当 x1 时，g(x)取得最大值，最大值为 g(1)0所 以当 x0 时，g(x)0从而当 a0 时，ln( 1 2a) 1 2a10，即 f(x) 3 4a2 22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为 x2t， ykt， (t 为参数)，直线 l2的参数方程为 x2m， ym k， (m 为参数)设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C (1)写出 C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐
19、标系，设 l3：(cos sin ) 20，M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径 解析：(1)消去参数 t 得 l1的普通方程 l1：yk(x2)；消去参数 m 得 l2的普通方程 l2：y1 k(x 2)设 P(x，y)，由题设得 ykx2， y1 kx2. 消去 k 得 x2y2 4(y0)所以 C 的普通方程为 x2 y24(y0) (2)C 的极坐标方程为 2(cos2sin2)4(02，)联立 2cos2sin24 cos sin 20 得 cos sin 2(cos sin )故 tan 1 3，从而 cos 29 10，sin 21 10代入 2(cos2sin2)4 得
20、25，所以交点 M 的极径为 5 23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)|x1|x2| (1)求不等式 f(x)1 的解集； (2)若不等式 f(x)x2xm 的解集非空，求 m 的取值范围 解析：(1)f(x) 3，x2. 当 x1 时，f(x)1 无解；当1x2 时，由 f(x)1 得，2x11，解得 1x2；当 x2 时，由 f(x)1 解得 x2所以 f(x)1 的解集为 x|x1 (2)由 f(x)x2xm 得 m|x1|x2|x2x而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2 |x|(|x|3 2) 25 4 5 4，且当 x 3 2时，|x1|x2|x 2x5 4故 m 的取值范围为(， 5 4
