1、 20182018 上海上海 一、填空题一、填空题(本大题共有本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分分)考生应在答考生应在答 题纸的相应位置直接填写结果题纸的相应位置直接填写结果 1行列式的值为 2双曲线x 2 4y 21 的渐近线方程为 3在(1x)7的二项展开式中，x2项的系数为 (结果用数值表示) 4设常数 aR，函数 f(x)1og2(xa)若 f(x)的反函数的图象经过点(3，1)，则 a 5已知复数 z 满足(1i)z17i(i 是虚数单位)，则|z| 6记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a
2、30，a6a714，则 S7 7已知 2，1，1 2， 1 2，1，2，3，若幂函数 f(x)x 为奇函数，且在(0，)上递减， 则 8在平面直角坐标系中，已知点 A(1，0)、B(2，0)，E、F 是 y 轴上的两个动点，且|EF |2，则 AE BF的最小值为 9有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取 三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是 (结果用最简分数表示) 10 设等比数列an的通项公式为 anqn 1(nN*)， 前 n 项和为 S n 若 1 l i m + n n n a S 1 2， 则 q 11 已知常数 a0
3、， 函数 f(x) 2x 2xax的图象经过点 P(p， 6 5)， Q(q， 1 5) 若 2 pq36pq， 则 a 12已知实数 x1、x2、y1、y2满足：x12y121，x22y221，x1x2y1y21 2，则 2 2 |x1y11| 2 2 |x2 y21|的最大值为 二、选择题二、选择题(本大题共有本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分分)每题有且只有一个正确选项每题有且只有一个正确选项考生应在答题考生应在答题 纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13设 P 是椭圆x 2 5 y2 31 上的动点，则 P
4、到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A2 2 B2 3 C2 5 D4 2 14已知 aR，则“a1”是“1 a1”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 15 九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设 AA1是正六棱柱的 一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以 AA1为底面矩形的一边，则这样的阳 马的个数是( ) A4 B8 C12 D16 16设 D 是含数 1 的有限实数集，f(x)是定义在 D 上的函数，若 f(x)的图象绕原点逆时针旋转 6后与 原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是( ) A
5、 3 B 3 2 C 3 3 D0 三、解答题三、解答题(本大题共有本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2 (1)设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积； (2)设 PO4，OA、OB 是底面半径，且AOB90 ，M 为线段 AB 的中点，如图求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小 18设常数 aR，函数 f(x)asin2x2cos2x (1)若 f(x)为偶函数，求 a 的值； (2)若 f( 4) 31，求方程 f(x)1 2在区间
6、，上的解 19某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当 S 中 x%(0x100)的成员自驾时，自驾群 体的人均通勤时间为 f(x) 30， 0x30， 2x1 800 x 90， 30x0，所以 a6 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用 12已知实数 x1、x2、y1、y2满足：x12y121，x22y221，x1x2y1y21 2，则 2 2 |x1y11| 2 2 |x2 y21|的最大值为 【解答】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，OA (x1，y1)，OB
7、(x2，y2)，由 x12y121，x22y221，x1x2 y1y21 2，可得 A，B 两点在圆 x 2y21 上，且OA OB1 1 cosAOB1 2，即有AOB60 ， 即三角形 OAB 为等边三角形，AB1， 2 2 |x1y11| 2 2 |x2y21|的几何意义为点 A，B 两点到 直线 xy10 的距离 d1与 d2之和，显然 A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线 xy1 平行， 可设 AB：xyt0(t0)，由圆心 O 到直线 AB 的距离 d 2 2 t，可得 2 2 -1 2 t 1，解得 t 6 2 ， 即有两平行线的距离为 2 2 (1 6 2 )1 2( 2
8、3)，即 2 2 |x1y11| 2 2 |x2y21|的最大值为 2 3，故答案为： 2 3 【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系， 运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题 二、选择题二、选择题(本大题共有本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分分)每题有且只有一个正确选项每题有且只有一个正确选项考生应在答题考生应在答题 纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13设 P 是椭圆x 2 5 y2 31 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A2 2 B2
9、3 C2 5 D4 2 【解答】椭圆x 2 5 y2 31 的焦点坐标在 x 轴，a 5，P 是椭圆 x2 5 y2 31 上的动点，由椭圆的定义可 知：则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a2 5故选：C 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查 14已知 aR，则“a1”是“1 a1”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【解答】aR，则“a1”“1 a1” ， “ 1 a1”“a1 或 a0” ，故“a1”是“ 1 a1”的充 分非必要条件故选：A 【点评】 本题考查充分条件、 必要条件的判断， 考查不等式
10、的性质等基础知识， 考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题 15 九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设 AA1是正六棱柱的 一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以 AA1为底面矩形的一边，则这样的阳 马的个数是( ) A4 B8 C12 D16 【解答】根据正六边形的性质，则 D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意，而 C1，E1，C，D，E，和 D1一样，有 2 48，当 A1ACC1为底面矩形，有 4 个满足题意，当 A1AEE1为底面矩形，有 4 个 满足题意，故有 84416，故选：D 【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考
11、查了棱柱的特征，属于中档题 16设 D 是含数 1 的有限实数集，f(x)是定义在 D 上的函数，若 f(x)的图象绕原点逆时针旋转 6后与 原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是( ) A 3 B 3 2 C 3 3 D0 【解答】由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 6个单位后与下一 个点会重合我们可以通过代入和赋值的方法当 f(1) 3， 3 3 ，0 时，此时得到的圆心角为 3， 6，0，然而此时 x0 或者 x1 时，都有 2 个 y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y，因此只有当 x 3 2 ，此时旋转 6
12、，此时满足一个 x 只会对应一个 y，因此答案 就选：B 【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用 三、解答题三、解答题(本大题共有本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2 (1)设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积； (2)设 PO4，OA、OB 是底面半径，且AOB90 ，M 为线段 AB 的中点，如图求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小 【解答】(1)因圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4，故圆锥的
13、体积 V1 3 r2h1 32 22 38 3 3 (2)因 PO4，OA，OB 是底面半径，且AOB90 ，M 为线段 AB 的中点，故以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，P(0，0，4)，A(2，0，0)，B(0，2，0)， M(1，1，0)，O(0，0，0)，PM (1，1，4)，OB (0，2，0)，设异面直线 PM 与 OB 所成的角为 ，则 cos 2 6 故 arccos 2 6 故异面直线 PM 与 OB 所成的角的为 arccos 2 6 【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、
14、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 18(14 分)设常数 aR，函数 f(x)asin2x2cos2x (1)若 f(x)为偶函数，求 a 的值； (2)若 f( 4) 31，求方程 f(x)1 2在区间，上的解 【解答】(1)因 f(x)asin2x2cos2x，故 f(x)asin2x2cos2x，因 f(x)为偶函数，故 f(x)f(x)， 故asin2x2cos2xasin2x2cos2x，故 2asin2x0，故 a0； (2)因 f( 4) 31， 故 asin 22cos 2( 4)a1 31， 故 a 3， 故 f(x) 3si
15、n2x2cos 2x 3sin2x cos2x12sin(2x 6)1，因 f(x)1 2，故 2sin(2x 6)11 2，故 sin(2x 6) 2 2 ， 故 2x 6 42k， 或 2x 6 5 4 2k， kZ， 故 x 5 24k， 或 x 13 24k， kZ， 因 x ，故 x13 24 或 x 19 24 或 x 5 24 或 x 11 24 【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题 19某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当 S 中 x%(0x100)的成
16、员自驾时，自驾群 体的人均通勤时间为 f(x) 30， 0x30， 2x1 800 x 90， 30x100 (单位：分钟)，而公交群体的人均通 勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族 S 的人均通勤时间 g(x)的表达式；讨论 g(x)的单调性，并说明其实际意义 【解答】(1)由题意知，当 30x100 时，f(x)2x9040，即 x265x9000， 解得 x20 或 x45，故 x(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
17、(2)当 0x30 时， g(x)30x%40(1x%)40 x 10； 当 30x100 时， g(x)(2x 90)x% 40(1x%)x58；故 g(x)；当 0x325 时，g(x)单调递减；当 325x100 时，g(x)单调递增；说明该地上班族 S 中有小于 325%的人自驾时，人均通勤时间 是递减的；有大于 325%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为 325%时，人均 通勤时间最少 【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力 20设常数 t2在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F(2，0)，直线 l：xt，曲线 ：y28x(0x
18、 t，y0)l 与 x 轴交于点 A、与 交于点 B、P、Q 分别是曲线 与线段 AB 上的动点 (1)用 t 表示点 B 到点 F 的距离； (2)设 t3，|FQ|2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求 AQP 的面积； (3)设 t8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在 上？若存在，求点 P 的坐标； 若不存在，说明理由 【解答】(1)方法一：由题意可知：设 B(t，2 2t)，则|BF|t2，故|BF|t2； 方法二：由题意可知：设 B(t，2 2t)，由抛物线的性质可知：|BF|tp 2t2，故|BF|t2； (2)F(2，0)，|FQ|2，t3，则|
19、FA|1，故|AQ| 3，故 Q(3， 3)，设 OQ 的中点 D，D(3 2， 2 2 )， kQF 3，则直线 PF 方程：y 3(x2)，代入联立 y28x，整理得：3x220x120，解得： x2 3，x6(舍去)，故 AQP 的面积 S 1 2 3 7 3 7 3 6 ； (3)存在，设 P(1 8y 2，y)，E(1 8m 2，m)，则 k PF 16- 8 2 y y ，kFQ y y 8 -16 2 ，直线 QF 方程为 y y y 8 -16 2 (x 2)， 故 yQ y y 4 3-48 2 ， Q(8， y y 4 3-48 2 )， 根据FP FQ FE ， 则 E(
20、1 8y 26， y y 4 48 2 + )， 故( y y 4 48 2 + )2 8(1 8y 26)， 解得： y216 5 ， 故存在以 FP、 FQ 为邻边的矩形 FPEQ， 使得点 E 在 上， 且 P(2 5， 4 5 5 ) 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档 题 21给定无穷数列an，若无穷数列bn满足：对任意 nN*，都有|bnan|1，则称bn与an“接 近” (1)设an是首项为 1，公比为1 2的等比数列，bnan11，nN *，判断数列b n是否与an接近， 并说明理由； (2)设数列an的前四项为：a11，a2
21、2，a34，a48，bn是一个与an接近的数列，记集合 M x|xbi，i1，2，3，4，求 M 中元素的个数 m； (3)已知an是公差为 d 的等差数列， 若存在数列bn满足： bn与an接近， 且在 b2b1， b3b2， ， b201b200中至少有 100 个为正数，求 d 的取值范围 【解答】(1)数列bn与an接近理由：an是首项为 1，公比为1 2的等比数列，可得 an 1 2n 1，bn an11 1 2n1，则|bnan| 1 2n1 1 2n 1|1 1 2n1，nN *，可得数列b n与an接近； (2)bn是一个与an接近的数列，可得 an1bnan1，数列an的前四
22、项为：a11，a22，a3 4，a48，可得 b10，2，b21，3，b33，5，b47，9，可能 b1与 b2相等，b2与 b3相 等，但 b1与 b3不相等，b4与 b3不相等，集合 Mx|xbi，i1，2，3，4，M 中元素的个数 m 3 或 4； (3)an是公差为 d 的等差数列，若存在数列bn满足：bn与an接近，可得 ana1(n1)d， 若 d0，取 bnan，可得 bn1bnan1and0，则 b2b1，b3b2，b201b200中有 200 个正数，符合题意； 若 d0，取 bna11 n，则|bnan|a1 1 na1| 1 n1，nN *，可得 b n1bn1 n 1
23、n10，则 b2b1，b3b2，b201b200中有 200 个正数，符合题意； 若2d0，可令 b2n1a2n11，b2na2n1，则 b2nb2n1a2n1(a2n11)2d0， 则 b2b1，b3b2，b201b200中恰有 100 个正数，符合题意； 若 d2，若存在数列bn满足：bn与an接近，即为 an1bnan1，an11bn1an 11，可得 bn1bnan11(an1)2d0，b2b1，b3b2，b201b200中无正数，不符 合题意 综上可得，d 的范围是(2，) 【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运 用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题
